Anizotropik orta əyrilik axını üçbucaqlı mesh səthinin yalnız həndəsi hamarlığını deyil, müxtəlif istiqamətlərə baxan səth sahələrinin paylanmasını da nəzarətdə saxlayaraq forma tapmasını təmin edən ədədi üsuldur. Klassik sabit orta əyrilikli — constant mean curvature, CMC — səthlərdə enerji bütün səth istiqamətlərində eynidir. Bu tədqiqatda isə enerji sıxlığı \(\gamma(N)\), səth normalının \(N\) istiqamətindən asılı olaraq dəyişdirilir və beləliklə constant anisotropic mean curvature — CAMC — səthləri yaradılır.

Bu yanaşma xüsusilə memarlıq sərbəst formalı səthlərində əhəmiyyətlidir; çünki günəş istiqaməti, gündüz işığı, ekoloji yönəlmə, fasad istiqaməti və ya vizual vurğu kimi dizayn şərtləri təbii olaraq istiqamətdən asılıdır. Metod bu cür anizotropiyanı birbaşa enerji paylanması şəklində səth yaratma alqoritminə daxil edə bilən həndəsi baza təqdim edir.

Tədqiqatda iki parametrizasiya hazırlanmışdır. 8-parametrli explicit yanaşma Cahn–Hoffman xəritəsini analitik şəkildə hesabladığı üçün sürətlidir və interaktiv dizayna daha uyğundur. 11-parametrli implicit yanaşma isə Newton–Raphson əsaslı parametr təyini tələb etdiyindən xeyli daha bahalıdır, lakin asimmetrik enerji paylanmaları, graph olmayan səthlər və daha müxtəlif formalar yarada bilir.

Eyni yarımkürə nümunəsində 10.000 iterasiyanın 8-parametrli üsulla təxminən 114,1 saniyə, 11-parametrli üsulla isə 8877,1 saniyə çəkməsi hesablama xərcindəki fərqi aydın göstərir. Bunun müqabilində 11-parametrli üsul dairəvi, konveks olmayan və üçbucaqlı sərhədlərdə daha zəngin səthlər və daxili crease bölgələri yarada bilmişdir.

Tədqiqat metodun memarlıq səthi yaradılmasındakı potensialını göstərir; lakin günəş radiasiyası, gündüz işığı, struktur dayanıqlığı və ya istehsal xərci birbaşa optimallaşdırılmamışdır. Buna görə nəticələr ekoloji performans təsdiqindən daha çox, bu cür istiqamətdən asılı meyarların sonradan həndəsi enerji tərifinə əlavə edilməsinə imkan verən forma-tapma çərçivəsidir.

Sabit orta əyrilikli səthlər memarlıqda niyə vacibdir?

CMC səthləri səthin hər nöqtəsində eyni orta əyriliyə malikdir. Fiziki baxımdan bu səthlər sabit daxili təzyiq altında bütün istiqamətlərdə bərabər membran gərginliyinə malik homogen membranların tarazlıq formaları ilə əlaqəlidir. Eyni zamanda müəyyən həcmi kiçik səth sahəsi ilə əhatə etmə xüsusiyyətlərinə görə pnevmatik konstruksiyalar, qabıqlar və material-səmərəli bina örtükləri baxımından maraqlıdır.

Anizotropiya Klassik CMC Səthində Nəyi Dəyişdirir?

Klassik izotropik halda səth sahəsinin bütün istiqamətləri eyni enerji xərcinə malikdir. Anizotropik modeldə isə enerji sıxlığı səth normalının istiqamətindən asılıdır. Buna görə müəyyən istiqamətə baxan üçbucaqların səth sahəsi daha bahalı edilə bilər və forma-tapma axını həmin istiqamətdəki sahəni azaltmağa çalışır. Əksinə, aşağı enerji sıxlıqlı istiqamətlər səth üzərində daha geniş yer tuta bilər.

Hamar bir səth \(M\) üçün anizotropik enerji:

\[ F_\gamma(M)=\int_M\gamma(N)\,dA \]

kimi təyin olunur. Burada \(N\), səthin vahid normal vektoru; \(dA\), səth sahəsi elementi; \(\gamma:S^2\rightarrow\mathbb{R}_{>0}\) isə istiqamətdən asılı enerji sıxlığıdır.

Səthin həcmi:

\[ Vol(M)=\frac{1}{3}\int_M(p\cdot N)dA \tag{1} \]

ilə təyin olunur.

\(\gamma\) izotropik olaraq sabit və 1 olduqda \(F_\gamma\) adi səth sahəsinə çevrilir və CAMC modeli klassik CMC modelinə reduksiya olunur.

Cahn–Hoffman xəritəsi nədir?

Anizotropik enerjinin səth normalından asılı dəyişməsi Cahn–Hoffman — CH — xəritəsi ilə ifadə edilir:

\[ \xi(N)=D\gamma|_N+\gamma(N)N \tag{3} \]

Bu xəritə enerji sıxlığı paylanmasının həndəsi təsviridir. Tədqiqatdakı səth formalarının istiqamətliliyi istifadə olunan CH xəritəsinin forması ilə birbaşa əlaqəlidir.

Anizotropik orta əyrilik

Enerjinin birinci variasiyasından anizotropik orta əyrilik:

\[ \Lambda= -\frac{1}{2}\operatorname{div}_M(D\gamma\circ N)+H\gamma \tag{5} \]

kimi alınır.

Həcmi qoruyan deformasiyalarda enerji kritik nöqtəyə çatdıqda \(\Lambda\) səth boyunca sabit olur və səth CAMC kimi müəyyən edilir.

Diskret CAMC Səthi Üçbucaqlı Mesh Üzərində Necə Təyin Olunur?

Tədqiqatda real dizayn səthləri hamar diferensial səthlər kimi deyil, düz üçbucaqlı üzlərdən ibarət triangle mesh kimi təmsil olunur. Bir üçbucaq \(T=(p,q,r)\) üçün vahid normal:

\[ N_T= \frac{(q-p)\times(r-p)} {\|(q-p)\times(r-p)\|} \tag{6} \]

şəklindədir.

Diskret anizotropik enerji:

\[ F_\gamma(M)= \sum_T\gamma(N_T)Area(T) \tag{7} \]

və diskret həcm:

\[ Vol(M)= \frac{1}{6} \sum_{T=(p,q,r)} \det(p,q,r) \tag{8} \]

ilə hesablanır.

Daxili təpə \(p\) üçün CAMC şərti:

\[ \nabla F_\gamma(p)+2\Lambda\nabla Vol(p)=0 \tag{12} \]

şəklindədir.

dAMC Axını Səthi Necə Formalaşdırır?

Tədqiqatın əsas ədədi yeniləmə vektoru discrete anisotropic mean curvature — dAMC — axınıdır:

\[ \Delta p_f= -\nabla F_\gamma(p)-2\Lambda\nabla Vol(p) \tag{30} \]

Bu vektor sıfıra yaxınlaşdıqda səth diskret CAMC tarazlıq vəziyyətinə yaxınlaşır.

Lakin yalnız bu axından istifadə üçbucaqlı üzlərin həddindən artıq deformasiyasına səbəb ola bildiyindən ikinci tangensial regularization hərəkəti əlavə edilmişdir:

\[ \Delta p_r= C_p-\langle C_p,\bar N_p\rangle\bar N_p \tag{31} \]

Son təpə yeniləməsi:

\[ p\leftarrow p+w_f\Delta p_f+w_r\Delta p_r \tag{32} \]

kimi həyata keçirilir.

Alqoritmin əsas dövrü

1. Hər üçbucağın normal vektoru hesablanır.
2. Hər normal üçün Cahn–Hoffman xəritəsi hesablanır.
3. dAMC axın vektoru hesablanır.
4. Mesh regularization vektoru hesablanır.
5. Təpə mövqeləri \(w_f\) və \(w_r\) çəkiləri ilə yenilənir.
6. Yaxınsamaya qədər proses təkrarlanır.

8 Parametrli Açıq Üsul Necə İşləyir?

8-parametrli üsul enerji sıxlığını iki Gielis superformula funksiyasının hasili ilə müəyyən edir:

\[ r(s)= \left[ \cos^{2k_1}\left(\frac{m_1s}{4}\right) + \sin^{2k_2}\left(\frac{m_1s}{4}\right) \right]^{-1/(2l_1)} \]

\[ R(t)= \left[ \cos^{2k_3}\left(\frac{m_2t}{4}\right) + \sin^{2k_4}\left(\frac{m_2t}{4}\right) \right]^{-1/(2l_2)} \tag{16} \]

və:

\[ \gamma(\theta,\rho)=r(\theta)R(\rho) \tag{17} \]

kimi istifadə edir.

Parametrlər:

• \(k_1,k_2,k_3,k_4\)
• \(l_1,l_2\)
• \(m_1,m_2\)

olmaqla səkkiz ədəddir.

Bu ifadə açıq formada yazıla bildiyi üçün CH xəritəsi birbaşa hesablana bilir və hər iterasiyada ayrıca nonlinear parameter identification tələb olunmur.

İzotropik nəzarət təcrübəsi

Bütün səkkiz parametr 1 olduqda enerji paylanması izotropik hala gəlmişdir. Radiusu 1 olan dairəvi sərhəd və \(\Lambda=1\) üçün başlanğıc mesh'i 10.000 iterasiyanın sonunda klassik yarımkürəyə çevrilmişdir.

Mənbədə dAMC axın normasının təxminən ilkin səviyyənin 1/1000-nə düşməsi və regularization hərəkətinin də çox kiçilməsi həndəsənin stationary state-ə yaxınlaşdığını göstərir.

Anizotropiya formanı necə dəyişdirir?

Enerji xəritəsinin mənfi y istiqamətində böyüdüldüyü bir nümunədə səthin zirvə nöqtəsi müsbət y istiqamətinə sürüşmüşdür. Bunun səbəbi yüksək enerji sıxlığına uyğun istiqamətdəki səth sahəsini azaltmaq meylidir.

Digər parametr dəstlərində CH xəritəsindəki qatlanma və əyilmə bölgələri səthdə kəskin daxili sərhədlər və ya crease-lər kimi meydana çıxmışdır.

Torus və ikiqat-torus topologiyaları

dAMC axını yalnız genus-0 disk səthləri ilə məhdud deyil. Yarım torus və ikiqat-torusa bənzər səthlərdə də sabit xarici sərhədlər altında anizotropik deformasiyalar yaradıla bilmişdir.

Torus nümunəsində ridge xətti müsbət y istiqamətinə sürüşərkən yz-müstəvisinə görə simmetriya qorunmuşdur. İkiqat-torus nümunəsində mərkəzdəki ən yüksək bölgə müsbət x istiqamətinə sürüşmüşdür.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

11 Parametrli Örtük Üsul Niyə Daha Elastikdir?

11-parametrli yanaşma səkkiz əsas parametrə əlavə olaraq enerji sıxlığı səthinin mərkəzini dəyişən \(a,b,c\) komponentlərindən istifadə edir. Beləliklə enerji paylanmasının başlanğıca görə simmetrik olması tələb olunmur və yaranan səth forması da aydın şəkildə asimmetrik ola bilər.

Enerji səthinin koordinatları:

\[ x(s,t)=a+r(s)R(t)\cos s\cos t \]

\[ y(s,t)=b+r(s)R(t)\cos s\sin t \]

\[ z(s,t)=c+r(s)\sin s \tag{21} \]

münasibətləri ilə müəyyən edilir.

Niyə Newton–Raphson lazımdır?

Bu modeldə verilmiş səth normalına uyğun gələn \(s,t\) qiymətləri açıq şəkildə tərsinə çevrilə bilmir. Buna görə hər normal üçün:

\[ g(s,t,\gamma)=0 \tag{34} \]

nonlinear sistemi Newton–Raphson ilə həll olunur.

Hər iterasiyada Jacobian:

\[ J(s,t,\gamma) \tag{35} \]

yaradılır və:

\[ J^{(k)}\delta u^{(k)} = -g^{(k)} \]

tənliyindən parametr düzəlişi hesablanır.

Bu əməliyyatın səthdəki çoxsaylı normal üçün təkrar olunması 11-parametrli üsulun hesablama xərcinin əsas səbəbidir.

Regularization çəkisinin təsiri

Bu müqayisə regularization-ın yalnız estetik mesh smoothing olmadığını; CAMC axınının ədədi olaraq hesablana bilən qalması üçün əhəmiyyətli olduğunu göstərir.

Graph Olmayan CAMC-Bənzər Səth Yaradıla Bildimi?

Bəli. 11-parametrli asimmetrik enerji paylanması, radiusu 1 olan dairəvi planar sərhəddən başlayan modeldə 10.000 iterasiyanın sonunda graph olmayan səth yaratmışdır. Bu səth klassik mənada bütün planar bölgə üzərində tək qiymətli \(z=f(x,y)\) formasında ifadə edilə bilmir.

Mənbə bu səthi riyazi olaraq CAMC olduğu sübut edilmiş həll kimi deyil, CAMC kimi görünən ədədi səth kimi təsvir edir. Əyrilik axını tam olaraq sıfıra çatmasa da gec iterasiyalarda təpə hərəkətləri çox kiçik olmuşdur.

Konveks Olmayan Sərhəddə Üsul İşlədimi?

Konveks olmayan planar boundary ilə başladılan nümunədə iki lokal qabarıq hissə üzərində üçbucaqlı zirvələr yaradılmışdır. Dar birləşmə bölgəsində müəyyən qədər mesh distortion müşahidə olunsa da ümumi səth əsasən hamar qalmışdır.

Bu nəticə CAMC forma-tapmanın yalnız dairə və ya konveks polygonlarla məhdudlaşdırılmasının məcburi olmadığını ədədi olaraq göstərir.

\(\Lambda\) Qiyməti Yaradılan Səthi Necə Dəyişdirir?

Üçbucaqlı sərhəd nümunələrində üç fərqli \(\Lambda\) qiyməti araşdırılmışdır.

Bu təcrübə CAMC həllinin verilmiş sərhəd və enerji sıxlığı üçün hər \(\Lambda\) qiymətində mövcudluğunun təmin edilmədiyini aydın şəkildə göstərir.

Sərhəd istiqaməti ilə enerji istiqaməti uyğun gəlmədikdə nə baş verir?

Üçbucaqlı başlanğıc səthi z-oxu ətrafında 90° döndürüldükdə final həndəsə enerji paylanmasının üstünlük verdiyi üçbucaqlı istiqamətlə hizalanmaq üçün twist etmişdir. Nəticədə xüsusilə künc bölgələrində mesh distortion artmışdır.

Bu davranış metod baxımından memarlıq üçün maraqlıdır: enerji istiqaməti həndəsi boundary ilə eyni olmadıqda alqoritm yalnız hündürlüyü və ya əyriliyi dəyişmir, səthin daxili istiqamətlənməsini də yenidən təşkil edir.

8 Parametr və 11 Parametr Arasında Hesablama Fərqi Nə Qədərdir?

İki müddət arasındakı nisbət təxminən:

\[ \frac{8877,1}{114,1}\approx77,8 \]

olduğundan 11-parametrli test ümumilikdə təxminən 77,8 dəfə daha çox hesablama müddəti tələb etmişdir.

Mənbə bunu təxminən %7780 daha uzun kimi ifadə edir. Xam müddətlərdən hesablanan real müddət artımı təxminən %7680-dir; %7780 qiyməti 11-parametr müddətinin 8-parametr müddətinin təxminən %7780-i olmasına uyğun gəlir.

Test kompüteri

• Intel Xeon w3-2423, 2,11 GHz
• 6 CPU nüvəsi
• 64 GB RAM
• AMD Radeon RX7600, 8 GB
• Python tətbiqi

Memarlıq Dizaynı Baxımından Hansı Üsul Daha Uyğundur?

8-parametrli üsul hesablama sürətinin vacib olduğu erkən dizayn və CAD daxilində interaktiv forma axtarışlarına daha uyğundur. Lakin enerji paylanmasının simmetriya və normal istiqaməti ilə bağlı məhdudiyyətlərinə görə yarada bildiyi səth ailəsi daha dardır.

11-parametrli yanaşma hesablama xərcinin qəbul edilə bildiyi hallarda daha böyük dizayn məkanı təqdim edir. Enerji sıxlığı asimmetrik ola bilər, səthin daxilində crease-lər yarana bilər və graph olmayan həndəsələr istehsal oluna bilər.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Üçbucaqlı mesh üzərində diskret anizotropik orta əyrilik axını tətbiq oluna bilmişdir.
• Anizotropik enerji paylanması səth sahəsinin istiqamətlər üzrə paylanmasını dəyişdirə bilmişdir.
• İzotropik parametrlərdə üsul klassik CMC yarımkürə həllini yenidən yaratmışdır.
• 8-parametrli üsul CH xəritəsini explicit hesablayaraq xeyli daha qısa hesablama müddəti təmin etmişdir.
• 11-parametrli üsul asimmetrik enerji paylanmaları yarada bilmişdir.
• Torus və ikiqat-torusa bənzər non-zero-genus səthlər deformasiya edilə bilmişdir.
• Graph olmayan səth nümunəsi 11-parametrli üsulla ədədi olaraq yaradılmışdır.
• Konveks olmayan planar sərhədlə səth yaradıla bilmişdir.
• Regularization mesh deformasiyasını azaltmaqda kritik rol oynamışdır.
• \(\Lambda\) və enerji parametrləri səth ailəsini güclü şəkildə dəyişdirmişdir.
• Sərhəd istiqaməti ilə enerji istiqaməti arasında uyğunsuzluq olduqda twist yarana bilmişdir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Yaradılan səthlərin günəş qazancını həqiqətən azaldıb-artırdığı ölçülməmişdir.
• Gündüz işığı performansı simulyasiya edilməmişdir.
• Struktur dayanıqlığı və ya buckling analizi aparılmamışdır.
• Material istifadəsində real faiz qənaəti ölçülməmişdir.
• Panelizasiya və ya istehsal xərci hesablanmamışdır.
• 11-parametrli bütün nəticələrin riyazi olaraq tam CAMC səthləri olduğu analitik şəkildə sübut edilməmişdir.
• Non-graph və non-convex nümunələr yeni CAMC mövcudluq teoremini sübut etmir; bunlar yeni riyazi şərtlərin ola biləcəyinə dair ədədi işarələrdir.
• Hər boundary və hər \(\Lambda\) kombinasiyasında yaxınsama təmin edilmir.
• 8-parametrli üsulun real vaxt CAD istifadə sürəti bütün həndəsələr üçün eksperimental istifadəçi testi ilə təsdiqlənməmişdir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal tədqiqat: Anisotropic mean curvature flow for generating discrete surfaces with orientation-based area distribution.

Müəlliflər: Kentaro Hayakawa; Yoshiki Jikumaru; Kazuki Hayashi; Shun Kumagai; Miyuki Koiso.

Məsul müəllif: Kentaro Hayakawa.

Qurumlar: Department of Conceptual Design, College of Industrial Technology, Nihon University; Faculty of Information Networking for Innovation and Design, Toyo University; Department of Architecture and Architectural Engineering, Kyoto University; Faculty of Engineering, Hachinohe Institute of Technology; Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University.

Mənbə növü: SSRN preprint.

SSRN Abstract: 6966510.

DOI: 10.2139/ssrn.6966510.

PDF tarixi: 19 İyun 2026.

PDF-dəki təqdimetmə məlumatı: “Preprint submitted to Computer Aided Geometric Design”.

Hakimlik statusu: Yüklənmiş PDF hər səhifədə “This preprint research paper has not been peer reviewed” və “Preprint not peer reviewed” ifadələrini daşıyır.

Maliyyələşdirmə: JST CREST, Grant Number JPMJCR1911.

Maraqlar toqquşması: Müəlliflər məlum maliyyə marağının və ya şəxsi münasibətin olmadığını bəyan edirlər.

Məlumat əlçatanlığı: Məlumatların əsaslandırılmış sorğu əsasında təqdim ediləcəyi bildirilmişdir.

Əsas riyazi struktur: istiqamətdən asılı anizotropik enerji \(F_\gamma\), Cahn–Hoffman xəritəsi, discrete CAMC condition, dAMC curvature flow və tangential mesh regularization.

8-parametrli model: Gielis superformula əsaslı explicit enerji sıxlığı; Cahn–Hoffman xəritəsi birbaşa hesablanır.

11-parametrli model: üç əlavə \(a,b,c\) sürüşdürmə parametri ilə asimmetrik enerji səthi; verilmiş normal istiqamətinə uyğun parametrlər Newton–Raphson ilə müəyyən edilir.

Müqayisə testində hesablama mühiti: Intel Xeon w3-2423 2,11 GHz, 6 nüvə, 64 GB RAM, AMD Radeon RX7600 8 GB; Python implementasiyası.

Hesablama müddəti QA qeydi: Mənbə 114,1 s və 8877,1 s qiymətlərindən 11-parametrli üsulu “təxminən %7780 daha uzun” kimi təsvir edir. Nisbət 8877,1/114,1≈77,8 olduğundan ümumi müddət təxminən %7780, artım isə təxminən %7680-dir. Bu Verianla mətni xam müddətləri əsas mənbə məlumatı kimi saxlayır.

Yaxınsama sərhədi: Bəzi anizotropik nümunələrdə dAMC normu daxili crease bölgələrində sıfıra güclü şəkildə yaxınlaşmır; buna baxmayaraq son iterasiyalarda təpə hərəkətləri kiçik qalır. Mənbə bu vəziyyətin praktik səth yaradılmasında ciddi problem yaratmadığını bildirir.

Riyazi sübut sərhədi: Non-graph və non-convex boundary nümunələri CAMC səthinin mövcudluğu haqqında ədədi müşahidələrdir. Tədqiqat yeni ümumi mövcudluq/yeganəlik teoremi sübut etmir.

Memarlıq performansı sərhədi: Günəş istiqaməti, daylighting, struktur performansı, istehsal rahatlığı və fairness-design metodun motivasiya sahələridir. Bunların performansı bu tədqiqat daxilində birbaşa hesablanan çoxməqsədli optimallaşdırma meyarları deyil.

Vizual mənbə qeydi: PDF-nin 3-cü səhifəsindəki üç memarlıq layihəsi fotosu müəlliflərə aiddir. Verianla üçün bu fotoları kopyalamaq əvəzinə enerji istiqaməti, günəş oxu, CH-map, triangle mesh və CAMC qabıq çevrilməsindən istifadə edən orijinal vizual hazırlanmalıdır.

Vizualın yenidən çəkilməsi tövsiyəsi: Solda başlanğıc yarımkürə/triangle mesh, mərkəzdə istiqamətlərə görə rənglənmiş anizotropik enerji sıxlığı \(\gamma(N)\), sağda asimmetrik CAMC memarlıq qabığı; aşağı hissədə “8 parametr: 114,1 s” və “11 parametr: 8877,1 s”; əlavə olaraq non-graph, non-convex və triangular-boundary kiçik nümunələri.