Maye ilə doymuş yumşaq məsaməli materiallar sıxıldıqda tətbiq olunan yükü yalnız bərk skelet daşımır; məsamələrdəki maye təzyiqi də müvəqqəti olaraq yük daşıyır və maye materialdan xaric olduqca deformasiya zamanla dəyişir. Bu tədqiqat nazik poroelastik diskin oxboyu sıxılma altında konsolidasiyasını klassik Terzaghi-Biot confined compression problemi ilə müqayisə edir və yan səthi sərbəst buraxılmış unconfined sınaq üçün yeni asimptotik model hazırlayır. Klassik confined sınaqda disk sərt halqa vasitəsilə radial istiqamətdə saxlanıldığı halda, unconfined sınaqda yanal deformasiyaya icazə verilir. Müəllif Terzaghi-nin sıfır başlanğıc yerdəyişməsi fərziyyəsinin sərbəst yan səthdəki sıfır gərginlik sərhəd şərti ilə ziddiyyət təşkil etdiyini göstərir və bunun əvəzinə Biot-nun başlanğıcda sıfır həcm dəyişikliyi şərtindən istifadə edir. Bu yanaşmada nümunə yüklənmə anında oxboyu sıxılır və radial olaraq genişlənir; maye hələ xaric olmadığı üçün vəziyyət yenə “undrained”dir. Nazik disk fərziyyəsi \(H/R\ll1\) istifadə edildikdə təzyiqlə yanal deformasiya arasındakı əlaqə klassik konsolidasiya tənliyində olmayan qeyri-lokal termin yaradır. Modelin ən diqqətəlayiq nəticəsi unconfined diskin orta müstəvisinə yaxın sahədə məsamə təzyiqinin müvəqqəti olaraq başlanğıc qiymətini aşa bilməsidir. Confined Terzaghi həllində isə təzyiq hər nöqtədə monoton şəkildə azalır. Təzyiq aşımının böyüklüyü Puasson əmsalından asılıdır; Puasson əmsalı azaldıqca qeyri-lokal əlaqə güclənir. Model həmçinin ilkin mərhələdə maye sürətinin unconfined diskdə daha yüksək olduğunu, mərkəzdə həcm daralmasının gecikdiyini və oxboyu/radial deformasiyaların zamanla klassik confined sınaqdan fərqli, bəzi sahələrdə qeyri-monoton davranış göstərə bildiyini proqnozlaşdırır. Tədqiqat yeni laboratoriya təcrübəsi ehtiva etmir; analitik və ədədi nəticələrini ədəbiyyatdakı beyin və qığırdaq parametrləri ilə ölçülü zaman miqyaslarına çevirir.

Confined və Unconfined Sıxılma Sınaqları Arasındakı Əsas Fərq Nədir?

Confined compression sınağında nümunənin ətrafındakı sərt halqa radial deformasiyanın qarşısını alır və konsolidasiya yalnız oxboyu istiqamətdə baş verir; unconfined sınaqda isə yan səth sərbəst olduğundan nümunə yüklənmə anında radial olaraq genişlənə bilər və bu yanal deformasiya məsamə təzyiqi ilə əks əlaqəyə girərək klassik Terzaghi konsolidasiyasında olmayan yeni dinamik davranış yaradır.

Tədqiqatda başlanğıc yarımqalınlığı \(H\), radiusu \(R\) olan nazik silindrik disk nəzərdən keçirilir:

\[ \delta=\frac{H}{R}\ll1. \]

Disk \(z=\pm H\) mövqeyindəki iki düz və keçirici lövhə arasında sabit oxboyu qüvvə ilə sıxılır. Lövhələrlə təmas sürtünməsiz qəbul edilir. Yan səth isə maye üçün keçirilməzdir; buna görə məsamə mayesi yalnız yuxarı və aşağı keçirici lövhələrdən xaric ola bilər.

Poroelastikliyin əsas tənlikləri

Model xətti, izotrop poroelastikliyə əsaslanır. Maye fazası üçün Darcy axını:

\[ \mathbf q = -\frac{\kappa}{\eta}\nabla p \]

ilə təyin olunur. Burada \(\kappa\) keçiricilik, \(\eta\) mayenin özlülüyü, \(p\) isə məsamə təzyiqidir.

Ümumi gərginlik Terzaghi effektiv gərginliyi ilə maye təzyiqinin birləşməsi kimi:

\[ \boldsymbol{\tau} = \mathbf T-p\mathbf I = 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} +\lambda\theta\mathbf I -p\mathbf I \]

şəklində ifadə olunur. \(\lambda\) və \(\mu\) Lamé elastik sabitləri, \(\theta=\nabla\cdot\mathbf u\) isə həcm deformasiyasıdır.

Kütlənin qorunması ilə Darcy qanununun birləşdirilməsi nəticəsində:

\[ \frac{\partial\theta}{\partial t} = \frac{\kappa}{\eta} \nabla^2p \]

əlaqəsi alınır. Tədqiqatın yeniliyi unconfined nazik disk üçün \(\theta\) ilə \(p\) arasındakı əlaqənin yalnız lokal təzyiqdən asılı olmadığını göstərməsidir.

Terzaghi Başlanğıc Şərti Sərbəst Diskdə Niyə Ziddiyyət Yaradır?

Terzaghi-nin klassik başlanğıc şərti bərk skeletin yük tətbiq olunan kimi heç bir deformasiya etmədiyini fərz edir; confined sınaqda sərt halqa bu fərziyyəyə uyğun olduğu halda, unconfined diskdə sərbəst yan səth eyni anda həm sıfır effektiv radial gərginlik, həm də sıfır başlanğıc deformasiya şərtini ödəyə bilmir və riyazi sərhəd şərti ziddiyyəti yaranır.

Confined sınaqda klassik Terzaghi şərti:

\[ \mathbf u(t=0)=0 \]

şəklindədir. Bu halda effektiv bərk gərginliklər başlanğıcda sıfır olur və tətbiq olunan yükü tamamilə maye təzyiqi daşıyır:

\[ p_0^{conf}=-\sigma_0. \]

Unconfined sınaqda isə yan səth üçün ümumi radial gərginlik sıfır olmalıdır:

\[ \tau_{rr} = T_{rr}-p = 0. \]

Əgər başlanğıc deformasiyalar sıfır qəbul edilərsə, \(T_{rr}=0\) olar və bununla yanaşı \(p=0\) tələb edilər. Lakin yüklənmiş yuxarı-aşağı səthlərdəki qüvvə tarazlığı sıfır olmayan başlanğıc təzyiqi tələb edir. Buna görə mənbə Terzaghi fərziyyəsinin unconfined problem üçün istifadə edilə bilməyəcəyini göstərir.

Biot başlanğıc şərti

Alternativ olaraq bərk skeletin başlanğıcda hərəkət etməsinə icazə verilir, lakin mayenin xaric olmadığı undrained vəziyyətdə ümumi həcm qorunur:

\[ \mathbf u(t=0)\neq0, \qquad \nabla\cdot\mathbf u(t=0)=0. \]

Bu şərtlər və qüvvə tarazlığı birlikdə həll edildikdə:

\[ p_0^{unconf} = -\frac{\sigma_0}{3}. \]

Başlanğıc deformasiyalar:

\[ \varepsilon_{zz,0} = \frac{\sigma_0}{3\mu}, \]

\[ \varepsilon_{rr,0} = \varepsilon_{\theta\theta,0} = -\frac{\sigma_0}{6\mu} \]

olur. Mənbənin işarə konvensiyasında sıxılma gərginliyi mənfidir; buna görə oxboyu deformasiya sıxıcı, radial və çevrəvi deformasiyalar isə genişləndiricidir.

Beləliklə, yükün tətbiq edildiyi ilk anda diskin qalınlığı azalarkən radiusu artır; buna baxmayaraq:

\[ \varepsilon_{zz} + \varepsilon_{rr} + \varepsilon_{\theta\theta} =0 \]

olduğuna görə ümumi həcm dəyişmir.

Qeyri-lokal Təzyiq Termini Nə Deməkdir?

Qeyri-lokal termin bir nöqtədəki həcm deformasiyasına yalnız həmin nöqtədəki məsamə təzyiqinin deyil, diskin bütün qalınlığı boyunca yaranan orta təzyiq sahəsinin də təsir göstərməsi deməkdir; beləliklə, yan səthin sərbəst deformasiyası bütün disk boyunca təzyiq sahəsini bir-birinə bağlayan mexaniki əks əlaqə yaradır.

Nazik disk asimptotikasında radial yerdəyişmə leading order-da qalınlıq koordinatından asılı olmur:

\[ U_r=A(\tilde t)\rho. \]

Yan səthdə sıfır radial qüvvə şərti qalınlıq boyunca inteqral şəklində tətbiq edildikdə həcm deformasiyası lokal təzyiqi və orta təzyiqi birlikdə ehtiva edən formaya çevrilir.

Nəticədə:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t} = \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} - \alpha_2 \int_0^1 \frac{\partial P}{\partial\tilde t}\,dZ \]

alınır.

Burada:

\[ \alpha_2 = \frac{4\mu}{3\lambda+2\mu} = \frac{2-4\nu}{1+\nu}. \]

Tənlik sərhəd axını ilə yenidən yazıldıqda:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t} = \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} - \alpha \left. \frac{\partial P}{\partial Z} \right|_{Z=1} \]

və:

\[ \alpha = \frac{2-4\nu}{3-3\nu}. \]

Xarakterik konsolidasiya zaman miqyası:

\[ \tilde t_c = \frac{\eta H^2} {\kappa(\lambda+2\mu)} \]

ilə müəyyən olunur. Beləliklə, xarakterik zaman tətbiq olunan başlanğıc təzyiqindən asılı deyil; diskin qalınlığı, mayenin hərəkətliliyi və bərk skeletin elastik xüsusiyyətləri ilə idarə olunur.

Metod və Nəticələr

Təzyiq niyə əvvəlcə yüksəlir?

Unconfined modeldə ilkin vaxtlarda orta müstəvi yaxınlığında təzyiq profili demək olar ki, düz olduğundan:

\[ \left. \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} \right|_{Z=0} \approx0. \]

Bu halda idarəedici tənlik təxminən:

\[ \frac{\partial P(0,\tilde t)} {\partial\tilde t} = \alpha Q(1,\tilde t) \]

şəklini alır.

Keçirici sərhəddəki Darcy axını:

\[ Q(1,\tilde t)>0 \]

olduğuna görə ilkin anda:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t}>0 \]

və mərkəz təzyiqi yüksəlir. Bu, klassik diffuziya termininin təkbaşına yarada biləcəyi davranış deyil; qeyri-lokal yanal deformasiya əks əlaqəsinin birbaşa nəticəsidir.

\(\nu=1/3\) nümunəsi

Mənbənin Figure 3 izahında \(\nu=\alpha=1/3\) üçün orta müstəvi təzyiqinin zamana görə törəməsinin təxminən:

\[ \tilde t=0.10 \]

nöqtəsində sıfırdan keçdiyi bildirilir. Bu qiymət model əyrisindəki təzyiq zirvəsinə uyğundur. Təzyiq təxminən:

\[ \tilde t<0.18 \]

müddətində başlanğıc qiyməti \(P=1\)-dən yuxarı qalır.

Məqalənin sonrakı §6.6 bölməsində \(\tilde t=0.18\) bu dəfə “maksimum təzyiq vaxtı” adlandırılıb. Bu ifadə Figure 3 və §6.1-dəki törəmə təhlili ilə uyğun deyil; mənbə daxilindəki bu fərq burada düzəldilmiş təcrübə nəticəsi kimi gizlədilməyib.

Maye axını

Ölçüsüz Darcy sürəti:

\[ Q(Z,\tilde t) = -\frac{\partial P}{\partial Z} \]

kimi təyin olunur. Mənbənin Figure 4-ü mayenin orta müstəvidən keçirici səthlərə doğru hərəkət etdiyini göstərir. Axın sürəti:

• keçirici səthlərə yaxın sahələrdə ilkin anda yüksəkdir,
• orta müstəvidə daha gec inkişaf edir,
• ilkin vaxtda unconfined sınaqda confined sınaqdan daha böyükdür,
• zamanla qeyri-monoton keçid göstərdikdən sonra təzyiq qradiyenti söndükcə azalır.

Deformasiya necə dəyişir?

Figure 5-ə görə keçirici səthin yaxınlığında maye sürətlə boşaldığı üçün həcm deformasiyası çox erkən mərhələdə mənfi olur. Mayenin daşıdığı yük azaldıqca daha çox yük bərk skeletə ötürülür və oxboyu sıxılma artır.

Orta müstəvidə isə maye təzyiqi müvəqqəti yüksəldiyi üçün həcm daralması gecikir. Bu sahədə ilkin undrained vəziyyətlə müqayisədə:

• oxboyu sıxılma deformasiyasının böyüklüyü müvəqqəti azala bilər,
• radial dartılma deformasiyası azala bilər,
• yəni disk ilkin genişlənmiş vəziyyətinə nəzərən müvəqqəti radial geri daralma göstərə bilər.

Bununla belə, xalis ümumi radial deformasiya müsbət qala bilər; buna görə “radial daralma” ifadəsi başlanğıcdakı ani genişlənmiş konfiqurasiyaya nəzərən baş verən transient dəyişikliyi bildirir.

Confined və unconfined konsolidasiya sürəti

\(\nu=1/3\) üçün Figure 7-də \(\tilde t=0.01\) anında keçirici səthə yaxın unconfined material son həcm deformasiyasının təxminən %65-nə çatdığı halda, confined nümunədə uyğun sahə təxminən %90-a çatır.

Bu müqayisə eyni normallaşdırılmış zaman miqyasında unconfined diskin son həcm dəyişikliyinə doğru daha yavaş irəlilədiyini göstərir.

Radial gərginliklər

Unconfined asimptotik həlldə yan səthdə sıfır radial gərginlik şərti hər bir \(Z\) nöqtəsində tam şəkildə tətbiq edilə bilmir. Nazik lövhə yanaşmasına uyğun olaraq bunun əvəzinə qalınlıq boyunca xalis radial qüvvənin sıfır olması şərtindən istifadə olunur.

Buna görə mənbənin Figure 6-sında lokal ümumi radial gərginliklərin sıfır olmadığı və orta müstəvi ilə keçirici səth arasında əhəmiyyətli dərəcədə dəyişdiyi görünür. Lakin qalınlıq boyunca ümumi radial qüvvə sıfırdır.

Bu məqam modelin mühüm asimptotik məhdudiyyətidir: lokal edge-layer gərginliyinin təfərrüatları leading-order həll tərəfindən müəyyən edilmir.

Bioloji Toxumalarda Bu Zaman Miqyasları Nə Deməkdir?

Mənbə modeli birbaşa yeni bioloji təcrübə ilə təsdiqləməsə də, ədəbiyyatda bildirilmiş qığırdaq və beyin konsolidasiya əmsallarından istifadə edərək 1 mm qalınlığındakı nazik toxumada məsamə təzyiqi dəyişikliklərinin saniyələrdən onlarla dəqiqəyədək uzana biləcəyini və buna görə təzyiqin idarə etdiyi maye yenidən paylanmasının bir neçə fizioloji yük dövrü boyunca davam edə biləcəyini göstərir.

Mənbə həmçinin \(\tilde t=0.18\)-i qığırdaqda təxminən 170 saniyə, beyin toxumasında isə təxminən 7 saniyə kimi ölçüləndirir. Lakin yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu bölmənin “maksimum təzyiq vaxtı” adlandırılması Figure 3-dəki \(\tilde t=0.10\) zirvə şərti ilə ziddiyyət təşkil edir.

Müqayisə məqsədilə mənbə təxmini fizioloji dövrləri ürək döyüntüsü üçün 1 s, tənəffüs üçün 5 s və yerimə üçün 1 s mərtəbəsində göstərir. Buna görə xüsusilə aşağı keçiricilikli toxumalarda bir yük dövründən yaranan maye təzyiqi qradiyenti növbəti dövrlərədək davam edə bilər.

Beyin toxumasında suyun görünən molekulyar diffuziya əmsalı təxminən:

\[ 7\times10^{-10}\ \mathrm{m^2/s} \]

kimi verilir və bu qiymət istifadə olunan beyin konsolidasiya əmsalından təxminən bir tərtib kiçikdir. Müəllif bunu təzyiqin idarə etdiyi poroelastik maye yenidən paylanmasının yalnız molekulyar diffuziyadan daha sürətli baş verə biləcəyinə dair miqyas müqayisəsi kimi istifadə edir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Terzaghi-nin sıfır başlanğıc deformasiya şərti sərbəst yan səthli unconfined disk üçün sərhəd şərtləri ilə ziddiyyət təşkil edir.
• Sıfır başlanğıc həcm dəyişikliyinə əsaslanan Biot tipli başlanğıc şərti bu ziddiyyəti aradan qaldırır.
• Eyni tətbiq olunan sıxılma gərginliyində unconfined başlanğıc məsamə təzyiqi klassik confined qiymətin üçdə biridir.
• Nazik unconfined diskdə yanal deformasiya ilə təzyiq arasındakı əlaqə qeyri-lokal konsolidasiya termini yaradır.
• Bu termin mərkəzi müstəviyə yaxın sahədə keçici təzyiq aşımı yarada bilər.
• Aşağı Puasson əmsalı qeyri-lokal əlaqəni və təzyiq aşımını gücləndirir.
• Unconfined sınaqda ilkin Darcy axını confined problemlə müqayisədə daha yüksək ola bilər.
• Mərkəzi müstəvidə həcm daralması gecikir və lokal oxboyu deformasiya qeyri-monoton dəyişə bilər.
• Modelin zaman miqyası maye hərəkətliliyi, diskin qalınlığı və iki elastik sabitlə müəyyən olunur.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi ümumiləşdirmələr

• Tədqiqat yeni qığırdaq, beyin və ya görmə siniri sıxılma təcrübəsi deyil.
• Təzyiq aşımı birbaşa bioloji toxumada ölçülmüş klinik nəticə deyil; riyazi modelin proqnozudur.
• Model böyük deformasiyaları izah etmir; kiçik deformasiyalı xətti poroelastiklikdən istifadə edir.
• Material izotrop və homogen qəbul edilib.
• Məsamə mayesi sıxılmayan qəbul edilib.
• Diskin çox nazik, \(H/R\ll1\), olduğu qəbul edilir.
• Yan səth maye üçün keçirilməz, yuxarı-aşağı lövhələr isə keçirici qəbul edilib.
• Axın leading order-da birölçülü oxboyu drenaja endirilib.
• Sərbəst kənardakı lokal gərginlik şərti pointwise deyil, qalınlıq boyunca ümumi qüvvə şərti ilə təxmini tətbiq edilir.
• Ədəbiyyatdakı cartilage və brain parametrləri Terzaghi-Biot modeli ilə tamamilə eyni constitutive framework-lərdən əldə edilməyib; mənbə bunlardan yalnız tərtib qiymətləndirməsi məqsədilə istifadə edir.

Mənbə və Metod Qeydi

Özgün tədqiqat:Fluid pressure governs transient radial expansion and contraction of a consolidating thin porous disk.

Müəllif: Arina Korneva.

Qurum: Department of Biomedical Engineering, Virginia Tech, Blacksburg, Virginia, USA.

Əlaqələndirici müəllif: Arina Korneva.

DOI: 10.2139/ssrn.7207555.

SSRN identifikatoru: 7207555.

Nəşr tarixi: SSRN qeydinə görə 30 iyul 2026.

Nəşr statusu: 28 səhifəlik və rəyçi qiymətləndirməsindən keçməmiş preprint.

Tədqiqatın növü: Analitik poroelastiklik, asimptotik nazik disk nəzəriyyəsi və ədədi PDE həlli. Yeni eksperimental məlumat yaradılmayıb.

Əsas fərziyyələr: Kiçik deformasiya, xətti və izotrop bərk skelet, sıxılmayan məsamə mayesi, sürtünməsiz yükləmə səthləri, keçirici yuxarı-aşağı lövhələr, keçirilməz yan səth və \(H/R\ll1\) nazik disk həndəsəsi.

Asimptotik məhdudiyyət: Leading-order radial displacement qalınlıq boyunca sabit qəbul edildiyi üçün yan səthdə sıfır radial traction pointwise təmin edilmir; bunun əvəzinə qalınlıq boyunca xalis radial qüvvənin sıfır olduğu zəiflədilmiş sərhəd şərti tətbiq olunur.

Ədəbiyyata əsaslanan ölçüləndirmə: Real zaman qiymətləndirmələrində istifadə edilən qığırdaq və beyin konsolidasiya əmsalları bu tədqiqatda ölçülməyib, əvvəlki nəşr olunmuş tədqiqatlardan götürülüb.

Mənbədaxili zamanlama qeydi: Figure 3 və §6.1-də \(\nu=1/3\) üçün \(\partial P/\partial\tilde t=0\) vaxtı təxminən 0.10, başlanğıc təzyiqindən yuxarı qalma müddəti isə təxminən 0.18-ə qədər göstərilir. §6.6 isə 0.18-i maksimum təzyiq vaxtı adlandırır. Bu iki ifadə bir-biri ilə uyğun deyil.

Mənbədaxili notasiya qeydi: Qeyri-lokal əmsal üçün bir cümlədə “\(2/3\le\alpha\le0\)” formasında tərs bərabərsizlik verilib; eyni məqalədəki əlaqə və Figure 2, \(\alpha\)-nın \(\nu=0\) üçün 2/3-dən \(\nu=0.5\) üçün 0-a azaldığını göstərir.

Əlaqəli rəyçi qiymətləndirməli tədqiqat: Denis Kucherenko və Arina Korneva-nın A poroelastic model of the optic nerve shows a significant effect of fluid pressure on the nerve fibers tədqiqatı Mechanics of Materials, Volume 204, 2025, 105299, DOI 10.1016/j.mechmat.2025.105299-da nəşr olunub. Yeni tədqiqat eyni poroelastik biomexanika tədqiqat xətti ilə əlaqəli olsa da, fərqli nazik disk konsolidasiyası problemidir.

Məlumatların əlçatanlığı / maliyyələşdirmə / maraqların toqquşması: Yüklənmiş preprintdə bunlar üçün ayrıca və açıq bəyanat bölmələri görünmür; çatışmayan sahələr Verianla tərəfindən uydurulmayıb.

Müəllif hüququ: SSRN qeydi bütün hüquqların qorunduğunu bildirir. Mənbə Figure 1–7-nin piksel səviyyəsində surətinin çıxarılması əvəzinə confined/unconfined disk, pressure overshoot, Darcy axını və radial deformation əlaqələri Verianla üçün orijinal sxemlərlə yenidən çəkilməlidir.