Suyuqlik bilan toʻyingan yumshoq gʻovak materiallar siqilganda qoʻllangan yukni faqat qattiq skelet koʻtarmaydi; gʻovaklardagi suyuqlik bosimi ham yukni vaqtincha koʻtaradi va suyuqlik materialdan oqib chiqqani sari deformatsiya vaqt davomida oʻzgaradi. Ushbu tadqiqot yupqa poroelastik diskning oʻq boʻylab siqilish ostidagi konsolidatsiyasini klassik Terzaghi-Biot confined compression muammosi bilan taqqoslaydi va yon sirti erkin qoldirilgan unconfined sinov uchun yangi asimptotik modelni ishlab chiqadi. Klassik confined sinovda disk qattiq halqa bilan radial yoʻnalishda ushlab turilsa, unconfined sinovda yon deformatsiyaga ruxsat beriladi. Muallif Terzaghiyning boshlangʻich siljish nolga teng degan farazi erkin yon sirtdagi kuchlanish nolga teng boʻlishi haqidagi chegaraviy shartga zid ekanini koʻrsatib, uning oʻrniga Biotning boshlangʻich hajm oʻzgarishi nolga teng boʻlishi shartidan foydalanadi. Bu yondashuvda namuna yuklash paytida oʻq boʻylab siqiladi va radial ravishda kengayadi; suyuqlik hali chiqib ketmagani uchun holat baribir “undrained”dir. Yupqa disk farazi \(H/R\ll1\) qoʻllanganda bosim bilan yon deformatsiya oʻrtasidagi bogʻlanish klassik konsolidatsiya tenglamasida mavjud boʻlmagan nolokal hadni hosil qiladi. Modelning eng diqqatga sazovor natijasi shuki, unconfined diskning oʻrta tekisligiga yaqin hududda gʻovak bosimi boshlangʻich qiymatidan vaqtincha oshib ketishi mumkin. Confined Terzaghi yechimida esa bosim har bir nuqtada monoton ravishda kamayadi. Bosim oshib ketishining kattaligi Puasson koeffitsiyentiga bogʻliq; Puasson koeffitsiyenti kamaygan sari nolokal bogʻlanish kuchayadi. Model, shuningdek, dastlabki davrda suyuqlik tezligi unconfined diskda yuqoriroq boʻlishini, markazda hajmiy qisqarish kechikishini hamda oʻq boʻylab/radial deformatsiyalar vaqt davomida klassik confined sinovdan farqli, ayrim joylarda nomonoton xatti-harakat koʻrsatishi mumkinligini bashorat qiladi. Tadqiqot yangi laboratoriya tajribasini oʻz ichiga olmaydi; u analitik va sonli natijalarini adabiyotdagi miya va togʻay parametrlaridan foydalanib oʻlchovli vaqt shkalalariga aylantiradi.

Confined va Unconfined Siqish Sinovlari Oʻrtasidagi Asosiy Farq Nima?

Confined compression sinovida namuna atrofidagi qattiq halqa radial deformatsiyani toʻsib qoʻyadi va konsolidatsiya faqat oʻq boʻylab yuz beradi; unconfined sinovda esa yon sirt erkin boʻlgani sababli namuna yuklash paytida radial ravishda kengayishi mumkin va bu yon deformatsiya gʻovak bosimi bilan teskari bogʻlanib, klassik Terzaghi konsolidatsiyasida mavjud boʻlmagan yangi dinamik xatti-harakatni yuzaga keltiradi.

Tadqiqotda boshlangʻich yarim qalinligi \(H\), radiusi \(R\) boʻlgan yupqa silindrsimon disk koʻrib chiqiladi:

\[ \delta=\frac{H}{R}\ll1. \]

Disk \(z=\pm H\) joylashuvdagi ikkita tekis va oʻtkazuvchan plastina orasida doimiy oʻq kuchi bilan siqiladi. Plastinalar bilan kontakt ishqalanishsiz deb qabul qilinadi. Yon sirt esa suyuqlikni oʻtkazmaydi; shu sababli gʻovak suyuqligi faqat yuqori va pastki oʻtkazuvchan plastinalardan tashqariga chiqishi mumkin.

Poroelastiklikning asosiy tenglamalari

Model chiziqli, izotrop poroelastiklikka asoslanadi. Suyuqlik fazasi uchun Darcy oqimi:

\[ \mathbf q = -\frac{\kappa}{\eta}\nabla p \]

orqali taʼriflanadi. Bu yerda \(\kappa\) oʻtkazuvchanlik, \(\eta\) suyuqlik qovushqoqligi va \(p\) gʻovak bosimidir.

Umumiy kuchlanish Terzaghi samarali kuchlanishi bilan suyuqlik bosimining birikmasi sifatida:

\[ \boldsymbol{\tau} = \mathbf T-p\mathbf I = 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} +\lambda\theta\mathbf I -p\mathbf I \]

koʻrinishida ifodalanadi. \(\lambda\) va \(\mu\) Lamé elastik doimiylari, \(\theta=\nabla\cdot\mathbf u\) esa hajmiy deformatsiyadir.

Massa saqlanishi bilan Darcy qonunini birlashtirish natijasida:

\[ \frac{\partial\theta}{\partial t} = \frac{\kappa}{\eta} \nabla^2p \]

munosabat hosil qilinadi. Tadqiqotning yangiligi unconfined yupqa disk uchun \(\theta\) bilan \(p\) oʻrtasidagi munosabat faqat lokal bosimga bogʻliq emasligini koʻrsatishidir.

Terzaghi Boshlangʻich Sharti Erkin Diskda Nega Ziddiyat Tugʻdiradi?

Terzaghiyning klassik boshlangʻich sharti yuk qoʻllanishi bilanoq qattiq skelet umuman deformatsiyalanmaydi deb faraz qiladi; confined sinovda qattiq halqa bu farazga mos boʻlsa-da, unconfined diskda erkin yon sirt bir vaqtning oʻzida ham samarali radial kuchlanish nolga tengligi, ham boshlangʻich deformatsiya nolga tengligi shartlarini bajara olmaydi va matematik chegaraviy shart ziddiyati paydo boʻladi.

Confined sinovda klassik Terzaghi sharti:

\[ \mathbf u(t=0)=0 \]

koʻrinishidadir. Bunda samarali qattiq kuchlanishlar boshida nolga teng boʻladi va qoʻllangan yukni toʻliq suyuqlik bosimi koʻtaradi:

\[ p_0^{conf}=-\sigma_0. \]

Unconfined sinovda esa yon sirt uchun umumiy radial kuchlanish nolga teng boʻlishi kerak:

\[ \tau_{rr} = T_{rr}-p = 0. \]

Agar boshlangʻich deformatsiyalar nol deb qabul qilinsa, \(T_{rr}=0\) boʻladi va shu bilan birga \(p=0\) talab etiladi. Biroq yuklangan yuqori-pastki sirtlardagi kuch muvozanati nolga teng boʻlmagan boshlangʻich bosimni talab qiladi. Shu sababli manba Terzaghi farazidan unconfined muammo uchun foydalanib boʻlmasligini koʻrsatadi.

Biot boshlangʻich sharti

Muqobil ravishda qattiq skeletning dastlab harakatlanishiga ruxsat beriladi, ammo suyuqlik chiqib ketmaydigan undrained holatda umumiy hajm saqlanadi:

\[ \mathbf u(t=0)\neq0, \qquad \nabla\cdot\mathbf u(t=0)=0. \]

Ushbu shartlar va kuch muvozanati birgalikda yechilganda:

\[ p_0^{unconf} = -\frac{\sigma_0}{3}. \]

Boshlangʻich deformatsiyalar:

\[ \varepsilon_{zz,0} = \frac{\sigma_0}{3\mu}, \]

\[ \varepsilon_{rr,0} = \varepsilon_{\theta\theta,0} = -\frac{\sigma_0}{6\mu} \]

boʻladi. Manbaning ishora konvensiyasida siqish kuchlanishi manfiy; shu bois oʻq boʻylab deformatsiya siquvchi, radial va aylana boʻylab deformatsiyalar esa kengaytiruvchidir.

Shunday qilib, yuk qoʻllangan dastlabki paytda disk qalinligi kamayib, radiusi ortadi; shunga qaramay:

\[ \varepsilon_{zz} + \varepsilon_{rr} + \varepsilon_{\theta\theta} =0 \]

boʻlgani uchun umumiy hajm oʻzgarmaydi.

Nolokal Bosim Hadi Nimani Anglatadi?

Nolokal had bir nuqtadagi hajmiy deformatsiyaga faqat oʻsha nuqtadagi gʻovak bosimi emas, balki diskning butun qalinligi boʻylab hosil boʻlgan oʻrtacha bosim maydoni ham taʼsir qilishini anglatadi; shu tariqa yon sirtning erkin deformatsiyasi butun disk boʻylab bosim maydonini oʻzaro bogʻlaydigan mexanik teskari aloqani hosil qiladi.

Yupqa disk asimptotikasida radial siljish leading order-da qalinlik koordinatasiga bogʻliq boʻlmay qoladi:

\[ U_r=A(\tilde t)\rho. \]

Yon sirtdagi radial kuch nolga tengligi sharti qalinlik boʻylab integral koʻrinishda qoʻllanganda hajmiy deformatsiya lokal bosim va oʻrtacha bosimni birgalikda oʻz ichiga olgan shaklga oʻtadi.

Natijada:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t} = \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} - \alpha_2 \int_0^1 \frac{\partial P}{\partial\tilde t}\,dZ \]

hosil boʻladi.

Bu yerda:

\[ \alpha_2 = \frac{4\mu}{3\lambda+2\mu} = \frac{2-4\nu}{1+\nu}. \]

Tenglama chegara oqimi orqali qayta yozilganda:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t} = \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} - \alpha \left. \frac{\partial P}{\partial Z} \right|_{Z=1} \]

va:

\[ \alpha = \frac{2-4\nu}{3-3\nu}. \]

Xarakterli konsolidatsiya vaqt shkalasi:

\[ \tilde t_c = \frac{\eta H^2} {\kappa(\lambda+2\mu)} \]

orqali belgilanadi. Demak, xarakterli vaqt qoʻllangan boshlangʻich bosimga bogʻliq emas; uni disk qalinligi, suyuqlik harakatchanligi va qattiq skeletning elastik xususiyatlari boshqaradi.

Usul va Natijalar

Bosim nega avval koʻtariladi?

Unconfined modelda dastlabki vaqtlarda oʻrta tekislik yaqinida bosim profili deyarli tekis boʻlgani uchun:

\[ \left. \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} \right|_{Z=0} \approx0. \]

Bu holda boshqaruvchi tenglama taxminan:

\[ \frac{\partial P(0,\tilde t)} {\partial\tilde t} = \alpha Q(1,\tilde t) \]

koʻrinishiga keladi.

Oʻtkazuvchan chegaradagi Darcy oqimi:

\[ Q(1,\tilde t)>0 \]

boʻlgani uchun dastlabki paytda:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t}>0 \]

va markaziy bosim koʻtariladi. Bu klassik diffuziya hadi yakka oʻzi hosil qiladigan xatti-harakat emas; nolokal yon deformatsiya teskari aloqasining bevosita natijasidir.

\(\nu=1/3\) misoli

Manbaning Figure 3 izohida \(\nu=\alpha=1/3\) uchun oʻrta tekislik bosimining vaqt boʻyicha hosilasi taxminan:

\[ \tilde t=0.10 \]

nuqtada noldan oʻtishi qayd etiladi. Bu qiymat model egri chizigʻidagi bosim choʻqqisiga mos keladi. Bosim taxminan:

\[ \tilde t<0.18 \]

davomida boshlangʻich qiymat \(P=1\) dan yuqori boʻlib qoladi.

Maqolaning keyingi §6.6 boʻlimida \(\tilde t=0.18\) bu safar “maksimal bosim vaqti” deb atalgan. Bu ifoda Figure 3 va §6.1 dagi hosila tahliliga mos kelmaydi; manba ichidagi ushbu farq bu yerda tuzatilgan tajriba natijasi sifatida yashirilmagan.

Suyuqlik oqimi

Oʻlchamsiz Darcy tezligi:

\[ Q(Z,\tilde t) = -\frac{\partial P}{\partial Z} \]

deb taʼriflanadi. Manbaning Figure 4 tasviri suyuqlik oʻrta tekislikdan oʻtkazuvchan sirtlar tomon harakatlanishini koʻrsatadi. Oqim tezligi:

• oʻtkazuvchan sirtlarga yaqin hududlarda dastlab yuqori,
• oʻrta tekislikda kechroq rivojlanadi,
• dastlabki vaqtda unconfined sinovda confined sinovdagidan kattaroq,
• vaqt davomida nomonoton oʻtishni koʻrsatgach, bosim gradienti soʻngani sari kamayadi.

Deformatsiya qanday oʻzgaradi?

Figure 5 ga koʻra, oʻtkazuvchan sirt yaqinida suyuqlik tez boʻshalgani sababli hajmiy deformatsiya juda erta manfiy qiymatga oʻtadi. Suyuqlik koʻtaradigan yuk kamaygan sari koʻproq yuk qattiq skeletga oʻtadi va oʻq boʻylab siqilish ortadi.

Oʻrta tekislikda esa suyuqlik bosimi vaqtincha koʻtarilgani sababli hajmiy qisqarish kechikadi. Bu hududda dastlabki undrained holatga nisbatan:

• oʻq boʻylab siqilish deformatsiyasining kattaligi vaqtincha kamayishi mumkin,
• radial choʻzilish deformatsiyasi kamayishi mumkin,
• yaʼni disk dastlabki kengaygan holatiga nisbatan vaqtinchalik radial qayta qisqarishni koʻrsatishi mumkin.

Shu bilan birga, sof umumiy radial deformatsiya musbat boʻlib qolishi mumkin; demak, “radial qisqarish” iborasi dastlabki keskin kengaygan konfiguratsiyaga nisbatan yuz beradigan transient oʻzgarishni anglatadi.

Confined va unconfined konsolidatsiya tezligi

\(\nu=1/3\) uchun Figure 7 da \(\tilde t=0.01\) paytida oʻtkazuvchan sirtga yaqin unconfined material yakuniy hajmiy deformatsiyasining taxminan %65 iga yetsa, confined namunadagi tegishli hudud taxminan %90 ga yetadi.

Bu taqqoslash bir xil normallashtirilgan vaqt shkalasida unconfined disk yakuniy hajm oʻzgarishiga tomon sekinroq borishini koʻrsatadi.

Radial kuchlanishlar

Unconfined asimptotik yechimda yon sirtdagi radial kuchlanish nolga tengligi shartini har bir \(Z\) nuqtada aynan qoʻllab boʻlmaydi. Yupqa plastina yondashuviga muvofiq, uning oʻrniga qalinlik boʻylab sof radial kuch nolga teng boʻlishi sharti qoʻllanadi.

Shu sababli manbaning Figure 6 tasvirida lokal umumiy radial kuchlanishlar nolga teng emasligi va oʻrta tekislik bilan oʻtkazuvchan sirt orasida sezilarli oʻzgarishi koʻrinadi. Biroq qalinlik boʻylab umumiy radial kuch nolga teng.

Bu jihat modelning muhim asimptotik chegarasidir: lokal edge-layer kuchlanish tafsilotlari leading-order yechimda hal qilinmaydi.

Biologik Toʻqimalarda Bu Vaqt Shkalalari Nimani Anglatadi?

Manba modelni bevosita yangi biologik tajriba bilan tasdiqlamasa-da, adabiyotda keltirilgan togʻay va miya konsolidatsiya koeffitsiyentlaridan foydalanib, qalinligi 1 mm boʻlgan yupqa toʻqimada gʻovak bosimi oʻzgarishlari soniyalardan oʻnlab daqiqalargacha davom etishi mumkinligini va shu sababli bosim boshqaradigan suyuqlikning qayta taqsimlanishi bir nechta fiziologik yuk sikli davomida saqlanishi mumkinligini koʻrsatadi.

Manba, shuningdek, \(\tilde t=0.18\) ni togʻay uchun taxminan 170 soniya, miya toʻqimasi uchun taxminan 7 soniya sifatida oʻlchovli qiladi. Ammo yuqorida qayd etilganidek, ushbu boʻlimning buni “maksimal bosim vaqti” deb atashi Figure 3 dagi \(\tilde t=0.10\) choʻqqi shartiga ziddir.

Taqqoslash uchun manba taxminiy fiziologik davrlarni yurak urishi uchun 1 s, nafas olish uchun 5 s va yurish uchun 1 s tartibida beradi. Shu sababli, ayniqsa oʻtkazuvchanligi past toʻqimalarda bir yuk sikli hosil qilgan suyuqlik bosimi gradienti keyingi sikllargacha davom etishi mumkin.

Miya toʻqimasida suvning koʻrinma molekulyar diffuzivligi taxminan:

\[ 7\times10^{-10}\ \mathrm{m^2/s} \]

deb beriladi va bu qiymat foydalanilgan miya konsolidatsiya koeffitsiyentidan taxminan bir tartib kichikdir. Muallif bundan bosim boshqaradigan poroelastik suyuqlikning qayta taqsimlanishi faqat molekulyar diffuziyaga qaraganda tezroq yuz berishi mumkinligi haqidagi masshtab taqqoslashi sifatida foydalanadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan xulosalar

• Terzaghiyning boshlangʻich deformatsiya nolga tengligi sharti erkin yon sirtli unconfined disk uchun chegaraviy shartlarga ziddir.
• Boshlangʻich hajm oʻzgarishi nolga tengligiga asoslangan Biot tipidagi boshlangʻich shart bu ziddiyatni bartaraf etadi.
• Bir xil qoʻllangan siqish kuchlanishida unconfined boshlangʻich gʻovak bosimi klassik confined qiymatning uchdan biriga teng.
• Yupqa unconfined diskda yon deformatsiya va bosim oʻrtasidagi bogʻlanish nolokal konsolidatsiya hadini hosil qiladi.
• Bu had markaziy tekislikka yaqin hududda bosimning vaqtinchalik oshib ketishini yuzaga keltirishi mumkin.
• Past Puasson koeffitsiyenti nolokal bogʻlanish va bosim oshib ketishini kuchaytiradi.
• Unconfined sinovdagi dastlabki Darcy oqimi confined muammoga qaraganda yuqoriroq boʻlishi mumkin.
• Markaziy tekislikda hajmiy qisqarish kechikadi va lokal oʻq boʻylab deformatsiya nomonoton oʻzgarishi mumkin.
• Modelning vaqt shkalasi suyuqlik harakatchanligi, disk qalinligi va ikkita elastik doimiy bilan belgilanadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan umumlashtirishlar

• Tadqiqot togʻay, miya yoki koʻruv nervi boʻyicha yangi siqish tajribasi emas.
• Bosimning oshib ketishi biologik toʻqimada bevosita oʻlchangan klinik topilma emas; bu matematik model bashoratidir.
• Model katta deformatsiyalarni tushuntirmaydi; unda kichik deformatsiyali chiziqli poroelastiklik qoʻllanadi.
• Material izotrop va bir jinsli deb qabul qilingan.
• Gʻovak suyuqligi siqilmaydigan deb qabul qilingan.
• Disk juda yupqa, \(H/R\ll1\), deb qabul qilinadi.
• Yon sirt suyuqlikni oʻtkazmaydi, yuqori-pastki plastinalar esa oʻtkazuvchan deb qabul qilingan.
• Oqim leading order-da bir oʻlchamli oʻq boʻylab drenajga keltirilgan.
• Erkin chekkadagi lokal kuchlanish sharti pointwise emas, qalinlik boʻylab umumiy kuch sharti bilan taxminan qoʻllanadi.
• Adabiyotdagi cartilage va brain parametrlari Terzaghi-Biot modeli bilan mutlaqo bir xil constitutive framework-lardan olinmagan; manba ulardan faqat tartibni baholash maqsadida foydalanadi.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot:Fluid pressure governs transient radial expansion and contraction of a consolidating thin porous disk.

Muallif: Arina Korneva.

Muassasa: Department of Biomedical Engineering, Virginia Tech, Blacksburg, Virginia, USA.

Masʼul muallif: Arina Korneva.

DOI: 10.2139/ssrn.7207555.

SSRN identifikatori: 7207555.

Nashr sanasi: SSRN qaydiga koʻra 30 iyul 2026.

Nashr maqomi: 28 sahifali, taqrizdan oʻtmagan preprint.

Tadqiqot turi: Analitik poroelastiklik, asimptotik yupqa disk nazariyasi va sonli PDE yechimi. Yangi tajriba maʼlumotlari ishlab chiqarilmagan.

Asosiy farazlar: Kichik deformatsiya, chiziqli va izotrop qattiq skelet, siqilmaydigan gʻovak suyuqligi, ishqalanishsiz yuklash sirtlari, oʻtkazuvchan yuqori-pastki plastinalar, suyuqlik oʻtkazmaydigan yon sirt va \(H/R\ll1\) yupqa disk geometriyasi.

Asimptotik chegara: Leading-order radial displacement qalinlik boʻylab oʻzgarmas deb qabul qilingani uchun yon sirtdagi nol radial traction pointwise bajarilmaydi; uning oʻrniga qalinlik boʻylab sof radial kuch nolga teng boʻlgan zaiflashtirilgan chegaraviy shart qoʻllangan.

Adabiyotga asoslangan oʻlchovlash: Haqiqiy vaqt hisoblarida foydalanilgan togʻay va miya konsolidatsiya koeffitsiyentlari ushbu tadqiqotda oʻlchanmagan, avvalgi chop etilgan ishlardan olingan.

Manba ichidagi vaqtga oid izoh: Figure 3 va §6.1 da \(\nu=1/3\) uchun \(\partial P/\partial\tilde t=0\) vaqti taxminan 0.10, boshlangʻich bosimdan yuqori qolish muddati esa taxminan 0.18 gacha berilgan. §6.6 esa 0.18 ni maksimal bosim vaqti deb ataydi. Bu ikki ifoda oʻzaro mos emas.

Manba ichidagi notatsiyaga oid izoh: Nolokal koeffitsiyent uchun bir jumlada “\(2/3\le\alpha\le0\)” koʻrinishidagi teskari tengsizlik berilgan; ayni maqoladagi munosabat va Figure 2, \(\alpha\) ning \(\nu=0\) uchun 2/3 dan \(\nu=0.5\) uchun 0 gacha kamayishini koʻrsatadi.

Tegishli taqrizlangan tadqiqot: Denis Kucherenko va Arina Kornevaning A poroelastic model of the optic nerve shows a significant effect of fluid pressure on the nerve fibers tadqiqoti Mechanics of Materials, Volume 204, 2025, 105299, DOI 10.1016/j.mechmat.2025.105299 da chop etilgan. Yangi tadqiqot ayni poroelastik biomexanika tadqiqot yoʻnalishi bilan bogʻliq boʻlsa-da, boshqa yupqa disk konsolidatsiyasi muammosidir.

Maʼlumotlarning mavjudligi / moliyalashtirish / manfaatlar toʻqnashuvi: Yuklangan preprintda bular uchun alohida va aniq bayonot boʻlimlari koʻrinmaydi; yetishmayotgan maydonlar Verianla tomonidan uydirilmagan.

Mualliflik huquqi: SSRN qaydi barcha huquqlar himoyalanganini bildiradi. Manbadagi Figure 1–7 ni piksel darajasida koʻchirish oʻrniga confined/unconfined disk, pressure overshoot, Darcy oqimi va radial deformation munosabatlari Verianla uchun original sxemalar bilan qayta chizilishi kerak.