Oʻzgaruvchan-faza usuli (variable-phase method) norelyativistik ikki-jism sochilishidagi ikkinchi tartibli radial Schrödinger tenglamasini, yechimning erkin Riccati–Bessel va Riccati–Neumann komponentlari koeffitsiyentlarini kuzatuvchi birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimiga aylantiradigan usuldir. Ushbu tadqiqot mazkur usulni regular va irregular radial yechimlarni bir xil tenglamalar tizimida hisoblaydigan tarzda rivojlantiradi va ayniqsa Yukawa potensialidagi uzoq masofali qorongʻi modda sochilishi uchun keng qamrovli sonli maʼlumotlar ishlab chiqaradi. Regular yechim faza siljishlari va Sommerfeld faktorlarini bersa, irregular yechim kontaktga oʻxshash noelastik jarayonlarni oʻzaro mos unitarizatsiya qilishda zarur boʻlgan chekli \(s\)-toʻlqin Green funksiyasi maʼlumotini ajratib olish imkonini beradi.

Tadqiqotning fizik motivatsiyasi shundan iboratki, oʻzaro taʼsir masofasi zarralarning de Broglie toʻlqin uzunligi bilan taqqoslanadigan yoki undan katta boʻlgan holatlarda perturbatsiya nazariyasi yetarli boʻlmasligi mumkin. Ayniqsa qorongʻi modda fenomenologiyasida uzoq masofali kuchlar termal qoldiq miqdoriga, bilvosita aniqlashdagi annihilatsiya tezliklariga va oʻzaro taʼsirlanuvchi qorongʻi modda ssenariylaridagi galaktik tuzilma shakllanishiga taʼsir qilishi mumkin. Bunday rejimda takroriy ikki-zarrali oʻzaro taʼsirlarni barcha tartiblarda hisobga olish kerak va buning uchun Schrödinger muammosi noperturbativ tarzda yechiladi.

Mualliflar usulni Yukawa potensialiga qoʻllab, tortuvchi va itaruvchi oʻzaro taʼsirlarni; Born, rezonans, klassik/yarim klassik va Coulombga oʻxshash rejimlarni; faza siljishlari, Sommerfeld faktorlari, elastik/transfer/qovushqoqlik kesimlari va qisman-toʻlqin yaqinlashuvini birgalikda oʻrganadilar. Sonli natijalar mos sohalarda Born, WKB va Coulomb analitik limitlari bilan solishtiriladi. Bundan tashqari, \(\ell=0\) irregular yechimidan olinadigan \(T(k;k_\diamond)\) kattaligi hisoblanadi.

Nashr qilingan maʼlumot jadvallari \(\ell=0\) dan \(\ell=100\) gacha boʻlgan faza siljishlari va Sommerfeld faktorlarini oʻz ichiga oladi. Elastik, transfer va qovushqoqlik kesimlari uchun ishlatiladigan qisman-toʻlqin yigʻindilari mos ravishda \(\ell=100\), \(99\) va \(98\) gacha kengaytiriladi. Tadqiqotning oʻz tekshiruviga koʻra, jadvalga kiritilgan parametr fazosida ushbu tanlovlar kesish xatolarini %1 dan past saqlaydi. Biroq tadqiqot haqiqiy qorongʻi modda tajribasida oʻzaro taʼsirni oʻlchamaydi va muayyan qorongʻi modda zarrachasi modeli tabiatda toʻgʻri ekanini koʻrsatmaydi; taqdim etilgan natijalar muayyan sochilish potensiallarining Schrödinger darajasidagi nazariy va sonli yechimlaridir.

Nega uzoq masofali sochilish alohida muammo?

Ikki zarraning oʻzaro taʼsir masofasi ularning de Broglie toʻlqin uzunligidan juda kichik boʻlsa, koʻp hollarda oʻzaro taʼsirni qisqa masofali tuzatish sifatida koʻrish mumkin. Ammo kuchning taʼsir masofasi toʻlqin uzunligi bilan taqqoslanadigan boʻlsa, zarralar bir-birini keng fazoviy hudud davomida sezadi. Toʻlqin funksiyasining ushbu hududdagi qayta-qayta oʻzaro taʼsiri quyi tartibli perturbativ yoyilmalar oʻtkazib yuborishi mumkin boʻlgan kuchli taʼsirlarni keltirib chiqarishi mumkin.

Tadqiqotning boshlangʻich nuqtasi ikki norelyativistik zarra uchun vaqtga bogʻliq boʻlmagan Schrödinger tenglamasidir:

\[ -\frac{\nabla^2}{2\mu}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r) +V(r)\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r) = E_{\mathbf{k}}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r). \tag{2.1} \]

Bu yerda \(\mu\) ikki zarraning keltirilgan massasidir, \(V(r)\) haqiqiy, lokal va markaziy potensial, \(\mathbf{k}\) massa markazi sistemasidagi impuls va

\[ E_{\mathbf{k}}=\frac{k^2}{2\mu}, \qquad k=\mu v_{\rm rel} \]

munosabatlari qoʻllanadi. \(v_{\rm rel}\) ikki zarraning nisbiy tezligidir. Tabiiy birliklarda impuls, massa va teskari uzunlik birliklari oʻzaro bogʻliq.

Qisman-Toʻlqin Yoyilmasi Nega Qoʻllanadi?

Qisman-toʻlqin yoyilmasi markaziy potensialdagi uch oʻlchamli sochilish muammosini turli burchak impulsi kvant sonlari \(\ell\) uchun mustaqil bir oʻlchamli radial muammolarga ajratadi. Shu tariqa toʻliq toʻlqin funksiyasi, har biri muayyan burchak impulsi kanalini ifodalovchi komponentlar yigʻindisi sifatida yechilishi va umumiy sochilish kesimi ushbu kanallarning nazorat qilinadigan yigʻindisidan olinishi mumkin.

Toʻliq toʻlqin funksiyasi:

\[ \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r) = \sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell+1) P_\ell(\cos\vartheta)\, \psi_{k,\ell}(r) \tag{2.4} \]

koʻrinishida ajratiladi. \(P_\ell\), \(\ell\)-chi Legendre polinomidir. Radial funksiya uchun

\[ u_{k,\ell}(r) \equiv kr\,\psi_{k,\ell}(r) \tag{2.5} \]

taʼrifi berilganda muammo:

\[ \left[ -\frac{1}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2} + \frac{\ell(\ell+1)}{2\mu r^2} + V(r) \right] u_{k,\ell}(r) = E_{\mathbf{k}}u_{k,\ell}(r) \tag{2.6} \]

koʻrinishidagi radial Schrödinger tenglamasiga aylanadi.

\[ \frac{\ell(\ell+1)}{2\mu r^2} \]

hadi markazdan qochma toʻsigʻidir. \(\ell=0\) uchun bu had yoʻq; \(\ell\) kattalashgan sari, ayniqsa kichik \(r\) da, tobora kuchli toʻsiq hosil qiladi. Shu sababli past va yuqori qisman toʻlqinlarning rezonans xatti-harakati bir xil emas.

Tadqiqotdagi potensiallar sinfi

Umumiy usul quyidagi shartni qanoatlantiradigan potensiallarga qoʻllanadi:

\[ \int_0^\infty dr\,r\,|V(r)|<\infty. \tag{2.7} \]

Bu shart potensialning koordinata boshida \(1/r^2\) dan kuchliroq singulyarlik koʻrsatmasligini va katta masofada yetarlicha tez kamayishini taʼminlaydi. Ushbu faraz ostida radial tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil oilasi mavjud:

\[ \mathcal F_{k,\ell}(r)\propto r^{\ell+1}, \qquad \mathcal G_{k,\ell}(r)\propto r^{-\ell}, \qquad r\rightarrow0. \tag{2.8} \]

\(\mathcal F_{k,\ell}\) regular yechim, \(\mathcal G_{k,\ell}\) esa irregular yechim oilasidir.

Regular va irregular nimani anglatadi?

Fizik sochilish holati koordinata boshida chekli boʻlishi kerak. Toʻliq radial toʻlqin funksiyasi \(u/(kr)\) boʻlgani uchun koordinata boshida divergentsiya qiladigan irregular komponent fizik kiruvchi sochilish holatida ishlatilmaydi. Biroq irregular yechim matematik jihatdan keraksiz emas; u Green funksiyasi va kontakt oʻzaro taʼsirlarining qayta normallangan/unitarizatsiyalangan tuzilishini hisoblash uchun zarur maʼlumotni olib yuradi.

Faza siljishi

Haqiqiy potensialdagi elastik sochilishda har bir qisman toʻlqin uchun ehtimollik saqlanadi. Qisman-toʻlqin sochilish amplitudasi:

\[ 1+ \frac{2ik}{\sqrt{\mathscr C_\ell}} f_{k,\ell} = e^{2i\theta_\ell(k)} \tag{2.12} \]

munosabati bilan aniqlanadigan \(\theta_\ell(k)\) faza siljishiga bogʻlanadi. Bu yerda \(\mathscr C_\ell\), farqlanadigan va aynan bir xil zarralar uchun ishlatiladigan simmetriya faktoridir.

Bundan:

\[ f_{k,\ell} = \sqrt{\mathscr C_\ell}\, \frac{1}{k} e^{i\theta_\ell(k)} \sin\theta_\ell(k) \tag{2.13} \]

olinadi. Faza siljishi oʻzaro taʼsirning erkin toʻlqinga nisbatan hosil qiladigan faza oʻzgarishini miqdoriy ifodalaydi.

Har bir qisman toʻlqinning elastik kesimi:

\[ \sigma_\ell^{\rm elas}(k) = \sigma_\ell^{\rm U}(k) \sin^2\theta_\ell(k), \tag{2.16} \]

va qisman-toʻlqin unitarity chegarasi:

\[ \sigma_\ell^{\rm U}(k) = \mathscr C_\ell \frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1) \tag{2.17} \]

deb aniqlanadi. \(\sin^2\theta_\ell=1\) boʻlganda ushbu qisman toʻlqin oʻz unitarity chegarasiga yetadi.

Sommerfeld Faktori Nimani Oʻlchaydi?

Sommerfeld faktori \(S_\ell(k)\) uzoq masofali potensial qisqa masofadagi toʻlqin funksiyasi amplitudasini erkin holatga nisbatan qanchalik oʻzgartirishini oʻlchaydi; shu sababli annihilatsiya kabi kontaktga oʻxshash qisqa masofali noelastik jarayonlarning tezliklariga uzoq masofali oʻzaro taʼsir kiritadigan koʻpaytiruvchi darajasidagi tuzatishni belgilaydi.

Taʼrifning mohiyati:

\[ S_\ell(k) = \lim_{r\rightarrow0} \left| \frac{ \mathcal F_{k,\ell}(r) }{ \mathcal F_{k,\ell}^{\rm free}(r) } \right|^2. \tag{2.20} \]

\(S_\ell>1\) qisqa masofadagi toʻlqin funksiyasi amplitudasi erkin holatga nisbatan oshganini, \(S_\ell<1\) esa bostirilganini anglatadi. Ushbu tadqiqot Sommerfeld faktorini yangi fizik kuch sifatida taʼriflamaydi; uzoq masofali oʻzaro taʼsirning mavjud qisqa masofali jarayonga kiritadigan toʻlqin-funksiya tuzatishini hisoblaydi.

Irregular yechim va \(T(k;k_\diamond)\)

\(s\)-toʻlqin uchun, koordinata boshi yaqinidagi potensial:

\[ V(r) = -\frac{\alpha_{-1}}{r} + O(r^0) \tag{2.22} \]

koʻrinishida boʻlsa, irregular yechim Frobenius yoyilmasi bilan:

\[ \mathcal G_{k,0}(r) = \mathcal G_{k,0}(0) \left[ 1+ g_0^{(1)}(k)r - 2\mu\alpha_{-1}r\ln(\mu r) + O(r^2,r^2\ln r) \right] \tag{2.23} \]

koʻrinishida yoziladi.

Kontaktga oʻxshash \(s\)-toʻlqin oʻzaro taʼsirlarida Green funksiyasining \(r=r'=0\) proyeksiyasi ultrabinafsha sohada divergentsiya qiladi. Ammo tadqiqot koʻrib chiqadigan qayta normallanishi mumkin boʻlgan holatda bu divergentsiyaning impulsga bogʻliq boʻlmagan qismini tayanch impuls \(k_\diamond\) yordamida ayirib tashlash mumkin. Oʻlchamsiz chekli kattalik:

\[ T(k;k_\diamond) = \frac{1}{k} \left[ g_0^{(1)}(k) - g_0^{(1)}(k_\diamond) \right] \tag{2.24} \]

deb taʼriflanadi. \(T(k;k_\diamond)\) maqola eʼlon qilgan maʼlumot mahsulotlaridan biri boʻlib, kontaktga oʻxshash noelastik jarayonlarni oʻzaro mos unitarizatsiya qilish uchun ishlatiladi.

Oʻzgaruvchan-Faza Usuli Schrödinger Tenglamasini Qanday Oʻzgartiradi?

Oʻzgaruvchan-faza yondashuvi radial toʻlqin funksiyasini erkin muammoning ikkita mustaqil Riccati–Bessel/Riccati–Neumann yechimining koordinataga bogʻliq koeffitsiyentlar bilan birikmasi sifatida yozadi; shu tariqa ikkinchi tartibli Schrödinger tenglamasi ushbu ikki koeffitsiyent uchun oʻzaro bogʻlangan ikkita birinchi tartibli differensial tenglamaga aylanadi.

Oʻlchamsiz oʻzgaruvchi:

\[ x\equiv kr \]

tanlanadi va tenglama:

\[ \chi_{k,\ell}''(x) + b_\ell(x)\chi_{k,\ell}(x) = \widetilde V(x)\chi_{k,\ell}(x) \tag{3.1} \]

koʻrinishiga keltiriladi. Bu yerda:

\[ \widetilde V(x) = \frac{2\mu}{k^2}V(x/k), \qquad b_\ell(x) = 1-\frac{\ell(\ell+1)}{x^2}. \tag{3.2} \]

Erkin yechimlar:

\[ \hat j_\ell(x)=xj_\ell(x), \qquad \hat n_\ell(x)=xn_\ell(x) \tag{3.3} \]

Riccati–Bessel va Riccati–Neumann funksiyalaridir. Wronskian munosabati:

\[ \hat j_\ell(x)\hat n_\ell'(x) - \hat j_\ell'(x)\hat n_\ell(x) = 1 \tag{3.4} \]

boʻlgani uchun ikkala funksiya chiziqli mustaqildir.

Yangi yechim:

\[ \chi_{k,\ell}(x) = c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \tag{3.6a} \]

va uning hosilasi:

\[ \chi_{k,\ell}'(x) = c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell'(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell'(x) \tag{3.6b} \]

tarzida tanlanadi. Natijada tadqiqotning asosiy hisoblash tizimi olinadi:

\[ c_{k,\ell}'(x) = -\widetilde V(x)\hat n_\ell(x) \left[ c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \right], \tag{3.8a} \]

\[ s_{k,\ell}'(x) = -\widetilde V(x)\hat j_\ell(x) \left[ c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \right]. \tag{3.8b} \]

Bu oʻzgartirish muhim: endi tez tebranishi mumkin boʻlgan ikkinchi tartibli radial tenglamani bevosita yechish oʻrniga ikki koeffitsiyentning birinchi tartibli evolyutsiyasi kuzatiladi.

Regular yechimning chegara shartlari

Regular oila uchun koordinata boshida:

\[ \lim_{x\rightarrow0} c_{k,\ell}^{\rm rgl}(x)=1, \qquad \lim_{x\rightarrow0} s_{k,\ell}^{\rm rgl}(x)=0 \tag{3.10} \]

qabul qilinadi. Sonli integrallashni \(x=0\) da boshlash mumkin boʻlmagani uchun tadqiqot kichik, ammo chekli \(x_{\min}\) da analitik kichik-\(x\) yoyilmalarni boshlangʻich shart sifatida qoʻllaydi.

Faza siljishi qanday olinadi?

\[ t_{k,\ell}(x) = \frac{ s_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) }{ c_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) } \tag{3.11} \]

taʼrifi ostida:

\[ \tan\theta_\ell(k) = \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{ s_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) }{ c_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) }. \tag{3.14} \]

Manba, shuningdek, oʻzgaruvchan fazani bevosita kuzatuvchi standart tenglamani keltirib chiqaradi:

\[ \bar\theta_{k,\ell}'(x) = -\widetilde V(x) \left[ \cos\bar\theta_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - \sin\bar\theta_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \right]^2. \tag{3.17} \]

va:

\[ \theta_\ell(k) = \lim_{x\rightarrow\infty} \bar\theta_{k,\ell}(x). \tag{3.18} \]

Biroq mualliflar maʼlumot ishlab chiqarishda bevosita Tenglama (3.17) ni emas, \(c\) va \(s\) uchun Tenglama (3.8) tizimini qoʻllaydilar; chunki amaliyotda uning sonli jihatdan barqarorroq ekanini bildiradilar.

Sommerfeld faktorining oʻzgaruvchan-faza koʻrinishi

Regular yechimning katta-\(x\) koeffitsiyentlari ishlatilganda:

\[ S_\ell(k) = \left[ \left(c_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}\right)^2 + \left(s_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}\right)^2 \right]^{-1}. \tag{3.23} \]

Bu formula usulning muhim hisoblash afzalliklaridan biridir: bir xil \(c,s\) integrallash ham faza siljishini, ham Sommerfeld faktorini beradi.

Irregular yechimni teskari yoʻnalishda integrallash

Katta masofadagi irregular chegara sharti regular yechimning asimptotik koeffitsiyentlaridan tuziladi:

\[ c_{k,\ell;\infty}^{\rm irr} = s_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}, \qquad s_{k,\ell;\infty}^{\rm irr} = -c_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}. \tag{3.24} \]

Sonli amalga oshirishda regular yechim avval \(x_{\min}\) dan \(x_{\max}\) gacha integrallanadi. Asimptotik koeffitsiyentlar aniqlangach, irregular yechim \(x_{\max}\) dan yana kichik \(x\) tomon integrallanadi.

\(s\)-toʻlqin uchun \(T(k;k_\diamond)\) bevosita:

\[ T(k;k_\diamond) = \lim_{r\rightarrow0} \left[ \frac{ \chi_{k,0}^{{\rm irr}\,'}(kr) }{ \chi_{k,0}^{\rm irr}(kr) } - \frac{k_\diamond}{k} \frac{ \chi_{k_\diamond,0}^{{\rm irr}\,'}(k_\diamond r) }{ \chi_{k_\diamond,0}^{\rm irr}(k_\diamond r) } \right] \tag{3.30} \]

koʻrinishida ifodalanishi mumkin. Ikki had bir xil fizik \(r\) qiymatida baholanganda impulsga bogʻliq boʻlmagan divergentsiya oʻzaro bekor boʻladi. Mualliflar sonli amalga oshirishda divergent qismni analitik ravishda ayirib, qolgan chiziqli koeffitsiyentni alohida hisoblashni afzal koʻradilar.

Yukawa potensiali

Qoʻllash misoli:

\[ V_Y(r) = -\frac{\alpha}{r} e^{-m_{\rm med}r}. \tag{4.1} \]

Bu yerda \(\alpha\) bogʻlanish kuchi boʻlib, musbat yoki manfiy boʻlishi mumkin; \(m_{\rm med}\) oʻzaro taʼsirni tashuvchi mediatorning massasidir. Chekli \(m_{\rm med}\), Coulomb potensialiga nisbatan oʻzaro taʼsirni katta masofada eksponensial tarzda ekranlaydi.

\(\zeta\) va \(\xi\) oʻlchamsiz parametrlari

Tadqiqot Yukawa sochilishini ikkita oʻlchamsiz parametr bilan tartiblaydi:

\[ \zeta \equiv \frac{\mu\alpha}{k} = \frac{\alpha}{v_{\rm rel}}, \qquad \xi \equiv \frac{\mu|\alpha|}{m_{\rm med}}. \tag{4.2} \]

\(\zeta\) bogʻlanish kuchini nisbiy tezlikka nisbatan oʻlchaydi. Uning mutlaq qiymati past tezliklarda kattalashishi mumkin. \(\xi\) esa oʻzaro taʼsirning massa va mediator masshtablari bilan bogʻliq masofa/kuch parametridir. Oʻlchamsizlashtirilgan Yukawa potensiali:

\[ \widetilde V_Y(x) = -\frac{2\zeta}{x} e^{-x|\zeta|/\xi}. \tag{4.3} \]

koʻrinishini oladi.

Nega sonli integrallashni doimiy oraliqda bajarib boʻlmaydi?

Parametr fazosida potensial, markazdan qochma toʻsiq va zarra energiyasi orasidagi xarakterli masshtablar koʻp tartibga oʻzgarishi mumkin. Shu sababli har bir parametr nuqtasida bir xil \(x_{\min}\) va \(x_{\max}\) qiymatlaridan foydalanish ayrim hududlarda yo notoʻgʻri boshlangʻich shart, yo asimptotik hududga yetmasdan tugaydigan integrallashni keltirib chiqaradi.

Tadqiqot quyidagi masshtablarni taʼriflaydi:

\[ x_1(\zeta,\xi)=\frac{\xi}{|\zeta|}, \tag{4.5b} \]

\[ x_2(\ell,\zeta) = \frac{\ell+1}{|\zeta|}, \tag{4.5c} \]

\[ x_3(\zeta,\xi) = \frac{\xi}{|\zeta|} W_0\left( \frac{2\zeta^2}{\xi} \right), \tag{4.5d} \]

va \(\ell\geq1\) uchun markazdan qochma hamda potensial hadlarning birinchi kesishuvini qamrab oladigan:

\[ x_4(\ell,\zeta,\xi) = \begin{cases} \dfrac{\xi}{|\zeta|} \left[ -W_0\left( -\dfrac{\ell(\ell+1)}{2\xi} \right) \right], & \xi\geq\dfrac{e}{2}\ell(\ell+1), \\[8pt] +\infty, & \xi<\dfrac{e}{2}\ell(\ell+1). \end{cases} \tag{4.5e} \]

Bundan tashqari, energiya–markazdan qochma muvozanati:

\[ x_5(\ell) = \sqrt{\ell(\ell+1)} \tag{4.5f} \]

bilan tavsiflanadi. \(W_0\) Lambert \(W\) funksiyasining asosiy tarmogʻidir.

Quyi integrallash chegarasi:

\[ x_{\min}(\ell=0,\zeta,\xi) = \varepsilon \min\{1,x_1,x_2,x_3\}, \tag{4.6a} \]

\[ x_{\min}(\ell\geq1,\zeta,\xi) = \varepsilon \min\{1,x_1,x_2,x_3,x_4\} \tag{4.6b} \]

deb belgilanadi. Manba bilan birga berilgan kod:

\[ \varepsilon=10^{-7} \]

dan foydalanadi.

Yuqori chegara:

\[ x_{\max}(\ell,\zeta,\xi) = \Lambda \max\{1,x_1,x_3,x_5\}, \tag{4.7} \]

va kodda:

\[ \Lambda=10^4 \]

deb tanlanadi. Shunday qilib, integrallash sohasi doimiy emas, balki har bir fizik parametr nuqtasiga qarab masshtablanadi.

Sochilish rejimlarini belgilovchi taxminiy qisman-toʻlqin masshtabi

Kuchning taʼsir masofasiga mos keluvchi klassik burchak impulsi masshtabi:

\[ \ell_{\rm clas} \sim r_{\rm force}k \sim \frac{\mu v_{\rm rel}}{m_{\rm med}} = \frac{\xi}{|\zeta|}. \tag{4.8} \]

Ushbu kattalik katta boʻlsa, koʻp sonli qisman toʻlqinlar sochilishga hissa qoʻshadi.

Tortuvchi Yukawa potensialidagi rezonanslar

\(s\)-toʻlqin uchun birinchi bogʻlangan-holat chegarasi taxminan:

\[ \xi_{1,0}\simeq0.84 \]

deb beriladi. Bogʻlangan holat nol energiyaga yaqinlashganda \(\theta_0\) taxminan \(\pi/2\) modulo \(\pi\) ga yaqinlashadi va \(s\)-toʻlqinning elastik kesimi oʻz unitarity chegarasiga yaqinlashishi mumkin.

Yuqori \(\ell\) larda markazdan qochma toʻsiq tufayli tuzilma boshqacha. Chegaradan past musbat energiyali kvazi-bogʻlangan holatlar toʻsiq ortida vaqtincha ushlanib, tor rezonanslarga olib kelishi mumkin. Manba bu yuqori qisman toʻlqinlarda \(s\)-toʻlqin xatti-harakatining oddiy nusxasi emasligini alohida tushuntiradi.

Bogʻlangan-holat chegaralari orasida Ramsauer–Townsend antirezonanslari yuzaga kelishi va past energiyali elastik sochilishni kuchli bostirishi mumkin. Itaruvchi Yukawa potensiali esa bogʻlangan-holat rezonanslarini qoʻllab-quvvatlamaydi.

Sommerfeld faktorining rezonansdagi xatti-harakati

Tortuvchi Yukawa potensialida bogʻlangan-holat chegaralarida manba:

\[ S_0\propto\zeta^2 \]

masshtablanishini xabar qiladi. Rezonansdan uzoqda chekli Yukawa masofasi sababli katta \(\zeta\) da Sommerfeld ortishi toʻyinishi mumkin. Bunga qarama-qarshi ravishda, qatʼiy Coulomb limitida:

\[ S_0^{\rm C}\propto\zeta \qquad (\zeta\gg1) \]

xatti-harakati mavjud.

Irregular yechimdan chekli koeffitsiyentni ajratib olish

Yukawa potensialida kichik \(x\) da irregular yechimning tegishli koeffitsiyenti analitik logarifmik singulyarlik ayirib tashlangandan keyin hisoblanadi. Tadqiqot:

\[ \widetilde g_0^{(1)}(k) = g_0^{(1)}(k) + 2\alpha\mu\ln|\alpha| \tag{4.14} \]

taʼrifidan foydalanadi va natija:

\[ T(k;k_\diamond) = \frac{\widetilde g_0^{(1)}(k)}{k} - \frac{k_\diamond}{k} \frac{\widetilde g_0^{(1)}(k_\diamond)}{k_\diamond} \tag{4.15} \]

koʻrinishida baholanadi. Taʼrifdagi impulsga bogʻliq boʻlmagan siljish ikki impuls orasidagi farqda yoʻqoladi.

Elastik, transfer va qovushqoqlik kesimlari nega farq qiladi?

Umumiy elastik kesim faqat umumiy sochilish ehtimolini oʻlchasa, qorongʻi modda galolaridagi impuls va energiya tashilishi sochilish burchagiga ham bogʻliq. Shu sababli tadqiqot uchta alohida kesimdan foydalanadi:

\[ \sigma_{\rm elas} = \int d\Omega\, \frac{d\sigma}{d\Omega}, \tag{5.1a} \]

\[ \sigma_T = \int d\Omega\, (1-\cos\vartheta) \frac{d\sigma}{d\Omega}, \tag{5.1b} \]

\[ \sigma_V = \int d\Omega\, \sin^2\vartheta \frac{d\sigma}{d\Omega}. \tag{5.1c} \]

\(\sigma_T\) oldinga sochilishga kamroq ogʻirlik berib, sof impuls uzatilishiga eʼtibor qaratadi. \(\sigma_V\) esa toʻliq oldinga ham, toʻliq orqaga ham sochilishni kamaytiruvchi \(\sin^2\vartheta\) ogʻirligidan foydalanadi.

Farqlanadigan zarralar uchun qisman-toʻlqin koʻrinishlari:

\[ \sigma_\ell^{\rm elas} = \frac{4\pi}{k^2} (2\ell+1)\sin^2\theta_\ell, \tag{5.3a} \]

\[ \sigma_\ell^T = \frac{4\pi}{k^2} (\ell+1) \sin^2(\theta_{\ell+1}-\theta_\ell), \tag{5.3b} \]

\[ \sigma_\ell^V = \frac{4\pi}{k^2} \frac{(\ell+1)(\ell+2)}{2\ell+3} \sin^2(\theta_{\ell+2}-\theta_\ell). \tag{5.3c} \]

Transfer va qovushqoqlik kesimlarida qoʻshni qisman toʻlqinlarning faza farqlari qatnashgani uchun yuqori-\(\ell\) dumi elastik kesimga nisbatan qoʻshimcha bostirilishi mumkin. Bu xususiyat keyingi truncation tahlilida muhim boʻladi.

Born yaqinlashuvi

Birinchi Born yaqinlashuvi toʻliq sochilish holatini erkin kiruvchi toʻlqin bilan almashtiradi. Sferik simmetrik potensial uchun:

\[ f_k^{\rm Born}(\vartheta) = -\frac{2\mu}{q} \int_0^\infty dr\,r\,V(r)\sin(qr), \qquad q=2k\sin(\vartheta/2). \tag{5.4} \]

Yukawa potensiali uchun differensial kesim:

\[ \frac{d\sigma^{\rm Born}}{d\Omega} = \frac{ 4\mu^2\alpha^2 }{ \left[ m_{\rm med}^2+ 2k^2(1-\cos\vartheta) \right]^2 }. \tag{5.5} \]

Born faza siljishi:

\[ \theta_\ell^{\rm Born,Y}(k) = \zeta Q_\ell \left[ 1+ \frac{1}{2} \left( \frac{\zeta}{\xi} \right)^2 \right], \tag{5.8} \]

bu yerda \(Q_\ell\) ikkinchi tur Legendre funksiyasidir.

Mualliflar:

\[ \cosh\eta = 1+ \frac{1}{2} \left( \frac{\zeta}{\xi} \right)^2, \qquad \sinh(\eta/2) = \frac{|\zeta|}{2\xi} \tag{5.9} \]

parametrini taʼriflab, katta-\(\ell\) dumining eksponensial bostirilishini ochiq koʻrsatadilar:

\[ \theta_{\ell\rightarrow\infty}^{\rm Born,Y} \approx \zeta e^{-(\ell+1/2)\eta} \sqrt{ \frac{\pi}{ 2(\ell+1/2)\sinh\eta } }. \tag{5.10} \]

Ushbu ifoda qisman-toʻlqin yigʻindisi nega yaqinlashishini va \(\eta\) kichrayganda yaqinlashuv nega sekinlashishini tushunish uchun markaziy ahamiyatga ega.

WKB yaqinlashuvi

Zaif-potensial WKB limitida Yukawa faza siljishi:

\[ \theta_\ell^{\rm WKB,Y}(k) \approx \zeta K_0 \left[ \left(\ell+\frac{1}{2}\right) \frac{|\zeta|}{\xi} \right], \tag{5.11} \]

koʻrinishida olinadi. \(K_0\) ikkinchi tur modifikatsiyalangan Bessel funksiyasidir. Ushbu yaqinlashuv ayniqsa koʻp qisman toʻlqinlar hissa qoʻshadigan yarim klassik sohaning masshtablanishini tushunish uchun ishlatiladi.

Born va WKB nimaning oʻrnini bosmaydi?

Maqola Born yoki WKB formulalarini barcha parametr fazosida exact natija sifatida ishlatmaydi. Toʻliq sonli variable-phase yechimi asosiy hisoblashdir. Born zaif oʻzaro taʼsir rejimi va yuqori-\(\ell\) dumini, WKB esa yarim klassik xatti-harakatni tushunish va sonli natijalarni tekshirish uchun analitik taqqoslash vositalari sifatida qoʻllanadi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Hisoblash jarayoni

1. Ikki-jism Schrödinger muammosi qisman toʻlqinlarga ajratiladi.
2. \(x=kr\) orqali muammo oʻlchamsizlashtiriladi.
3. Radial yechim Riccati–Bessel va Riccati–Neumann funksiyalarining koordinataga bogʻliq koeffitsiyentlari bilan ifodalanadi.
4. Tenglama (3.8) dagi ikkita birinchi tartibli differensial tenglama yechiladi.
5. Regular yechim \(x_{\min}\) dan \(x_{\max}\) gacha integrallanib, faza siljishi va Sommerfeld faktori olinadi.
6. Shu asimptotik koeffitsiyentlar irregular yechimning \(x_{\max}\) dagi chegara shartlarini hosil qiladi.
7. Irregular yechim teskari yoʻnalishda kichik \(x\) gacha integrallanadi.
8. Maʼlum koordinata-boshi singulyarligi analitik tarzda ayirilib, \(T(k;k_\diamond)\) hisoblanadi.
9. Faza siljishlaridan elastik, transfer va qovushqoqlik kesimlari tuziladi.
10. Qisman-toʻlqin yigʻindisining kesish xatosi analitik va bevosita sonli testlar bilan nazorat qilinadi.

Manbada eʼlon qilingan maʼlumot mahsulotlari

Qisman-toʻlqin truncation muammosi

Cheksiz yigʻindi sonli hisobda chekli \(\ell_{\max}\) da kesilishi kerak:

\[ \sigma_\star^{(\ell_{\max})} = \sum_{\ell=0}^{\ell_{\max}} \sigma_{\ell,\star}, \qquad \star\in\{\mathrm{elas},T,V\}. \tag{5.14} \]

Haqiqiy yetishmayotgan dum:

\[ \Delta\sigma_\star^{(\ell_{\max})} = \sigma_\star - \sigma_\star^{(\ell_{\max})} = \sum_{\ell=\ell_{\max}+1}^{\infty} \sigma_{\ell,\star}. \tag{5.15} \]

Keyingi bitta qisman-toʻlqin hissasini oʻlchovchi inkremental nisbiy xato:

\[ \varepsilon_{\ell_{\max}}^\star = \frac{ \left| \sigma_\star^{(\ell_{\max}+1)} - \sigma_\star^{(\ell_{\max})} \right| }{ \sigma_\star^{(\ell_{\max})} }. \tag{5.16} \]

Biroq manba muhim ogohlantirish beradi: bu kattalik faqat keyingi hadni oʻlchagani sababli qolgan butun dumning xatosini past baholashi mumkin.

Qisman-Toʻlqin Yigʻindisining Yaqinlashuvi Qanday Tekshiriladi?

Tadqiqot yuqori-\(\ell\) Born faza siljishining \(\exp[-(\ell+1/2)\eta]\) koʻrinishidagi pasayishidan foydalanib, qolgan qisman-toʻlqin dumini taxminiy geometrik qator sifatida baholaydi; shu orqali faqat oxirgi qoʻshilgan hadga qarash oʻrniga umumiy yetishmayotgan dumning nisbiy kattaligi hisoblanishi va \(\ell_{\max}\) yetarlimi yoki yoʻqmi miqdoriy tekshirilishi mumkin.

Elastik kesim uchun analitik dum bahosi:

\[ \frac{ \Delta\sigma_{\rm elas}^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_{\ell=0}^{\rm U} } \approx \frac{ 2\pi\xi^4 }{ 4\xi^2+\zeta^2 } e^{-2(\ell_{\max}+1)\eta}. \tag{5.18} \]

Transfer kesimi uchun:

\[ \frac{ \Delta\sigma_T^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_{\ell=0}^{\rm U} } \approx \frac{\pi\zeta^2}{2\sinh\eta} \tanh(\eta/2) e^{-(2\ell_{\max}+3)\eta}. \tag{5.21} \]

Qovushqoqlik kesimi uchun:

\[ \frac{ \Delta\sigma_V^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_{\ell=0}^{\rm U} } \approx \frac{\pi\zeta^2}{2} e^{-2(\ell_{\max}+2)\eta}. \tag{5.24} \]

Uchala formulada ham \(\ell_{\max}\) kattalashgan sari xato eksponensial kamayadi. Nazorat parametri \(\eta\). Agar:

\[ \frac{|\zeta|}{\xi}\ll1, \]

boʻlsa:

\[ \eta\simeq\frac{|\zeta|}{\xi} \]

kichrayadi va eksponensial bostirish zaiflashadi. Shu sababli yarim klassik/Coulombga oʻxshash sohaga yaqinlashgan sari koʻproq qisman toʻlqin talab qilinadi.

Geometrik dum yaqinlashuvida toʻliq nisbiy xato bilan keyingi had orasidagi munosabat:

\[ \frac{ \Delta\sigma_\star^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_\star^{(\ell_{\max})} } \approx \frac{ \varepsilon_{\ell_{\max}}^\star }{ 1-e^{-2\eta} }, \qquad \ell_{\max}\gtrsim\ell_{\rm elas}^{\rm WKB}. \tag{5.25} \]

koʻrinishidadir. Manba \(\eta\simeq0.1\) uchun:

\[ (1-e^{-2\eta})^{-1}\simeq5.5 \]

ekanini bildiradi. Demak faqat “oxirgi had qanchalik kichik?” degan savolga qarash umumiy xato uchun ortiqcha optimistik boʻlishi mumkin.

Eng qiyin yaqinlashuv testi

Manba jadvalga kiritilgan sohaning eng qiyin yaqinlashuv nuqtasi sifatida:

\[ (\zeta,\xi) = (10^4,10^5) \]

nuqtasini alohida tekshiradi. Bevosita nazorat uchun sonli faza siljishlari \(\ell=164\) gacha, Born dumi esa \(\ell=1000\) gacha olib boriladi.

Uchala qiymat ham %1, yaʼni \(10^{-2}\) chegarasidan past. Bu natija “100 qisman toʻlqin barcha mumkin boʻlgan Yukawa muammolari uchun doim yetarli” degani emas; bu faqat tadqiqot eʼlon qilgan parametr sohasidagi tekshirilgan truncation nazoratidir.

Coulomb limiti bilan tekshirish

Qatʼiy Coulomb potensiali:

\[ V_C(r) = -\frac{\alpha}{r} \]

uchun analitik yechimlar mavjud. Tadqiqot qoʻllaydigan Coulomb faza siljishi:

\[ \theta_\ell^C(k) = \arg\Gamma(1+\ell-i\zeta), \tag{B.2a} \]

Sommerfeld faktori:

\[ S_\ell^C(k) = \frac{2\pi\zeta}{1-e^{-2\pi\zeta}} \prod_{j=1}^{\ell} \left( 1+\frac{\zeta^2}{j^2} \right) \tag{B.2b} \]

va chekli Green-funksiya maʼlumoti:

\[ T^C(k;k_\diamond) = 2\zeta \left[ \ln\left( \frac{\zeta}{\zeta_\diamond} \right) + {\rm Re}\,H_{i\zeta_\diamond} - {\rm Re}\,H_{i\zeta} \right] \tag{B.2c} \]

koʻrinishida beriladi.

Bu yerda muhim tafsilot bor: chekli mediator massali Yukawa faza siljishi \(\xi\rightarrow\infty\) boʻlganda qisman-toʻlqin bazisida Coulomb faza siljishiga bevosita nuqtaviy yaqinlashmaydi. Umumiy, logarifmik oʻsuvchi faza toʻplanadi. Bunga qarama-qarshi ravishda, Sommerfeld faktorlari va \(T(k;k_\diamond)\) yaxshi aniqlangan Coulomb limitlariga ega. Demak “Yukawa potensiali Coulombga yaqinlashadi” degan ifoda hisoblanadigan har bir kattalik bir xil tarzda nuqtaviy yaqinlashadi degani emas.

Born, WKB va sonli yechimning rollari

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar

• Regular va irregular Schrödinger yechimlarini bir xil variable-phase birinchi tartibli tenglamalar tizimi bilan sonli tarzda olish mumkin.
• Regular yechimning asimptotik koeffitsiyentlari bir xil hisoblashdan ham faza siljishini, ham Sommerfeld faktorini beradi.
• Irregular \(s\)-toʻlqin yechimi kontaktga oʻxshash noelastik jarayonlarni unitarizatsiya qilishda ishlatiladigan \(T(k;k_\diamond)\) maʼlumotini taʼminlashi mumkin.
• Yukawa potensiali uchun fizik masshtablardan chiqarilgan dinamik \(x_{\min}\) va \(x_{\max}\) tanlovi keng parametr skanlarida doimiy integrallash chegaralariga qaraganda ishonchliroq tartib beradi.
• Born, WKB va Coulomb limitlari sonli yechimning turli parametr sohalarida moslik nazoratlarini taʼminlaydi.
• Qisman-toʻlqin truncation xatosini yuqori-\(\ell\) Born dumi yordamida analitik baholash mumkin.
• Tadqiqot eʼlon qilgan parametr sohasida \(\ell=100,99,98\) kesishlari elastik, transfer va qovushqoqlik kesimlarining truncation xatolarini %1 dan past saqlaydi.
• Kodni turli haqiqiy, lokal va markaziy potensiallarga moslashtirish mumkin; biroq \(T(k;k_\diamond)\) ni ajratib olish qoʻshimcha ravishda potensialning zarur qisqa masofali xatti-harakatini bilishni talab qiladi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan umumlashtirishlar

• Tadqiqot qorongʻi moddaning mavjudligini yoki muayyan qorongʻi modda modelini tajribaviy tasdiqlamaydi.
• Yukawa potensiali barcha qorongʻi modda oʻzaro taʼsirlarini ifodalaydi, deb daʼvo qilinmaydi.
• Eʼlon qilingan \(\ell_{\max}\) qiymatlari barcha mumkin boʻlgan parametr fazolarida yetarli ekani koʻrsatilmagan.
• Born va WKB yaqinlashuvlarini barcha parametrlarda exact sonli yechim oʻrniga ishlatib boʻlmaydi.
• Itaruvchi Yukawa potensialida tortuvchi potensialdagi bogʻlangan-holat rezonanslari kutilmaydi va manba bunday natijani xabar qilmaydi.
• Jadvalga kiritilmagan bound-state formation va bremsstrahlung overlap integrallari maʼlumot toʻplamida tayyor natija sifatida berilmagan; manba zarur toʻliq toʻlqin funksiyalarini eʼlon qilingan kod yordamida hosil qilish mumkinligini bildiradi.

Qayta ishlab chiqarish mumkinligi

Tadqiqot faqat tenglamalarni eʼlon qilish bilan cheklanmaydi. Ishlatilgan Mathematica kodi ochiq eʼlon qilingan; Yukawa potensialiga oid jadval natijalari alohida Zenodo maʼlumot toʻplamida arxivlangan. Manba repozitoriyda parametr toʻri, maʼlumot formati va interpolatsiya funksiyalarini tushuntiruvchi foydalanuvchi qoʻllanmasi mavjudligini bildiradi.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot: Variable-phase methods and data for long-range scattering

Mualliflar: Marcos M. Flores, Kalliopi Petraki, Thomas Pignard.

Mualliflar tartibi: Marcos M. Flores → Kalliopi Petraki → Thomas Pignard.

Muassasalar: Laboratoire de Physique de l'Ecole Normale Supérieure, ENS, Université PSL, CNRS, Sorbonne Université, Université Paris Cité, Paris, France. Marcos M. Flores shuningdek Department of Physics, University of Oslo, Norway afiliatsiyasiga ega.

Mualliflar bilan aloqa: Manbaning sarlavha sahifasida uch muallifning ham elektron pochta manzili berilgan. Hujjat bir shaxsni aniq “corresponding author” deb belgilamagani sababli Verianla tomonidan bitta masʼul muallif tayinlanmagan.

Teng hissa: Manbada teng hissa haqidagi bayonot aniqlanmagan.

Platforma: arXiv.

arXiv: 2610.30261v1 [hep-ph].

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2610.30261. Ushbu DOI arXiv yozuvining doimiy identifikatoridir; taqrizdan oʻtgan jurnal DOI-si sifatida talqin qilinmasligi kerak.

arXiv yuborilgan sana: 21 oktyabr 2026.

PDFda yozilgan sana: 23 oktyabr 2026.

Sana izohi: PDF sarlavha sahifasidagi 23 oktyabr 2026 sanasi bilan arXiv v1 yuborish yozuvidagi 21 oktyabr 2026 bir xil emas. Har ikkala maʼlumot oʻz kontekstida saqlangan.

Manba turi: Tadqiqot preprinti; nazariy va sonli yuqori energiya fizikasi / astrofizik fenomenologiya tadqiqoti.

Taqriz holati: 4 noyabr 2026 holatiga koʻra rasmiy arXiv yozuvida taqrizdan oʻtgan jurnal nashriga oid journal reference koʻrsatilmagan. Shu sababli manba taqrizdan oʻtgan maqola sifatida taqdim etilmagan.

Asosiy arXiv kategoriyasi: High Energy Physics – Phenomenology (hep-ph).

Kesishuvchi kategoriyalar: Cosmology and Nongalactic Astrophysics (astro-ph.CO) va High Energy Astrophysical Phenomena (astro-ph.HE).

Tadqiqot hajmi: 48 sahifa, 13 rasm.

Asosiy usul: Qisman-toʻlqin ajratish, radial Schrödinger tenglamasi, variable-phase birinchi tartibli tizimi, outward regular yechim, inward irregular yechim, Sommerfeld faktorlari, faza siljishlari, Green-funksiya subtraction amali, Yukawa potensiali, Born/WKB/Coulomb analitik nazoratlari va qisman-toʻlqin truncation tahlili.

Kod: YukawaVPS nomli Mathematica kod repozitoriysi tadqiqot bilan birga ochiq eʼlon qilingan.

Maʼlumot: “YukawaVPS data: phase shifts, Sommerfeld factors, and cross sections for Yukawa scattering” maʼlumot toʻplami Zenodo DOI 10.5281/zenodo.23475703 ostida arxivlangan.

Moliyalashtirish: Tadqiqot Yevropa Ittifoqining Horizon 2020 tadqiqot va innovatsiya dasturi, Grant Agreement No. 101002846, ERC CoG CosmoChart tomonidan qoʻllab-quvvatlangan. Marcos M. Flores shuningdek Norwegian Research Council FRIPRO Grant, Project ID 353561 “DarkTurns” qoʻllab-quvvatlovini koʻrsatadi.

Manfaatlar toʻqnashuvi: Manba PDFda alohida manfaatlar toʻqnashuvi bayonoti aniqlanmagan; Verianla manbada mavjud boʻlmagan bayonotni yaratmagan.

CRediT / muallif hissalari: Manba PDFda alohida CRediT hissa jadvali yoki batafsil muallif-hissa bayonoti aniqlanmagan.

Litsenziya: Manba PDFni qayta ishlatishga oid aniq Creative Commons litsenziyasi ishonchli tasdiqlanmagani sababli ochiq kirish ochiq litsenziya sifatida talqin qilinmagan. Manba grafiklari aynan qayta ishlatilmagan.

Vizual usul: Verianla ichidagi usul sxemasi manbada tushuntirilgan matematik munosabatlar asosida mustaqil tayyorlangan masshtabsiz SVGdir; manba tadqiqotning 13 rasmining grafik dizayni nusxasi emas. Manba grafiklaridagi xom maʼlumotlar PDFdan taxmin qilinib yangi maʼlumot toʻplamiga aylantirilmagan.

Asosiy ilmiy chegara: Tadqiqot norelyativistik Schrödinger sochilish muammosini yechadi. Natijalar muayyan potensiallar va parametrlar uchun nazariy/sonli hisoblashlardir; bevosita astrofizik kuzatuv, zarra detektori natijasi yoki qorongʻi modda mikrofizikasining tajribaviy tasdigʻi emas.

Umumlashtirish chegarasi: Variable-phase tenglamalari Tenglama (2.7) dagi haqiqiy, lokal, markaziy potensiallar sinfiga qoʻllanadi. \(T(k;k_\diamond)\) ni extraction qilish qoʻshimcha ravishda Tenglama (2.22) dagi mos qisqa masofali xatti-harakatni talab qiladi.