Ushbu tadqiqot amplitudalari ma’lum matematik funksiya bilan belgilanadigan kvant holatlarini tayyorlashda funksiya qiymatlarini kvant registrlarida kogerent arifmetik sxemalar yordamida hisoblash yoki ularni kvant xotira/jadval o‘qishlari orqali yuklash zaruratini bartaraf etadigan usulni ishlab chiqadi. Asosiy g‘oya juda past xarajat bilan blok-kodlanadigan sinus funksiyasini quantum singular value transformation (QSVT) yordamida maqsad funksiyaning polinom yaqinlashuviga aylantirish va so‘ng amplitude amplification orqali kerakli normallashtirilgan kvant holatini hosil qilishdir. Aniq paritetli haqiqiy funksiyalar uchun asosiy teorema ko‘pi bilan uchta ancilla qubit bilan \(O(nd/\mathcal F_{\tilde f}^{[N]})\) gate murakkabligini beradi; umumiyroq holatda usul to‘rttagacha ancilla qubit talab qilishi mumkin. Gaussian va Kaiser oynasi holatlari uchun nazariy murakkablik chegaralari va konkret resurs baholari beriladi. Asosiy cheklov shuki, usul ayniqsa past darajali polinom yoki ixcham Fourier yaqinlashuviga ega funksiyalarda afzallik beradi va samaradorlik funksiyaning \(L_2\)-norm filling-fraction qiymatiga bog‘liq bo‘lib qoladi.

Usulning eng e’tiborga molik amaliy natijasi qubit sarfida ko‘rinadi. Manbada keltirilgan 16 qubitli Gaussian misolida QSVT asosidagi sxema faqat 3 ancilla qubit ishlatadi, taqqoslangan amplitude-oracle asosidagi usullarda esa bu son 141–189 oralig‘ida. Tadqiqotchilar bu kamayishni ilk fault-tolerant kvant hisoblash davrida sxemalarning jismoniy izini kichraytirish nuqtai nazaridan muhim deb hisoblaydi.

Biroq tadqiqot “QSVT usuli barcha holat tayyorlash usullaridan kamroq gate ishlatadi” degan xulosani chiqarmaydi. Konkret resurs jadvalida QSVT uchun T gate’lar, boshqa ayrim usullar uchun esa Toffoli gate’lar sanaladi va usullarning gate xarajatlari bir xil birlikda berilmagan. Tadqiqotning kuchliroq va to‘g‘ridan-to‘g‘ri taqqoslanadigan natijasi ancilla qubit sonining keskin kamayishidir.

Kvant holatini tayyorlash muammosi nima?

Tadqiqotchilar \(N=2^n\) o‘lchamli kvant holatini \(n\) qubitda tayyorlamoqchi. Maqsad holat amplitudalari oldindan ma’lum \(f\) funksiya bilan belgilanadi:

\[ |\Psi_f\rangle = \frac{1}{\mathcal N_f} \sum_{x=-N/2}^{N/2-1} f(\bar x)|x\rangle, \]

bu yerda

\[ \bar x=\frac{2ax}{N} \]

va

\[ \mathcal N_f = \sqrt{\sum_x|f(\bar x)|^2}. \]

Bunday holatlar differensial tenglama algoritmlarida, chekli element usullarida, kvant maydon nazariyasi simulyatsiyalarida, moliyaviy derivativlarni narxlashda, fazani baholashda va grid asosidagi kvant kimyosida kerak bo‘lishi mumkin.

An’anaviy usullarda muammo qayerda?

Ko‘plab holat tayyorlash usullari avval

\[ |x\rangle|0\rangle \longrightarrow |x\rangle|f(\bar x)\rangle \]

ko‘rinishidagi amplitude oracle yaratadi.

Buning uchun \(f(\bar x)\) qiymatini kvant registrlarida muayyan sondagi bit bilan hisoblash talab etiladi. Manba ikki asosiy yondashuvdan foydalanish mumkinligini aytadi: fixed-point kogerent kvant arifmetikasi yoki oldindan hisoblangan qiymatlarni kvant jadvali/xotira tuzilmasidan o‘qish.

Har ikki variant, ayniqsa ancilla qubit va non-Clifford gate nuqtai nazaridan qimmat bo‘lishi mumkin. Bundan tashqari, arifmetik sxemalar overflow xatolari, fixed-point tasvirlash va funksiyaga xos optimallashtirishlar sabab ko‘pincha qo‘lda loyihalanishi kerak.

Yangi usulning asosiy dizayn maqsadi ushbu amplitude oracle qatlamini butunlay olib tashlashdir.

QSVT bu yerda nima qiladi?

Quantum singular value transformation blok-kodlash ichidagi matritsaning singular qiymatlariga yoki mos Hermit holatda xos qiymatlariga polinom funksiya qo‘llash imkonini beradi.

\((n+m)\)-qubit unitar \(U\), Hermit \(A\) matritsa uchun taxminiy blok-kodlash sifatida

\[ \left\| \alpha (\langle0|^{\otimes m}\otimes I_n) U (|0\rangle^{\otimes m}\otimes I_n) - A \right\| \leq\epsilon \]

shartini bajarsa, mos QSVT faza burchaklari bilan \(A\) ning polinom funksiyasini qo‘llash mumkin.

Ushbu tadqiqotda maqsad \(f\) funksiyani to‘g‘ridan-to‘g‘ri hisoblash o‘rniga avval juda arzon tarzda

\[ A= \sum_{x=-N/2}^{N/2-1} \sin\left(\frac{2x}{N}\right) |x\rangle\langle x| \]

matritsasi blok-kodlanadi.

Keyin

\[ f(a\arcsin(y)) \]

funksiyasining mos polinom yaqinlashuvi tayyorlanadi va QSVT yordamida sinus blok-kodlash maqsad funksiyaga aylantiriladi.

Polinom yaqinlashuv qanday ta’riflanadi?

Aniq paritetli haqiqiy funksiya uchun tadqiqotchilar darajasi \(d\) bo‘lgan va

\[ \max_{y\in[-1,1]}|h(y)|\leq1 \]

shartini qanoatlantiruvchi \(h(y)\) polinomdan foydalanadi.

Amalga oshiriladigan taxminiy funksiya

\[ \tilde f(y)=h(\sin(y/a)) \]

ko‘rinishida aniqlanadi.

QSVT unitarligini saqlash uchun polinomning butun \([-1,1]\) sohada moduli 1 dan oshmasligi kerak. Mualliflar minimax polinomlarni Remez algoritmi yoki Taylor yoyilmalari yordamida hisoblash mumkinligini aytadi.

\(L_2\)-norm filling-fraction nima?

Algoritm murakkabligini belgilovchi muhim kattaliklardan biri manbada “discretized \(L_2\)-norm filling-fraction” sifatida ta’riflanadi:

\[ \mathcal F_p^{[N]} = \frac{\mathcal N_p} {\sqrt N\, \max_{y\in[-a,a]}|p(y)|}. \]

Bu kattalik funksiya maksimal qiymatiga nisbatan normallanganda \(N\) grid nuqtasining qanchasi mazmunli \(L_2\) og‘irligi bilan to‘ldirilganini o‘lchaydi.

Intuitiv ravishda juda tor va o‘tkir funksiyada amplituda og‘irligi kam sonli grid nuqtalarida jamlanadi va \(\mathcal F\) kichrayadi. Kengroq funksiyada filling-fraction yuqoriroq bo‘ladi.

Amplitude amplification soni taxminan

\[ O\left(\frac{1}{\mathcal F_{\tilde f}^{[N]}}\right) \]

bo‘lgani uchun kichik filling-fraction algoritm xarajatini oshiradi.

Asosiy teorema nima deydi?

Manbaning Theorem 1 natijasiga ko‘ra, mos \(h(y)\) yaqinlashuvi

\[ \left| \tilde f(y) - \frac{f(ay)} {\max_{y\in[-1,1]}|f(ay)|} \right|_{\max} \leq \frac{\epsilon}{3} \min \left( \mathcal F_f^{[N]}, \mathcal F_{\tilde f}^{[N]} \right) \]

shartini bajarsa, maqsad \(|\Psi_f\rangle\) holatiga trace distance ko‘pi bilan \(\epsilon\) bo‘lgan \(|\Psi_{\tilde f}\rangle\) holat

\[ O\left( \frac{nd} {\mathcal F_{\tilde f}^{[N]}} \right) \]

gate va ko‘pi bilan uchta ancilla qubit bilan tayyorlanishi mumkin.

Ushbu uch-qubit natijasi tadqiqotning asosiy teoremasida ko‘rilgan aniq-paritetli haqiqiy funksiyalar sinfiga tegishli. Maqolaning umumiy usul xulosasida aralash paritet yoki umumiyroq funksiyalarda qo‘shimcha bitta ancilla kerak bo‘lishi mumkinligi sabab umumiy son to‘rt deb beriladi.

1-rasmdagi uchta sxema nima qiladi?

Manbaning 2-sahifasidagi 1-rasm butun algoritmni uch fizik sxema qatlamiga ajratadi.

Birinchi blok-kodlash sxemasi yo‘nalish bo‘yicha boshqariladigan phase-gradient amalini Hadamard-testga o‘xshash tuzilma bilan birlashtiradi. Shu tariqa \(x\) qiymatini son registrida hisoblash o‘rniga faza rotatsiyalari orqali bevosita \(\sin(2x/N)\) amplitudasi hosil qilinadi.

Dastlabki post-selection muvaffaqiyati qancha?

\(U_{\tilde f}\) bir tekis superpozitsiya holatiga qo‘llanganda dastlabki ikki ancilla qubitning \(|00\rangle\) sifatida o‘lchanishi kerakli holatni beradi.

Asosiy teoremadagi yaqinlashuv xatosi shartlari ostida bu hodisaning muvaffaqiyat ehtimoli kamida

\[ \frac{4}{9} \left( \mathcal F_{\tilde f}^{[N]} \right)^2 \]

deb chegaralanadi.

Mualliflar Appendix B da exact amplitude amplification usulini alohida isbotlab, bu muvaffaqiyat ehtimolini nazariy ravishda 1 ga ko‘taradi.

Exact amplitude amplificationda nima yangilik?

Tadqiqotning Appendix B bo‘limi standart amplitude amplificationning to‘liq muvaffaqiyatga sozlangan variantini batafsil beradi. Chebyshev polinomlarining

\[ T_n(x)=\cos(n\arccos x) \]

ta’rifi va rekurrent munosabati ishlatiladi.

Boshlang‘ich muvaffaqiyat amplitudasi \(a\) ma’lum bo‘lsa, mos sondagi Groverga o‘xshash akslantirish va qo‘shimcha bir-qubit rotatsiya bilan maqsad komponenti aynan birlik amplitudaga keltiriladi.

Manba shuningdek \(a\) faqat taxminan ma’lum bo‘lgan holatni ham tahlil qiladi va haqiqiy amplitudadagi xato uchun ikkinchi tartibli sezgirlik chegarasini beradi.

Funksiya silliq bo‘lsa murakkablik qanday o‘zgaradi?

Analitik va silliq funksiyalarda polinom yaqinlashuv xatosi ko‘pincha daraja bilan eksponensial kamayishi mumkin:

\[ \delta=O(e^{-d}). \]

Bu holda kerakli polinom darajasi logarifmik o‘sadi va manba jami gate murakkabligini polylogarithmic hadlarni yashirib,

\[ \widetilde O \left( \frac{n} {\mathcal F_{\tilde f}^{[N]}} \log\frac1\epsilon \right) \]

ko‘rinishida ifodalaydi.

Nega Gaussian va Kaiser oynasi tanlangan?

Tadqiqot usul faqat abstrakt funksiya sinfi bilan cheklanmasligini ko‘rsatish uchun ikki muhim qo‘llanmani tanlaydi.

Gaussian funksiya umumiy tahlil uchun manbada

\[ f_\beta(x) = \exp\left(-\frac{\beta}{2}x^2\right) \]

ko‘rinishida aniqlanadi. Gaussian holatlar kvant kimyosi, kvant maydon nazariyasi va moliya algoritmlarida ishlatilishi mumkin.

Kaiser oynasi esa

\[ W_\beta(x) = \frac{ I_0\left( \beta\sqrt{1-x^2} \right) }{ I_0(\beta) } \]

ko‘rinishida. \(I_0\) — birinchi turdagi nol tartibli modified Bessel funksiyasi.

Kaiser oynasi, ayniqsa quantum phase estimationda asosiy cho‘qqi kengligi bilan yon-lob balandligi orasidagi trade-offni sozlash uchun ishlatiladi.

Gaussian va Kaiser holatlarining nazariy murakkabligi

Theorem 2,

\[ \epsilon\in(0,1/2) \]

va

\[ 2^n\geq\sqrt{\beta} \]

shartlari ostida har ikki holat

\[ O\left( n(\beta+1)^{1/4} \left[ \beta+\log(1/\epsilon) \right] \right) \]

gate murakkabligi bilan tayyorlanishini ko‘rsatadi.

Gaussian holatda qo‘shimcha ravishda

\[ \beta\geq\log(1/\epsilon) \]

bo‘lsa, support sohasini qayta masshtablash orqali chegara

\[ O\left( n\log^{5/4}(1/\epsilon) \right) \]

darajasigacha yaxshilanishi mumkin.

Filling-fraction uchun nega \(\beta^{-1/4}\) masshtab paydo bo‘ladi?

Appendix G da ham Gaussian, ham Kaiser oynasi uchun

\[ f(x)\geq1-\frac{\beta}{2}x^2 \]

quyi chegara quriladi.

\(\beta\geq2\) rejimida bu quyi chegara ma’lum markaziy intervalda integrallanib, uzluksiz \(L_2\) filling-fraction taxminan

\[ \mathcal F_f^{[\infty]} = \Omega(\beta^{-1/4}) \]

masshtabdan yomon emasligi ko‘rsatiladi.

Shuning uchun \(\beta\) kattalashib funksiya toraygan sari amplitude amplification xarajati ham taxminan to‘rtinchi ildiz masshtabida oshadi.

Resurs taqqoslashida usul nima yutadi?

Manbaning 3-sahifasidagi Table I aniq-paritetli haqiqiy funksiyalarni tayyorlashni turli usullar orasida taqqoslaydi.

Maqolaning asosiy afzallik da’vosi amplitude oracle butunlay olib tashlangani sabab ancilla soni keskin kamayishidir.

16 qubitli Gaussian resurs bahosi

Manbaning 4-sahifasidagi Table II, \(n=16\) qubit va trace distance

\[ \epsilon\leq10^{-6} \]

bo‘lgan konkret Gaussian tayyorlash misolini ko‘radi.

Jadval sarlavhasi ushbu maxsus resurs bahosi uchun funksiyani

\[ \exp(-\beta x^2), \qquad \beta=10, \qquad x\in[-1,1] \]

ko‘rinishida yozadi. Bu maqolaning nazariy qismidagi \(\exp(-\beta x^2/2)\) parametrizatsiyasidan farq qiladi; manba bu ikki ko‘rinishni ochiq tenglashtirmagani sabab bu qiymatlar bir xil \(\beta\) deb qabul qilinmasligi kerak.

Nega gate sonlari bir xil grafikda berilmagan?

Table II ning gate ustuni sarlavhasi “T / Toffoli gates” ko‘rinishida va barcha usullar bir xil asosiy gate birligida hisobot bermaydi.

Manba izohida T va Toffoli xarajatlari orasida fault-tolerant amalga oshirishga bog‘liq konversiyalar borligi aniq aytiladi. Masalan, mos ancilla bilan to‘rtta T gate yordamida bitta Toffoli bajarish mumkinligiga havola qilinadi. Shu sababli xom 48.000 va 24.000 sonlarini “QSVT ikki baravar qimmat” deb bevosita taqqoslash ilmiy jihatdan to‘g‘ri emas.

QSVT resurs bahosi qanday olinadi?

QSVT sxemasidagi dominant non-Clifford xarajat \(U_{\sin}\) ichidagi Z rotatsiyalarining fault-tolerant sintezidan keladi.

Manba taxminiy T xarajatini

\[ (2R+1)d(n+1) \left[ 0.57 \log_2 \left( \frac{(2R+1)d(n+1)}{\epsilon_s} \right) + 8.83 \right] \]

ko‘rinishida beradi.

Konkret misolda taxminan \(5.7\times10^{-7}\) trace distance ta’minlovchi darajasi 20, juft-paritetli polinom yetarli bo‘lgan va R=2 amplitude-amplification turi ishlatilgan.

Gate xarajatini yana kamaytirish mumkinmi?

Manba taxminan \(n\) qo‘shimcha ancilla qubit sarflashga rozi bo‘linsa, sinus blok-kodlashdagi rotatsiya xarajatini boshqa sxema arxitekturalari bilan kamaytirish mumkinligini muhokama qiladi.

Taklif etilgan variantlardan biri phase-gradient catalyst holatidan foydalanadigan qo‘shish sxemasi, ikkinchisi esa sinus o‘rniga bevosita \(x\) ni blok-kodlaydigan comparator-test yondashuvidir.

Bu muhim muhandislik trade-offini ko‘rsatadi: tadqiqot barcha sharoitda “eng kam qubit va eng kam gate” beradigan yagona nuqtani taklif qilmaydi; arxitekturaga qarab qubit bilan non-Clifford gate o‘rtasida tanlov qilish mumkin.

Yaxshiroq boshlang‘ich taqsimotdan foydalanish mumkinmi?

Standart algoritm

\[ |+\rangle^{\otimes n} \]

bir tekis superpozitsiyasini boshlang‘ich prior sifatida ishlatadi.

Ammo maqsad \(f\) funksiyasiga ko‘proq o‘xshaydigan arzon \(p\) prior tayyorlansa, algoritm \(f/p\) nisbatini blok-kodlashi mumkin.

Manba maqsad funksiyaning normallashishiga o‘xshash prior tanlanganda amplitude amplification turlarini kamaytirish mumkinligini bildiradi.

Uzilishli funksiyalar qanday ko‘riladi?

QSVT polinomlari uzilishlarni yaqinlashtirishda qiynalishi mumkin. Tadqiqot ikki yechim taklif etadi.

Birinchi yechimda kogerent inequality test orqali registr uzilishning chap va o‘ng tomonidagi holatlarni belgilaydigan flag qubit bilan chirmashtiriladi. Har bir sohaga alohida QSVT polinomi qo‘llanadi.

Ikkinchi yondashuvda inequality test sonli domain ichida sun’iy “bo‘shliq” ochadi. Maqsad holat bu bo‘shliqda supportga ega bo‘lmagani uchun uzilishli funksiya bo‘shliq ichida silliq va uzluksiz funksiya bilan ulanadi. Amal tugagach flag uncompute qilinib, original grid qaytariladi.

Nega Fourier yaqinlashuvi tabiiy kengaytma?

Tadqiqot usul Fourier-based quantum eigenvalue transformation bilan ham mosligini aytadi.

Bu holda polinom blok-kodlash o‘rniga

\[ U(A) = |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes e^{iAt} \]

ko‘rinishidagi boshqariladigan vaqt evolyutsiyasi ishlatiladi.

Ayniqsa global garmonikalar kabi ixcham Fourier yoyilmasiga ega funksiyalarda bu yondashuv foydali bo‘lishi mumkin.

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun holat qanday?

Maqola chiziqli kombinatsiyalar va blok-kodlash ko‘paytmalaridan foydalanib \(f(x,y)\) kabi funksiyalar qator yoyilmalari orqali ko‘p o‘zgaruvchili kengaytmalar qilish mumkinligini muhokama qiladi.

Muqobil sifatida multivariable-QSP ishlatilishi mumkin.

Ammo mualliflar bu yerda ikki ochiq muammoni alohida ta’kidlaydi: MQSP bilan amalga oshiriladigan funksiya sinflari hali to‘liq tavsiflanmagan va o‘lcham ortgani sari filling-fraction eksponensial kamayishi xavfi bor.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• Ma’lum funksiyani amplituda sifatida kodlaydigan kvant holatlari mos funksiya sinflarida kogerent arithmetic amplitude oracle yaratilmasdan tayyorlanishi mumkin.
• Sinus funksiyasining arzon blok-kodlanishi QSVT orqali maqsad funksiyaning polinom yaqinlashuviga aylantirilishi mumkin.
• Aniq-paritetli haqiqiy funksiyalar uchun asosiy algoritm ko‘pi bilan uchta ancilla qubit ishlatadi.
• Umumiyroq funksiya sinflarida usulning ancilla talabi to‘rt qubitgacha oshishi mumkin.
• Gate murakkabligi \(O(nd/\mathcal F_{\tilde f}^{[N]})\) bilan chegaralanishi mumkin.
• Analitik jihatdan yaxshi polinom yaqinlashuviga ega funksiyalarda xatoga bog‘liqlik logarifmik bo‘lishi mumkin.
• Gaussian va Kaiser oynasi holatlari uchun aniq nazariy murakkablik chegaralari olinadi.
• 16 qubitli resurs bahosida QSVT usulining ancilla talabi taqqoslangan amplitude-oracle usullariga qaraganda bir tartibdan ko‘proq kamayadi.
• Usul yaxshilangan priors, cheklangan sonli uzilishlar va Fourier asosidagi funksiya yaqinlashuvlariga kengaytirilishi mumkin.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan yoki sinamagan natijalar

• Usul barcha mumkin funksiyalarda mavjud holat tayyorlash usullaridan samaraliroq ekanligi isbotlanmaydi.
• Past darajali polinom yoki Fourier yaqinlashuvi bo‘lmagan funksiyalarda xuddi shu afzallik kafolatlanmaydi.
• 48.000 T gate bilan 24.000 yoki 45.000 Toffoli qiymatlari bevosita bir xil birlikdagi fizik xarajat o‘lchovi emas.
• Resurs baholari real fault-tolerant kvant apparatida o‘lchangan ishlash vaqtlari emas.
• Tadqiqot fizik qubit sonini bevosita hisoblamaydi; jadvallar mantiqiy/algoritmik qubit va gate resurslarini muhokama qiladi.
• Filling-fraction juda kichik bo‘lsa amplitude amplification xarajati yuqori qolishi mumkin.
• Ko‘p o‘zgaruvchili yuqori o‘lchamli funksiyalarda filling-fraction muammosi yechilgani ko‘rsatilmaydi.
• Gaussian yoki Kaiser holatlari muayyan real kvant protsessorida eksperimental tayyorlangani xabar qilinmaydi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tadqiqot dizayni

Bu ish nazariy kvant algoritmlari va resurs tahlili tadqiqotidir. Fizik qurilmada yangi eksperiment qilinmagan. Usul blok-kodlash, QSVT, polinom yaqinlashuv, trace-distance xato tahlili, exact amplitude amplification, funksiya yaqinlashuv nazariyasi va fault-tolerant resurs bahosiga tayangan.

Algoritmik ish oqimi

1. Maqsad \(f(\bar x)\) funksiyaning normallashtirilgan polinom yaqinlashuvi klassik tarzda hisoblanadi.
2. QSVT faza burchaklari klassik oldindan hisoblash bilan aniqlanadi.
3. \(U_{\sin}\) sxemasi sinus funksiyasini arzon blok-kodlaydi.
4. QSVT, \(U_{\sin}\) blok-kodlashni \(\tilde f\) funksiyasiga aylantiradi.
5. Sxema bir tekis boshlang‘ich superpozitsiyaga qo‘llanadi.
6. Kerakli ancilla kichik fazosidagi muvaffaqiyat komponenti amplitude amplification bilan 1 ga chiqariladi.
7. Hosil bo‘lgan normallashtirilgan holatning maqsad \(|\Psi_f\rangle\) ga trace distance polinom yaqinlashuv xatosi bilan chegaralanadi.

Xato mezoni

Manba holat aniqligini trace distance bilan o‘lchaydi:

\[ D \left( |\Psi_{\tilde f}\rangle, |\Psi_f\rangle \right) = \sqrt{ 1- |\langle\Psi_f|\Psi_{\tilde f}\rangle|^2 }. \]

Appendix C dagi Lemma 6 funksiya maksimum norm yaqinlashuv xatosi filling-fraction bilan mos masshtablanganda holat trace distance \(\epsilon\) dan katta bo‘lmasligini isbotlaydi.

Qattiqroq xato tahlili

Mualliflar maksimum \(L_\infty\) xato chegarasi ko‘plab amaliy polinom yaqinlashuvlarida pessimistik ekanini qayd etadi.

Buning o‘rniga haqiqiy ichki ko‘paytma

\[ \frac{ \sum_x f(\bar x)\tilde f(\bar x) }{ \mathcal N_f\mathcal N_{\tilde f} } \]

bevosita hisoblansa, qattiqroq trace distance topish mumkin.

Grid juda katta bo‘lsa summalar mos Riemann integrallari bilan taxminiy baholanishi mumkin.

Discretization xatosi

Appendix B da standart Riemann yig‘indi natijalari ishlatiladi. Uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalarda grid yaqinlashuv xatosi \(O(1/N)\), o‘rta nuqta tipidagi joylashtirish va ikkinchi hosila sharti ostida esa \(O(1/N^2)\) masshtabigacha tushirilishi mumkin.

Bu juda katta \(n\) qiymatlarida uzluksiz filling-fraction diskret qiymatni taxminan ifodalashini qo‘llab-quvvatlaydi.

Gaussian/Kaiser polinom darajasi

Appendix F Taylor qatori koeffitsientlarining mutlaq yig‘indisi orqali umumiy truncation teoremasini quradi.

Ham Gaussian, ham Kaiser oynasi uchun natija sifatida

\[ d= O\left( \beta+\ln(1/\delta) \right) \]

darajadagi va \([-1,1]\) da chegaralangan polinom kerakli yaqinlashuv aniqligini ta’minlay olishi ko‘rsatiladi.

Konkret Gaussian misol parametrlari

Amplitude-oracle resurs baholari qanday tuzilgan?

Appendix I raqib usullar xarajatlarini manba maqolalardagi sxemalar va muayyan arifmetik subrutinlar bilan qayta hisoblaydi.

Piecewise-polynomial amplitude oracle uchun manba taxminan 20.504 Toffoli / oracle chaqirig‘i va 162 oracle ancilla ishlatadi; to‘liq state-preparation usuli bilan jami ancilla Table II da 168 ga chiqadi.

Linear interpolation yondashuvida QROM yordamida taxminan 1900 interval uchun gradient va intercept qiymatlari yuklanadi. Oraliq qadamlarda ko‘paytirish, kvadratga oshirish va boshqariladigan bit-shift amallari ishlatiladi; amplitude oracle uchun taxminan 4069 Toffoli olinadi.

Bespoke Gaussian oracle qiymatlari esa oldingi manba tadqiqot baholaridan olingan va mualliflar bular optimistik quyi chegara ekanini alohida qayd etadi.

Resurs baholarining asosiy ilmiy xabari

Konkret misolda QSVT usulining gate afzalligi mutlaq va universal ustunlik sifatida namoyon bo‘lmaydi; ammo ancilla farqi juda aniq.

QSVT:

\[ 3\text{ ancilla} \]

ishlatsa, eng past raqib qiymat:

\[ 141\text{ ancilla} \]

bo‘lgani uchun tanlangan misolda mantiqiy yordamchi qubit ehtiyoji qariyb ikki kattalik tartibiga yaqin kamayadi.

Bu natija ayniqsa ilk fault-tolerant davrda algoritmning umumiy fizik qubit izini kamaytirishga qaratilgan tizim dizaynlari uchun muhim.

Tadqiqotning kuchli tomonlari

• Funksiyaga xos kogerent arifmetik sxemalar o‘rniga qayta ishlatiladigan yagona QSVT sxema shablonini taklif etishi.
• Amplitude oracle talabini butunlay olib tashlashi.
• Xato tahlili va state trace-distance chegaralarini aniq teoremalar bilan berishi.
• Exact amplitude amplification holatini batafsil isbotlashi.
• Asimptotik murakkablik bilan birga konkret fault-tolerant resurs baholarini berishi.
• Gaussian va Kaiser oynasi kabi algoritmik jihatdan muhim ikki funksiyani batafsil tahlil qilishi.
• Ancilla qubit xarajatida juda kuchli kamayishni ko‘rsatishi.
• Priors, uzilishlar va Fourier yaqinlashuvi uchun kengaytirish yo‘llarini taklif qilishi.

Tadqiqotning cheklovlari

• Afzallik funksiya past darajali polinom yoki mos Fourier yaqinlashuviga ega bo‘lishiga bog‘liq.
• Filling-fraction kichrayganda murakkablik yomonlashadi.
• Gate soni bo‘yicha taqqoslangan usullar turli non-Clifford gate birliklaridan foydalanadi.
• Resurs baholari fizik xatoni tuzatish arxitekturasining barchasini modellashtirmaydi.
• QSVT rotatsiyalarining fault-tolerant sintezi sezilarli T-gate xarajatini keltirib chiqaradi.
• Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarda filling-fractionning o‘lcham bilan kamayishi yechilmagan muammo.
• Bespoke Gaussian taqqoslash resurs bahosi mualliflar qayd etganidek optimistik quyi chegaradir.
• Tadqiqot real kvant apparatida amalga oshirish yoki benchmark taqdim etmaydi.

Manba va Usul Eslatmasi

To‘liq original ish nomi: Quantum state preparation without coherent arithmetic

Mualliflar: Sam McArdle; András Gilyén; Mario Berta.

Mualliflar tartibi: Yuklangan manbada berilgan tartib aynan saqlangan.

Teng hissa/teng birinchi muallif: Manbada ko‘rsatilmagan.

Mas’ul muallif: Yuklangan arXiv v2 PDF da alohida corresponding-author belgisi yo‘q.

Yuklangan PDF affiliatsiyalari: AWS Center for Quantum Computing, Pasadena, AQSH; Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Budapest, Vengriya; Department of Computing, Imperial College London, London, Birlashgan Qirollik; Institute for Quantum Information, RWTH Aachen University, Aachen, Germaniya. Yuklangan v2 da Mario Berta AWS, Imperial College London va RWTH Aachen affiliatsiyalariga ega.

Ilmiy soha: Kvant algoritmlari, kvant holat tayyorlash, quantum singular value transformation, quantum eigenvalue transformation va fault-tolerant kvant resurs tahlili.

Yuklangan manba turi: arXiv repository/preprint versiyasi.

Yuklangan versiya: arXiv:2210.14892v2 [quant-ph].

Birinchi arXiv topshirig‘i: 26 Oktabr 2022.

v2 reviziyasi: 9 Iyul 2025.

PDF sanasi: 10 Iyul 2025.

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2210.14892

arXiv rasmiy havolasi: https://arxiv.org/abs/2210.14892

Preprint litsenziyasi: arXiv non-exclusive distribution license. Bu litsenziya Creative Commons ochiq moslashtirish litsenziyasi emas.

Taqriz va chop etilgan versiya eslatmasi: Ko‘rilgan v2 fayl arXiv preprint/repository versiyasidir. Xuddi shu ish keyin taqrizdan o‘tib Physical Review Letters jurnalida chop etilgan. Ushbu Verianla maqolasidagi asosiy ilmiy matn yuklangan v2 versiyasidan tayyorlangan; keyingi jurnal qaydi faqat joriy bibliografik holatni tasdiqlash uchun ishlatilgan.

Taqrizlangan nashr nomi: Quantum State Preparation without Coherent Arithmetic

Taqrizlangan nashr: Physical Review Letters, Volume 136, Article 240603 (2026).

Jurnal DOI: 10.1103/ntvs-c48s

Rasmiy jurnal havolasi: https://doi.org/10.1103/ntvs-c48s

Nashriyot / nashr tashkiloti: American Physical Society.

Jurnalga topshirish sanasi: 9 Iyul 2025.

Jurnal qabul sanasi: 6 May 2026.

Jurnal nashr sanasi: 18 Iyun 2026.

Taqrizlangan versiya affiliatsiya eslatmasi: APS versiyasida Sam McArdle AWS Center for Quantum Computing; András Gilyén HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics; Mario Berta esa RWTH Aachen University va Imperial College London bilan ko‘rsatiladi. Shuning uchun v2 va jurnal versiyasi orasida Mario Berta ning AWS affiliatsiyasi bo‘yicha bibliografik farq mavjud.

Taqrizlangan versiya huquqlari: APS qayd sahifasi © 2026 American Physical Society ma’lumotini beradi. Manbada Creative Commons litsenziyasi ko‘rsatilmagani uchun taqrizlangan versiya CC litsenziyalangan deb qabul qilinmagan.

Moliyalashtirish: András Gilyén AWS Center for Quantum Computing ko‘magini; Mario Berta EPSRC EP/W032643/1 ko‘magini bildiradi. Manba shuningdek Fernando Brandãoga muhokamalar va loyiha ko‘magi uchun minnatdorlik bildiradi.

Ma’lumotlar mavjudligi: Yuklangan v2 da alohida data-availability bayonoti yo‘q. Tadqiqot eksperimental datasetga asoslanmagan nazariy kvant algoritmi va resurs tahlili ishidir.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Yuklangan v2 da alohida conflict-of-interest bayonoti topilmagan; bundan manfaatlar to‘qnashuvi yo‘q degan xulosa chiqarilmagan.

Muallif hissalari: Yuklangan v2 da alohida CRediT yoki muallif hissalari bo‘limi yo‘q.

Manba ichidagi parametrizatsiya eslatmasi: Asosiy qo‘llanma bo‘limida Gaussian \(f_\beta(x)=\exp(-\beta x^2/2)\) ko‘rinishida aniqlansa, Table II dagi konkret resurs bahosi sarlavhasi \(\exp(-\beta x^2)\), \(\beta=10\) ifodasini ishlatadi. Manba bu ikki \(\beta\) ta’rifini ochiq tenglashtirmagani uchun Verianla matni ularni bitta parametr sifatida birlashtirmagan.

Tadqiqot usuli: Arzon sinus blok-kodlash; QSVT/QET; klassik minimax yoki Taylor polinom yaqinlashuvi; exact va fixed-point amplitude amplification; trace-distance xato tahlili; Riemann-sum discretization chegaralari; modified Bessel funksiyalari; filling-fraction chegaralari va fault-tolerant non-Clifford resurs baholari.

Ilmiy mazmun chegarasi: Ushbu Verianla maqolasidagi algoritmik mexanizm, teoremalar, formulalar, Gaussian/Kaiser natijalari, resurs jadvallari, sxema tuzilishi va cheklovlar yuklangan arXiv:2210.14892v2 fayliga asoslangan. Tashqi manbalardan foydalanish faqat arXiv identifikatori va 2026 yilgi Physical Review Letters nashr holatini bibliografik tekshirish uchun amalga oshirilgan.

Asosiy talqin chegarasi: Manbada hisoblangan qubit va gate qiymatlari algoritmik/fault-tolerant resurs baholaridir. Ular muayyan fizik kvant kompyuterining real ishlash vaqti, fizik qubit soni yoki eksperimental muvaffaqiyat ko‘rsatkichi emas.