Polylab — ko‘p o‘zgaruvchili polinomlarni MATLAB muhitida yaratish, hosila olish, soddalashtirish, baholash hamda CPU va GPUga yo‘naltirilgan backendlar o‘rtasida ko‘chirishni yagona obyekt modeli doirasida birlashtiradigan ramziy-sonli vositalar to‘plamidir. Tadqiqotda MPOLY, MPOLY_GPU va MPOLY_HP nomli uchta mos backend ko‘rib chiqilgan; ayniqsa Polylab 3.0 bilan kiritilgan aniq o‘zgaruvchi identifikatsiyasi va Polylab 3.1 bilan qo‘shilgan affin-normal yo‘nalishni hisoblash usullari batafsil yoritilgan. Tajribalar kichik va interaktiv amallarda MPOLY ko‘pincha eng past qo‘shimcha xarajatni berishini, intensiv soddalashtirish hamda o‘rta va katta affin-normal hisoblarda esa MPOLY-HP sezilarli ustunlik bera olishini ko‘rsatadi. Biroq natijalar muayyan apparat, MATLAB versiyasi, polinom tuzilmalari va tanlangan taqqoslash parametrlarida olingan; shu sababli ularni barcha polinom masalalari uchun universal GPU ustunligi deb talqin qilish mumkin emas.

Tadqiqotdagi eng muhim dasturiy dizayn yangiliklaridan biri o‘zgaruvchilarni faqat darajalar matritsasidagi o‘rniga ko‘ra farqlash o‘rniga vars.id va vars.name ma’lumotlari orqali aniq identifikatsiyaga ega qilishidir. Shu tariqa turli vaqtlarda yoki turli o‘zgaruvchilar fazosida yaratilgan polinomlarni birlashtirishda o‘zgaruvchilarning noto‘g‘ri ustunlarga mos kelish xavfi kamayadi.

Polylab 3.1, shuningdek, affin differensial geometriya bilan polinom optimallashtirish o‘rtasidagi bog‘lanishni dasturiy qatlamga olib kiradi. affineNormalDirection interfeysi avtomatik differensiallashga asoslangan ad, to‘liq matritsasiz log-determinant yondashuvi MF-logDet-Exact va stoxastik iz baholashidan foydalanadigan MF-logDet-Stochastic usullarini qo‘llab-quvvatlaydi.

Polylab qanday muammoni hal qilishga intiladi?

Ko‘p o‘zgaruvchili polinomlar optimallashtirish, boshqaruv, algebraik geometriya va hisoblash matematikasida tabiiy modellashtirish tilini tashkil etadi. Dasturiy nuqtai nazardan muammo shundaki, bu obyektlar na faqat ramziy, na faqat sonli tabiatga ega. Foydalanuvchi bir vaqtning o‘zida koeffitsiyent va daraja tuzilmalarini saqlashi, polinom matritsalari bilan ishlashi, hosila olishi, sonli nuqtada baholashi, boshqa optimallashtirish dasturlariga o‘tishi va zarur bo‘lsa GPU hisoblashidan foydalanishi mumkin.

Polylab bu ehtiyojlarni alohida vositalarga bo‘lish o‘rniga umumiy polinom obyekti ostida birlashtirishni maqsad qiladi. Tadqiqotda uchta asosiy sinf ta’riflangan:

• MPOLY: CPUdagi etalon amalga oshirish va vositalar to‘plamining semantik asosi.
• MPOLY_GPU: Asosiy interfeysni saqlab qoluvchi eski GPU amalga oshirishi.
• MPOLY_HP: Ayniqsa soddalashtirish, ko‘paytirish, reduction amallari va affin-normal hisoblash uchun ishlab chiqilgan GPUga yo‘naltirilgan amalga oshirish.

O‘zgaruvchi identifikatsiyasi nega muhim?

Polinomlarni kompyuterda ifodalashning keng tarqalgan usullaridan biri har bir monomni koeffitsiyent va darajalar qatori bilan saqlashdir. Biroq ikki ifoda bir-biridan mustaqil yaratilganda faqat “birinchi o‘zgaruvchi”, “ikkinchi o‘zgaruvchi” kabi pozitsion ma’no xavfsiz emas. Ayni ustun ikki xil obyektda turli matematik o‘zgaruvchilarga mos kelishi mumkin.

Polylab 3.0 bu muammoni har bir o‘zgaruvchiga ikkita metadata maydoni berish orqali hal qiladi: vars.id ichki va barqaror identifikatorni, vars.name esa foydalanuvchi o‘qiy oladigan nomni saqlaydi. Obyektlar birlashtirilganda avval o‘zgaruvchilar fazolari moslashtiriladi, so‘ng algebraik amal bajariladi.

Tadqiqot misolida mustaqil yaratilgan x va y o‘zgaruvchilarini o‘z ichiga olgan ikki polinom qo‘shilganda natijaviy fazo {x1, x2, y1, y2} ko‘rinishida saqlanadi. Bu yerdagi yangilik faqat chiroyliroq o‘zgaruvchi nomlari emas; asosiy maqsad turli model qismlari birlashtirilganda yashirin o‘zgaruvchi moslashtirish xatolarini oldini olishdir.

MATLAB xatti-harakatiga yaqin polinom interfeysi

Polylab MATLAB foydalanuvchilariga tanish bo‘lgan element bo‘yicha va matritsa bo‘yicha amallar farqini saqlaydi. times va power element bo‘yicha ishlaydi, mtimes va mpower esa matritsa algebrasini qo‘llaydi. sum va prod polinom massivlarida o‘lcham yo‘nalishi bo‘yicha reduction amallarini bajaradi.

Masalan

\[ A(x)= \begin{bmatrix} x_1 & 1\\ 0 & x_2 \end{bmatrix} \]

uchun element bo‘yicha kvadrat bilan matritsa kvadrati bir xil emas:

\[ A(x)^{\circ 2}= \begin{bmatrix} x_1^2 & 1\\ 0 & x_2^2 \end{bmatrix}, \qquad A(x)^2= \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1+x_2\\ 0 & x_2^2 \end{bmatrix}. \]

Bu farq Polylab faqat polinom ifodalarini chiqaradigan taqdimot qatlami emas, balki MATLAB matritsa semantikasiga moslashtirilgan hisoblash infratuzilmasi ekanini ko‘rsatadi.

Hosila, Jacobian, Hessian va baholash

Skalyar polinom uchun diff(p,i) tanlangan o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilani, jacobian(p) gradientni beradi; Jacobian yana qo‘llansa Hessian-ga o‘xshash polinom massivlarini olish mumkin.

Tadqiqotda ishlatilgan

\[ p(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+2x_1x_2-x_3+1 \]

polinomi uchun

\[ \frac{\partial p}{\partial x_1}=3x_1^2+2x_2 \]

va

\[ \nabla p(x)= \left[ 3x_1^2+2x_2,\; 2x_1,\; -1 \right] \]

hosil qilinadi. \(x=(1,2,3)\) nuqtasidagi baholash natijasi esa \(p(1,2,3)=3\) ga teng.

CPU tomonida double precision baholash uchun kompilyatsiya qilingan mexeval yadrosi mavjud bo‘lsa, standart auto rejimi avval MEX yo‘lini sinaydi, imkoni bo‘lmasa MATLAB amalga oshirishiga qaytadi. Foydalanuvchi matlab, auto yoki mex rejimlarini aniq tanlashi mumkin.

Polinom bazislari va tuzilmali optimallashtirish amallari

monolist(n,d), \(n\) ta o‘zgaruvchili va umumiy darajasi ko‘pi bilan \(d\) bo‘lgan barcha monomlarning ustun vektorini yaratadi. Masalan, uchta o‘zgaruvchi va ikkinchi daraja uchun monomlar soni

\[ \binom{n+d}{d}= \binom{5}{2}=10 \]

bo‘ladi. Bu xususiyat yaqinlashma hisoblash, moment usullari va sums-of-squares (SOS) asosidagi optimallashtirish modellarida asosiy qurilish elementi sifatida ishlatilishi mumkin.

quadprod esa \(b^\top Qb\) ko‘rinishidagi tuzilmali polinomlarni qo‘lda yoymasdan yaratadi. transmatconvex funksiyasi ham bir jinsli polinomlarning monom koeffitsiyent koordinatalari bilan tuzilmali qavariq bazislar o‘rtasidagi o‘tish uchun zarur matritsalarni hosil qiladi.

LaTeX va boshqa MATLAB ekotizimlari bilan ma’lumot almashish

Polylabning barcha asosiy sinflari LaTeX eksportini qo‘llab-quvvatlaydi, MPOLY.fromlatex esa CPU tomonida polinomni qayta yaratishi mumkin. Shu tariqa ifodani hisobot yoki maqola muhitiga chiqarib, keyin yana Polylab obyektiga aylantirish mumkin.

YALMIP uchun ikki tomonlama konvertatsiya funksiyalari taqdim etilgan. SOSTOOLS tomonida joriy versiyada Polylabdan SOSTOOLSga eksport mavjud, ammo teskari konvertatsiya amalga oshirilmagan. MATLAB Symbolic Math Toolbox uchun to‘g‘ridan-to‘g‘ri maxsus adapter yo‘q; tadqiqot LaTeX matnini konvertatsiya qilishga asoslangan yengilroq ko‘prikni ko‘rsatadi.

Affin-normal yo‘nalish nima?

Polylab 3.1 ning eng texnik yangiliklaridan biri affin-normal yo‘nalishni hisoblashdir. Muntazam sath to‘plami

\[ \Sigma_c=\{x\in\mathbb{R}^{n}:f(x)=c\}, \qquad \nabla f(x)\neq 0 \]

ustida Yevklid normali faqat birinchi hosila ma’lumoti bilan aniqlansa, affin normal mahalliy geometriyaning ikkinchi va uchinchi tartibli tuzilmasidan ham foydalanadi.

Bir nuqtada

\[ g=\nabla f(x), \qquad e=\frac{g}{\|g\|} \]

aniqlansin va oxirgi o‘qi gradient yo‘nalishi bilan tekislangan ortonormal

\[ Q=[Q_T,e] \]

ramka tanlansin. Urinma Hessian bloki va aralash had

\[ H_T=Q_T^\top\nabla^2 f(x)Q_T, \qquad h=Q_T^\top\nabla^2f(x)e \]

ko‘rinishidadir.

Log-determinant tuzatishining \(i\)-komponenti

\[ a_i= \operatorname{tr} \left( H_T^{-1} \frac{\partial H_T}{\partial t_i} \right), \qquad i=1,\ldots,n-1 \]

sifatida beriladi. Polylab qaytaradigan affin-normal yo‘nalish esa

\[ \nu_{\mathrm{aff}} = Q \begin{bmatrix} \tau\\ -1 \end{bmatrix}, \qquad \tau= H_T^{-1} \left( h- \frac{\|g\|}{n+1}a \right) \]

ko‘rinishida ifodalanadi.

Uchta affin-normal usulning vazifalari bir xil emas

AD, takroriy polinom hosilalari orqali bevosita hisoblagani uchun tushunarli etalon yo‘l vazifasini bajaradi. MF-logDet-Exact, to‘liq uchinchi tartibli tensorni ochiq yaratmasdan ayni tuzatishni hisoblashni ko‘zlaydigan matritsasiz usuldir. MF-logDet-Stochastic esa iz hisobini Hutchinson turidagi stoxastik baholash va Krylov chiziqli yechuvchilari bilan yaqinlashtiradi.

Shu sababli stoxastik yondashuv “har qanday holatda tezroq usul” emas. Tadqiqot tajribalari usul faqat masala o‘lchami, siyraklik tuzilmasi va yaqinlashma parametrlari mos bo‘lgandagina afzallik berishini ko‘rsatadi.

Unumdorlik natijalari nimani ko‘rsatadi?

Yengil yadro amallarida natijalar ko‘pincha CPU foydasiga. Masalan, monolist yaratish vaqti MPOLYda 0,0023 soniya bo‘lsa, MPOLY_GPUda 0,1014 va MPOLY_HPda 0,0972 soniyadir. Jacobian hisobida MPOLY 0,0056 soniya bilan ikkala GPUga yo‘naltirilgan backenddan tezroq. Bitta nuqtadagi eval amalida esa MPOLY_HP 0,0006 soniya bilan MPOLYning 0,0010 soniyalik natijasidan tezroq.

Asosiy tafovut zich yoyishdan keyin ayni monomlarni qayta-qayta birlashtirish kerak bo‘ladigan simplify ish yukida paydo bo‘ladi. Besh o‘zgaruvchili benchmarkda 126 ta asosiy monom darajasida CPU yo‘li taxminan 6,13 soniya davom etgan, MPOLY_GPU taxminan 0,162 soniya, MPOLY_HP esa taxminan 0,158 soniya ishlagan. Bu ayni sinov sharoitida MPOLY_HP uchun taxminan 38,8 baravar tezlashishga to‘g‘ri keladi.

Affin-normal aniqlikda exact usul nega ajralib turadi?

Olti o‘zgaruvchili, 17 monomli namunaviy siyrak quartic sinovida AD etalon deb olinganda MPOLYdagi MF-logDet-Exact yo‘nalishining birlik yo‘nalish xatosi \(1{,}99\times10^{-8}\), burchak farqi esa atigi \(1{,}21\times10^{-6}\) daraja deb qayd etilgan. Ishlash vaqti AD uchun 0,1093 soniya, exact usul uchun 0,0068 soniya.

Ayni misolda MPOLY-HPda AD 0,0738 soniya, MF-logDet-Exact esa 0,0021 soniya ishlagan. Stoxastik usulning bitta-seed natijalarida backendlar orasida ko‘ringan farq 10 xil probe seed bilan o‘tkazilgan qo‘shimcha sinovda yo‘qolgan: har ikki backend uchun o‘rtacha yo‘nalish xatosi \(0{,}0523\pm0{,}0229\), o‘rtacha burchak \(2{,}99^\circ\pm1{,}31^\circ\) darajasida.

Bu natija muhim foydalanish farqini yaratadi: o‘rta o‘lchamli va yuqori aniqlik talab qilinadigan affin-normal masalalarda exact usul tadqiqotning tabiiy standart tanlovidir; stoxastik usul esa kattaroq siyrak masalalar rejimida hisoblash xarajatini kamaytirishga qaratilgan yaqinlashma variantidir.

Stoxastik usul qaysi sharoitda afzallik beradi?

Tadqiqotning katta-siyrak tajribasida tayanch o‘lchami 2 va monomlar soni \(m=3d\) bo‘ladigan qilib \(d=80\) dan \(500\) gacha bo‘lgan masalalar sinovdan o‘tkazilgan. Bu yerda stoxastik usul ayniqsa tezlikka yo‘naltirilgan parametrlar bilan ishlatilgan: probe soni \(q=1\), regularization \(5\times10^{-4}\), Krylov tolerantligi \(2\times10^{-2}\) va maksimal iteratsiya soni 6.

260 o‘zgaruvchida MPOLY-HP exact usuli 1,141 soniya, stoxastik usul 0,225 soniya ishlagan; kuzatilgan tezlashish taxminan 5,07 baravar bo‘lgan. 500 o‘zgaruvchida MPOLY-HPdagi tezlashish taxminan 1,52 baravar. Bu tebranish stoxastik usul ustunligi faqat masala o‘lchamiga emas, siyraklik va yaqinlashma sozlamalariga ham bog‘liq ekanini ko‘rsatadi.

Single precision har doim tezroqmi?

Yo‘q. Tadqiqotdagi precision sinovlari, ayniqsa CPU yo‘lida single precision avtomatik ravishda tezlik ustunligini bermasligini ko‘rsatadi. Masalan, affin-normal MF-logDet-Exact amali MPOLYda double precisionda 0,0025 soniya, single precisionda 0,0076 soniya ishlagan. Aksincha, MPOLY-HPda ayni amal double precisionda 0,0026, single precisionda 0,0020 soniya ishlagan.

Mualliflar bu xatti-harakatni MATLABning mavjud siyrak va moslik yo‘llarining yetukligi, MEX qo‘llovli CPU baholash yo‘li va vositalar to‘plamining precision-specific kernel tuzilmasi bilan bog‘laydi. Shuning uchun “single har qanday holatda tezroq” degan xulosa tadqiqot tomonidan qo‘llab-quvvatlanmaydi.

Backendni amaliy tanlash

Asosiy xulosa: Polylabda to‘g‘ri backend tanlash “CPUmi yoki GPUmi?” degan umumiy tanlov emas; u polinom amali qaysi hisoblash rejimida ekaniga qarab bajarilishi kerak.

Tadqiqotning kuchli tomonlari

• Faqat API ro‘yxatini emas, haqiqiy MATLAB foydalanish misollari va kutiladigan natijalarni ham berishi.
• CPU va GPUga yo‘naltirilgan ikkita backendni ayni tajriba oilasida taqqoslashi.
• Yengil amallar bilan reduction-heavy amallarni alohida benchmark rejimlari sifatida baholashi.
• Stoxastik usulni faqat bitta seed bilan baholamay, 10 probe seedli barqarorlik sinovini taqdim etishi.
• Benchmark skriptlarida tasodifiylik seedlari va asosiy parametrlar ko‘rsatilishi.
• Yangi affin-normal funksiyalarni avval turli tadqiqot qo‘llanmalarida ishlatilgan mavjud polinom infratuzilmasi ustiga qo‘shishi.

Tadqiqotning cheklovlari nimalar?

Benchmarklar bitta asosiy apparat platformasida bajarilgan: MATLAB R2023b, Windows 10 Pro, Intel Core i9-12900K va NVIDIA GeForce RTX 4090. Shu sababli turli GPU arxitekturalari, MATLAB versiyalari, operatsion tizimlar yoki siyrak ma’lumot tuzilmalarida ayni tezlik nisbatlari saqlanishi ko‘rsatilmagan.

Tadqiqotdagi unumdorlik misollari muayyan polinom oilalarini ifodalaydi. GPU afzalligi ayniqsa reduction-heavy va affin-geometrik ishlarda paydo bo‘lishi ko‘rsatilgan bo‘lsa-da, barcha polinom tuzilmalarini qamrab olgan to‘liq unumdorlik xaritasi taqdim etilmagan.

Stoxastik affin-normal usulning tezlik afzalligi yaqinlashma parametrlariga sezgir. Tezlikka yo‘naltirilgan crossover tajribasidagi parametrlar aniqlik jadvallarida ishlatilgan 64-probeli sozlamalardan sezilarli farq qiladi. Shu sababli tezlik va yo‘nalish aniqligi bir xil benchmark sharoitida bevosita teng maqsadlar emas.

Polylab 3.1 da MATLAB Symbolic Math Toolbox uchun to‘g‘ridan-to‘g‘ri adapter va SOSTOOLSdan Polylabga teskari konvertatsiya yo‘q. Mualliflar tensor-derivative interfeyslari va yanada yetuk precision-specific sparse kernellarni ham kelajakdagi rivojlanish yo‘nalishlari sifatida ko‘rsatadi.

Tadqiqot nimani qo‘llab-quvvatlaydi?

• Polylab CPU va GPUga yo‘naltirilgan polinom amallarini umumiy MATLAB interfeysi ostida birlashtirishini.
• Aniq o‘zgaruvchi identifikatsiyasi mustaqil yaratilgan polinomlarni xavfsiz moslashtirish uchun ishlab chiqilganini.
• MPOLY ko‘rib chiqilgan yengil amallarning ko‘pida eng past qo‘shimcha xarajatga ega ekanini.
• MPOLY-HP reduction-heavy simplify sinovida katta tezlik afzalligini bera olishini.
• MF-logDet-Exact usuli ko‘rib chiqilgan namunaviy affin-normal aniqlik sinovida AD etaloniga nihoyatda yaqin yo‘nalish hosil qilganini.
• MF-logDet-Stochastic yondashuvi ayrim katta siyrak rejimlarda tezlik afzalligini bera olishini.

Tadqiqot nimani isbotlamaydi?

• GPU barcha polinom amallarida CPUdan tezroq ekanini isbotlamaydi.
• MPOLY-HP har qanday apparat va MATLAB versiyasida ayni tezlashish nisbatlarini berishini ko‘rsatmaydi.
• Stoxastik affin-normal usul har qanday masala o‘lchamida exact usuldan tezroq ekanini ko‘rsatmaydi.
• Benchmark natijalari barcha ramziy matematika dasturlariga umumlashtirilishini ko‘rsatmaydi.
• Polylab YALMIP, SOSTOOLS yoki Symbolic Math Toolbox o‘rnini bosishini da’vo qilmaydi; tadqiqot ularni bir-birini to‘ldiruvchi ekotizimlar sifatida joylashtiradi.
• Vositalar to‘plami barcha mumkin bo‘lgan real optimallashtirish masalalarida tezroq yoki aniqroq yechimlar berishini isbotlamaydi.

Turkiya nuqtai nazaridan bu nimani anglatadi?

Tadqiqot Turkiyaga xos tajriba yoki mahalliy unumdorlik bahosini o‘z ichiga olmaydi. Shunga qaramay, polinom optimallashtirish, boshqaruv, algebraik modellashtirish va tadqiqot maqsadida MATLABdan foydalanadigan universitet hamda muhandislik guruhlari uchun Polylabning umumiy CPU/GPU ma’lumot modeli potentsial foydali tadqiqot infratuzilmasini taqdim etishi mumkin. Bu baho tadqiqot Turkiyadagi unumdorlikni bevosita isbotlaganini anglatmaydi; mahalliy tadqiqot infratuzilmalarida turli GPUlar, MATLAB versiyalari va masala oilalari bilan alohida benchmark talab etiladi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tajriba muhiti

Yengil yadro amallari

Jadvalning asosiy xabari shuki, GPUga yo‘naltirilgan backendlar kichik amallarda avtomatik ravishda ustunlik bermaydi. MPOLY-HPning eng yaqqol dastlabki afzalliklari kubik yoyishdan keyingi soddalashtirish va bitta nuqtadagi baholash amalida ko‘rinadi.

Reduction-heavy soddalashtirish

Tajriba oilasida

\[ p_d(x)=\sum_{|\alpha|\le d}x^\alpha, \qquad f_d(x)=\operatorname{simplify}\left(p_d(x)^3\right) \]

ishlatilgan. Besh o‘zgaruvchili polinomlarda \(d\in\{2,3,4\}\), mos ravishda 21, 56 va 126 asosiy monom sinovdan o‘tkazilgan.

56 monomda taxminiy tezlashish MPOLY-GPU uchun 6,83×, MPOLY-HP uchun 11,44× deb berilgan. 126 monomda MPOLY 6,13 soniyagacha oshgan, ikki GPU yo‘li esa taxminan 0,16 soniya atrofida qolgan. Tadqiqotdagi eng kuchli GPU natijasi aynan shu reduction-heavy rejimdan keladi.

Affin-normal usullarni taqqoslash

Bu fixed-seed misolda exact usul AD etaloniga juda yaqin va ADdan ancha qisqa vaqtda hisoblangan. Biroq stoxastik usulning single-seed burchak farqlarini backend farqi deb talqin qilish kerak emas; 10-seed tajribasi bu farq katta darajada probe realization bilan bog‘liq ekanini ko‘rsatadi.

10 probe seed bilan stoxastik barqarorlik

Katta siyrak rejimda stoxastik crossover

Bu jadvaldagi stoxastik natijalar tezlikka yo‘naltirilgan yaqinlashma sozlamalari bilan olingan. Shu sababli ularni aniqlikka yo‘naltirilgan 64-probe natijalari bilan ayni tajriba sharoiti deb bevosita talqin qilish mumkin emas.

Precision natijalari

Tadqiqot single va double precision o‘rtasidagi munosabat amal turiga qarab o‘zgarishini aniq ko‘rsatadi. MPOLY simplify sinovida double 0,0419 soniya, single 0,0051 soniya; aksincha MPOLY affine MF-logDet-Exact sinovida double 0,0025 soniya, single 0,0076 soniya. MPOLY-HP affine exact sinovida esa double 0,0026 soniya, single 0,0020 soniya o‘lchangan.

Uslubiy talqin chegarasi: Bu qiymatlar tadqiqotda ishlatilgan kod versiyasi, MATLAB R2023b, RTX 4090 va i9-12900K kombinatsiyasiga tegishli. Boshqa MATLAB/GPU muhitlarida precision unumdorligi ayni tartibni ko‘rsatishi tadqiqotda sinovdan o‘tkazilmagan.

Manba va Usul Haqida Izoh

Tadqiqotning to‘liq original nomi: Polylab: A MATLAB Toolbox for Multivariate Polynomial Modeling

Mualliflar: Yi-Shuai Niu; Shing-Tung Yau.

Mualliflar tartibi: Yi-Shuai Niu → Shing-Tung Yau.

Teng hissa/teng birinchi muallif: Ko‘rib chiqilgan versiyada teng hissa haqida aniq bayonot yo‘q.

Mas’ul muallif: Maqola ikki muallif uchun aloqa ma’lumotlarini beradi, biroq ko‘rib chiqilgan versiyada bitta muallif aniq “corresponding author” deb ko‘rsatilmagan.

Tashkilotlar: Yi-Shuai Niu — Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA), Xitoy. Shing-Tung Yau — Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University, Xitoy; Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA), Xitoy.

Manba turi: Ilmiy dasturiy ta’minot / matematik dasturiy ta’minot ishini hujjatlashtiruvchi preprint.

Taqriz holati:Bu tadqiqot preprint bo‘lib, taqrizdan o‘tgan jurnal maqolasi sifatida baholanmasligi kerak.

Platforma: arXiv.

arXiv: 2604.06575v2.

DOI: 10.48550/arXiv.2604.06575. Bu DOI arXiv/DataCite qayd DOIidir; bu alohida taqrizdan o‘tgan jurnal DOIisi borligini anglatmaydi.

Nashr tarixi: v1 — 8-aprel 2026; v2 — 9-aprel 2026.

Jurnal: Ko‘rib chiqilgan versiyada nashr etilgan taqrizli jurnal identifikatori ko‘rsatilmagan.

Nashriyot: Ko‘rib chiqilgan preprint uchun alohida jurnal nashriyoti ma’lumoti yo‘q.

Rasmiy nashr qaydi: arXiv:2604.06575.

Litsenziya: arXiv non-exclusive distribution license. Bu litsenziya CC BY kabi umumiy qayta foydalanish litsenziyasi sifatida baholanmagan. Shu sababli Verianladagi SVGlar manba rasmlarining aynan nusxasi emas.

Moliyalashtirish: Yi-Shuai Niu uchun National Natural Science Foundation of China, Grant No. 42450242 va Beijing Overseas High-Level Talent Program; shuningdek BIMSA va Yau Mathematical Sciences Center institutsional qo‘llovi ko‘rsatilgan.

Ma’lumot/kod mavjudligi: Tadqiqot tajribalar repository skriptlaridan yaratilganini va kod nashrdan keyin mavjud qilinishini bildiradi. Ko‘rib chiqilgan versiyada alohida, yakunlangan ma’lumotlar mavjudligi bayonoti yo‘q.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Ko‘rib chiqilgan versiyada alohida manfaatlar to‘qnashuvi bayonoti aniqlanmagan.

CRediT/muallif hissalari: Ko‘rib chiqilgan versiyada alohida CRediT hissa jadvali yoki bayonoti yo‘q.

Ilmiy mazmun qamrovi: Ushbu Verianla maqolasidagi dasturiy xususiyatlar, tenglamalar, benchmark qiymatlari va talqin chegaralari yuklangan 21 sahifalik tadqiqotga asoslanadi. Tashqi tekshiruv faqat arXiv identifikatori, versiya sanasi, DOI va litsenziya kabi bibliografik maydonlar uchun ishlatilgan; tashqi manbalardan yangi eksperimental yoki algoritmik natija qo‘shilmagan.

Asosiy cheklov: Unumdorlik o‘lchovlari muayyan benchmark oilalari va bitta asosiy apparat/dasturiy muhitda bajarilgan. Natijalar Polylab barcha masalalar, apparatlar va MATLAB versiyalarida ayni unumdorlik nisbatlarini berishini ko‘rsatmaydi.