Модели бемории вируси Эбола, ки дар ин таҳқиқот пешниҳод шудааст, модели компартментии дорои қафомонӣ мебошад, ки динамикаи эпидемияро якҷо бо таъсирҳои хотира, ки тавассути ҳосилаҳои тартиби касрии Капуто ифода мешаванд, қафомонии инкубатсионӣ, сирояти сершавандаи вобаста ба рафтори инсон ва амалияҳои иҷтимоию фарҳангии дафн баррасӣ мекунад. Модел шахсони ҳассос, шахсони аз ҷиҳати клиникӣ сироятшуда, шахсони ба карантин гирифташуда, шифоёфтагон ва ду синфи фавтро дар шароити гуногуни дафн аз ҳам ҷудо мекунад. Ҳадафи асосии таҳқиқот пешгӯии дақиқи эпидемияи воқеии Эбола нест; балки омӯзиши назариявӣ ва ададии таъсири ин механизмҳо ба устувории математикӣ, ҳадди эпидемия ва динамикаи ларзишӣ мебошад.
Дар модел шумораи асосии репродуктивӣ \(R_0\) бузургии асосии ҳаддӣ мебошад. Дар манбаъ нишон дода мешавад, ки ҳангоми \(R_0<1\) мувозинати бе беморӣ ба таври локалӣ асимптотикӣ устувор аст; ҳангоми \(R_0>1\) бошад, мувозинати эндемикӣ ба вуҷуд меояд. Барои мувозинати эндемикӣ, вақте ки қафомонии инкубатсионӣ \(\tau\) ба як қимати муайяни критикӣ мерасад, бифуркатсияи Хопф ба вуҷуд омада метавонад ва сатҳи сироят ба ҷойи наздик шудан ба мувозинати собит метавонад ларзишҳои давомдор нишон диҳад.
Симулятсияҳои ададӣ ҳамчунин нишон медиҳанд, ки давомнокии қафомонӣ, тартиби касрии \(q\) ва \(p_1\), ки ҳиссаи фавтро пеш аз назорат ифода мекунад, метавонанд хатҳои каҷи эпидемияро ба таври назаррас тағйир диҳанд. Аммо ин натиҷаҳо баромадҳои модел мебошанд; онҳо набояд ҳамчун мушоҳидаҳои саҳроии клиникӣ ё эпидемиологӣ тафсир шаванд. Дар таҳқиқот баҳодиҳии параметрҳо бо маълумоти воқеии эпидемия ё санҷиши мустақили пешгӯӣ анҷом дода нашудааст.
Дар манбаъ байни баъзе қисматҳои натиҷаҳои ададӣ номувофиқатиҳои параметрӣ ва миқдорӣ мавҷуданд. Аз ҷумла, хулоса ва матну сарлавҳаҳои Расмҳои 3–6 барои баъзе қиматҳои \(\tau\), \(p_1\) ва қуллаи сироят аз як ифода истифода намекунанд. Аз ин рӯ, баёни Verianla ин фарқиятҳоро муттаҳид карда, натиҷаи нави “ислоҳшуда” ба вуҷуд намеорад.
Масъалаи асосие, ки таҳқиқот баррасӣ мекунад
Дар эпидемияҳои бемории вируси Эбола сироятро танҳо ба тамос бо шахсони фаъолона сироятшуда маҳдуд кардан мумкин нест. Давраи инкубатсионӣ, ки дар он шахси сироятшуда бемориро дорад, вале ҳанӯз сирояткунанда ҳисоб намешавад, тағйир ёфтани рафтори одамон бо сабаби тарс ва огоҳӣ аз беморӣ ва баъзе амалияҳои анъанавии дафн, ки тамоси наздик бо ҷасади шахсони сироятшударо дар бар мегиранд, метавонанд динамикаи эпидемияро тағйир диҳанд.
Холигии асосие, ки таҳқиқот дар адабиёт мебинад, аз он иборат аст, ки гарчанде қисми муҳими ин таъсирҳо қаблан алоҳида моделсозӣ шуда буданд, таъсири хотира + қафомонии вақт + сершавии рафторӣ + роҳҳои иҷтимоию фарҳангии дафн дар як чаҳорчӯбаи тартиби касрӣ ба таври кофӣ якҷо баррасӣ нашудаанд.
“Хотира” дар ин ҷо хотираи биологии шахсро маъно намедиҳад. Аз ҷиҳати математикӣ, ин маънои онро дорад, ки суръати тағйири кунунии система на танҳо аз ҳолати айни замон, балки аз маҷмӯи вазндори ҳолатҳои гузашта низ таъсир мегирад. Фарқи асосии ҳосилаҳои касрӣ аз ҳосилаҳои классикии тартиби якум ҳамин аст.
Ҳосилаи касрии Капуто дар ин модели Эбола чиро ифода мекунад?
Ҳосилаи касрии Капуто оператори ҳосилаи дорои хотира мебошад, ки вобастагии динамикаи имрӯзаи эпидемияи моделро аз ҳолатҳои гузашта ба таври математикӣ ифода мекунад; ҳангоми \(q=1\) модель ба модели классикии тартиби якум наздик мешавад, дар ҳоле ки \(0<q<1\) динамикаи касриро ифода мекунад, ки дар он ҳолатҳои гузашта ба модел ворид карда мешаванд.
Таърифи ҳосилаи касрии Капуто
Формула чиро ҳисоб мекунад? Ҳосилаи касрии Капуторо бо тартиби \(f(t)\) барои функсияи \(q\) ҳисоб мекунад.
- \(q\): тартиби ҳосилаи касрӣ мебошад. Дар модели эпидемикии таҳқиқот фосилаи \(0<q\le1\) истифода мешавад.
- \(\Gamma(\cdot)\): функсияи гамма мебошад; шакли густаришёфтаи мафҳуми факториал ба ададҳои ҳақиқӣ ва комплексӣ.
- \(\xi\): тағйирёбандаи ёрирасони вақт мебошад, ки ҳангоми интегралгирӣ дар тӯли вақти гузашта истифода мешавад.
- \((t-\xi)^{q+1-n}\): қисми ядро мебошад, ки муайян мекунад ҳолатҳои гузашта бо кадом вазн ба ҳосилаи имрӯза саҳм мегузоранд.
- \(f^{(n)}(\xi)\): ҳосилаи классикии \(n\)-уми функсия мебошад.
Дар бар гирифтани интеграл дар ҳосилаи касрӣ аҳамияти муҳим дорад. Дар муодилаи дифференсиалии классикӣ тағйирот асосан ба ҳолати айни замони система вобаста аст. Дар ин ҷо бошад, азбаски интеграл гузаштаро аз \(a\) то \(t\) фаро мегирад, система таърихи худро ба таври математикӣ ҳамроҳ мебарад.
Мувофиқи тафсири таҳқиқот, наздик шудани қимати \(q\) ба 1 ба кам шудани таъсири хотира мувофиқ аст. Дар симулятсияҳои ададӣ мушоҳида шудааст, ки наздик шудани \(q\) ба 1 метавонад қиматҳои қуллаи сироятро зиёд ва вақти қуллаҳоро тағйир диҳад. Ин натиҷа танҳо барои модел ва параметрҳои истифодашуда эътибор дорад.
Шаш синфи эпидемиологӣ дар модел
| Рамз | Маънои биологӣ |
|---|---|
| \(S_H(t)\) | Шахсони ҳассос дар вақти \(t\) |
| \(I_H(t)\) | Шахсони аз ҷиҳати клиникӣ сироятшуда |
| \(Q_H(t)\) | Шахсони сироятшудае, ки ошкор ва ба карантин гирифта шудаанд |
| \(R_H(t)\) | Шахсони шифоёфта |
| \(D_1(t)\) | Шахсони фавтидае, ки дар шароити дафн шудаанд, ки дар доираи амалияҳои анъанавӣ ё динӣ метавонад тамос бо ҷасадро дар бар гирад |
| \(D_2(t)\) | Синфи дафни бехатар, ки аз ҷониби мақомоти тандурустӣ назорат мешавад ва дар модел фарз карда мешавад, ки сирояти нав ба вуҷуд намеорад |
Параметрҳои асосӣ
| Параметр | Маъно |
|---|---|
| \(A\) | Суръати воридшавӣ ба популятсия / таваллуд |
| \(\beta_1\) | Коэффитсиенти сироят аз шахсони сироятшуда ба шахсони ҳассос |
| \(\beta_2\) | Коэффитсиенти сироят аз шахсони фавтидаи синфи \(D_1\) ба шахсони ҳассос |
| \(\mu\) | Суръати фавти табиӣ |
| \(\sigma\) | Параметре, ки таъсири рафторӣ/сершавиро ифода мекунад |
| \(\tau\) | Қафомонии инкубатсионӣ байни дучоршавӣ ва оғози сирояткунандагӣ |
| \(\alpha\) | Суръати баромадан аз синфи сироятшуда; \(1/\alpha\) давомнокии миёнаи сирояткунандаро ифода мекунад |
| \(p_1\) | Ҳиссаи шахсони сироятшудае, ки пеш аз ошкоршавӣ ё шифоёбии табиӣ аз сабаби беморӣ мефавтанд |
| \(p_2\) | Ҳиссаи шахсони сироятшудае, ки ошкор ва ба карантин гирифта мешаванд |
| \(\epsilon_1\) | Суръати гузариш аз фавт ба раванди дафн дар синфи \(D_1\) |
| \(\epsilon_2\) | Суръати гузариш аз фавт ба раванди дафн дар синфи \(D_2\) |
| \(\delta\) | Суръати баромадан аз карантин; \(1/\delta\) давомнокии миёнаи карантинро ифода мекунад |
| \(f\) | Ҳиссаи фавти вобаста ба беморӣ дар байни шахсони ба карантин гирифташуда |
| \(q\) | Тартиби ҳосилаи касрӣ / параметри таъсири хотира |
Модели асосии Эбола аз шаш муодила
Дар манбаъ модел (3.1) ба шакли зерин дода шудааст:
Муодилаи якум тағйирёбии шахсони ҳассосро тавсиф мекунад. \(A\) шахсони навро илова мекунад; тамос бо шахсони сироятшуда ва ҷасадҳои сирояткунандаи синфи \(D_1\) шахсонро аз синфи ҳассос хориҷ мекунад; фавти табиӣ низ ба андозаи \(\mu S_H\) коҳиш ба вуҷуд меорад.
Муодилаи дуюм пайдоиши сироятҳои нави клиникиро тавсиф мекунад. Ҳамин ду канали сироят ин дафъа ҳадҳои мусбат мебошанд; зеро сироятҳои наве, ки аз синфи ҳассос хориҷ мешаванд, ба синфи \(I_H\) ворид мешаванд. \((\alpha+\mu)I_H\) бошад, шахсонеро ифода мекунад, ки аз синфи сироятшуда бо сабаби раванди беморӣ ё фавти табиӣ хориҷ мешаванд.
Муодилаҳои \(D_1\), \(Q_H\), \(D_2\) ва \(R_H\) тақсимшавии шахсони сироятшударо ба роҳҳои фавт, ошкорсозӣ-карантин ва шифоёбӣ пайгирӣ мекунанд. Яке аз фарзияҳои муҳими манбаъ ин аст, ки дафнҳои назоратшаванда дар синфи \(D_2\) ба сирояти нав оварда намерасонанд.
Чаро ҳади сирояти сершаванда истифода мешавад?
Сохтори \(\beta S\times I\) ё \(\beta S\times D_1\) дар сурати каср миқдори эҳтимолии тамосро ифода мекунад. \(1+\sigma S_H(t)\) дар махраҷ бошад, ҳангоми афзоиши популятсия ба афзоиши хаттии бемаҳдуди тамос роҳ намедиҳад. Манбаъ инро бо таъсири сершавие мепайвандад, ки метавонад аз огоҳӣ, тарс, рафтори муҳофизатӣ, имкониятҳои маҳдуди тамос ва чораҳои тандурустии ҷамъиятӣ ба вуҷуд ояд.
Ҳангоми \(\sigma\to0\) махраҷ тақрибан ба 1 баробар мешавад ва сершавии рафторӣ суст мегардад. Манбаъ ин ҳолатро ҳамчун ҳадди моделсозие тафсир мекунад, ки дар он рафтори муҳофизатӣ камтар муассир аст.
Чаро моделро то се муодила коҳиш додан мумкин аст?
Муаллифон қайд мекунанд, ки муодилаҳои \(S_H\), \(I_H\) ва \(D_1\) аз муодилаҳои \(Q_H\), \(D_2\) ва \(R_H\) вобаста нестанд. Аз ин рӯ, барои таҳлили динамикаи асосӣ ва устуворӣ зерсистемаи иборат аз се муодилаи аввал истифода мешавад:
Ин коҳиш маънои онро надорад, ки синфҳои \(Q_H\), \(D_2\) ва \(R_H\) аз ҷиҳати биологӣ муҳим нестанд. Ин танҳо маънои онро дорад, ки ин се синф тавассути алоқаи бозгашт ба тарафи рости се муодилаи дифференсиалии аввал ворид намешаванд.
Чаро мусбатӣ ва маҳдудият санҷида мешаванд?
Модели эпидемиологӣ набояд шумораи манфии одамонро ба вуҷуд оварад. Аз ин рӯ, муаллифон нишон медиҳанд, ки вақте модел аз шартҳои ибтидоии мусбат оғоз мешавад, ҳалли он ба минтақаи манфӣ намегузарад ва маҳдуд мемонад.
Ин ифода фазои ҳолатҳои аз ҷиҳати биологӣ иҷозатдодашудаи системаи коҳишёфтаро муайян мекунад. Ҳадди болоии \(A/\mu\) аз миқёси мувозинат байни воридшавӣ ба популятсия ва фавти табиӣ бармеояд.
\(E_q\) дар ин ҷо функсияи Миттаг–Леффлер мебошад. Дар муодилаҳои дифференсиалии касрӣ он нақше монанд ба нақши функсияи экспоненсиалии классикӣ иҷро мекунад. Ин нобаробарӣ барои нишон додани он истифода мешавад, ки агар қимати ибтидоӣ дар минтақаи муносиб бошад, тағйирёбандаи умумӣ берун аз ҳадди \(A/\mu\) беназорат афзоиш намеёбад.
Шумораи асосии репродуктивии R0 дар ин модел чӣ гуна тафсир мешавад?
\(R_0\) параметри ҳаддӣ мебошад, ки нишон медиҳад як шахси сироятшуда дар популятсияи комилан ҳассос дар давраи сирояткунандаи худ ба ҳисоби миёна тавассути роҳҳои мустақим ва ғайримустақими вобаста ба дафни анъанавӣ чанд сирояти нав ба вуҷуд оварда метавонад; \(R_0<1\) барои хомӯш шудани сироят ва \(R_0>1\) барои имкони мавҷудияти мувозинати эндемикӣ дар модел ҳадди критикӣ мебошад.
Ин формула аз ду саҳми асосӣ иборат аст.
- Саҳми мустақими шахси сироятшуда: ҳади якум, ки \(\beta_1\)-ро дар бар мегирад.
- Саҳми аз синфи дафни анъанавӣ сарчашмагиранда: ҳади дуюм, ки \(\beta_2\), \(p_1\) ва \(\epsilon_1\)-ро дар бар мегирад.
Ҳангоми зиёд шудани \(\beta_1\) ё \(\beta_2\), агар параметрҳои дигар собит бошанд, \(R_0\) зиёд мешавад. Дар махраҷ будани \(\sigma\) нишон медиҳад, ки таъсири қавитари сершавӣ/рафторӣ ба самти кам кардани ҳадди сироят саҳми математикӣ мегузорад. Дар махраҷи ҳади дуюм будани \(\epsilon_1\) бошад, нишон медиҳад, ки вақти дар синфи \(D_1\) гузаронидашуда дар роҳи сирояти аз ҷасад сарчашмагиранда муҳим аст.
Мувозинати бе беморӣ ва эндемикӣ
Мувозинати бе беморӣ:
Дар ин нуқта популятсияи ҳассос мавҷуд аст, аммо \(I_H\) ва \(D_1\) ба сифр баробаранд.
Дар манбаъ ҳангоми \(R_0>1\) мувозинати мусбати эндемикӣ \(\mathcal{E}_1=(S_H^\ast,I_H^\ast,D_1^\ast)\) муайян карда мешавад. Муодилаи (3.3) дар манбаъ сохтори зерин дорад:
Пайдо шудани зарбкунандаи \((R_0-1)\) дар ифодаҳои \(I_H^\ast\) ва \(D_1^\ast\) мантиқи ҳаддиро равшан мекунад: барои мувозинати эндемикӣ модел шарти \(R_0>1\)-ро талаб мекунад.
Устувории локалӣ ва муодилаи характеристикӣ
Барои омӯзиши устувории нуқтаҳои мувозинат решаҳои характеристикии системаи хаттишуда таҳқиқ карда мешаванд. Барои мувозинати бе беморӣ манбаъ сохтори характеристикии зеринро медиҳад:
Ҳангоми мавҷудияти қафомонӣ дар дохили коэффитсиентҳо ҳадҳои \(e^{-s\tau}\) пайдо мешаванд. Ин ҳади экспоненсиалии қафомонӣ муодилаи характеристикиро аз полиноми классикӣ ба сохтори транссендентӣ табдил медиҳад. Аз ин рӯ, қафомонӣ метавонад ҷойгиршавии решаҳоро дар ҳамвории комплексӣ ва, дар натиҷа, устувориро тағйир диҳад.
Эзоҳи математикӣ, ки дар манбаъ бояд ба он таваҷҷуҳ кард: Байни ду баробарии пайдарпайи ифодаи \(a_0\), ки зери муодилаи (3.9) дода шудааст, қадами ошкори азнавтартибдиҳӣ аз ҷиҳати миқёс/андоза нишон дода нашудааст. Verianla ин ифодаро ба ҷойи манбаъ аз нав ҳосил карда “ислоҳ” намекунад; дар тафсири устуворӣ ҳадди \(R_0\) ва теоремаҳои пешниҳодкардаи муаллифон асос гирифта мешаванд.
Чаро қафомонӣ метавонад ба бифуркатсияи Хопф оварда расонад?
Қафомонии \(\tau\) бо ба вуҷуд овардани зарбкунандаҳои \(e^{-s\tau}\) дар муодилаи характеристикӣ метавонад ба баъзе қиматҳои хос имкон диҳад, ки меҳвари мавҳумро дар ҳамвории комплексӣ убур кунанд; вақте ин гузариш дар қимати критикии \(\tau^\ast\) рух медиҳад, мувозинати собит метавонад устувории худро аз даст дода, ба ларзишҳои давомдор гузарад ва манбаъ инро ҳамчун бифуркатсияи Хопф таҳлил мекунад.
Дар таҳлил \(s=i\omega\) гирифта шуда, муодилаи характеристикӣ ба қисмҳои ҳақиқӣ ва мавҳум ҷудо карда мешавад. Сипас қиматҳои номзади қафомонӣ:
ба шакли зерин ифода мешаванд ва қафомонии критикӣ:
муайян карда мешавад.
\(\omega\) дар ин ҷо қимати мусбате мебошад, ки ба басомади кунҷии характеристикии ларзиш вобаста аст. \(G_1(\omega)\) ва \(G_2(\omega)\) функсияҳое мебошанд, ки аз қисмҳои ҳақиқӣ ва мавҳуми муодилаи характеристикӣ ҳосил шудаанд. Ҳадаф ёфтани хурдтарин қафомониест, ки дар он як ҷуфти решаҳои комплексӣ ба меҳвари мавҳум мерасад.
Дар манбаъ Теоремаи 3.3 изҳор мекунад, ки ҳангоми \(q\in(0,1]\), \(R_0>1\), \(\tau>0\) ва шарти додашудаи трансверсалӣ мувозинати эндемикӣ дар фосилаи \(0\le\tau<\tau^\ast\) асимптотикӣ устувор аст ва дар нуқтаи \(\tau=\tau^\ast\) бифуркатсияи Хопф ба вуҷуд меояд.
Нақши меъёри Routh–Hurwitz
Дар ҳолати бе қафомонӣ \(\tau=0\) гирифта шуда, ивазкунии \(s^q=\lambda\) анҷом дода мешавад. Ҳамин тавр, муодилаи характеристикиро ба шакли полиноми классикӣ овардан мумкин аст. Барои мувозинати эндемикӣ манбаъ:
полиномро ба даст меорад ва
шартҳои Routh–Hurwitz-ро истифода мекунад. Ин шартҳо барои манфӣ нигоҳ доштани қисмҳои ҳақиқии решаҳои характеристикӣ ва ба ин васила таъмин кардани устувории локалии асимптотикӣ равона шудаанд.
Равиши Lyapunov ва устувории глобалии эндемикӣ
Манбаъ барои \(R_0>1\) бо мақсади омӯзиши устувории глобалии асимптотикии мувозинати эндемикӣ дар зери баъзе шартҳои иловагӣ функсионали Lyapunov месозад:
Компоненти якум:
Сохторҳои логарифмии монанд барои \(I_H\) ва \(D_1\) низ сохта мешаванд; барои ба назар гирифтани ҳолатҳои дорои қафомонӣ интегралҳои касрии Риман–Лиувилл илова карда мешаванд.
Воситаи асосии математикии исбот:
нобаробарӣ мебошад. Баробарӣ танҳо ҳангоми \(x=1\) иҷро мешавад. Муаллифон дар зери шартҳои мувофиқи монотонии \(H_1-H_4\) ба натиҷаи \(D^qV\le0\) расида, барои мувозинати эндемикӣ натиҷаи устувории глобалии асимптотикиро ба даст меоранд.
Усул ва натиҷаҳои таҳқиқот
Шартҳои ибтидоӣ барои ҳалли ададӣ
Дар симулятсияҳои ададӣ як ҷомеаи хурд фарз карда шуда, қиматҳои ибтидоӣ:
гирифта шудаанд.
Усули Adams–Bashforth–Moulton predictor–corrector
Азбаски системаи дифференсиалии дорои қафомонии тартиби касрӣ мустақиман дар шакли пӯшида ҳал карда намешавад, муаллифон равиши Adams–Bashforth–Moulton (ABM) predictor–corrector-ро истифода мекунанд.
Масъалаи умумии қимати ибтидоии касрӣ:
Дар ин ҷо \(y(t)\) вектори ҳолат, \(f\) тарафи рости система ва \(\psi(t)\) функсияи ибтидоии гузаштаи фосилаи қафомонӣ мебошад.
Манбаъ барои ҳалли ягона шарти Lipschitz-ро истифода мекунад:
Сипас муодилаи дифференсиалии касрӣ ба муодилаи интегралии эквиваленти Volterra табдил дода мешавад:
Ин табдил муҳим аст; зеро алгоритми ABM таъсири хотираи касриро тавассути вазнҳои интегралӣ ҳисоб мекунад.
Барои шабакаи вақт манбаъ андозаи қадами \(h=\tau/m\)-ро истифода мебарад ва ҳалли онро ба шакли \(y_h(t_j)\approx y(t_j)\) дискретонӣ мекунад.
Қадами Predictor
Predictor барои ҳалли нуқтаи навбатии вақт тахмини аввалияро ба вуҷуд меорад.
Қадами Corrector
Сипас бо истифода аз квадратураи ҳосилии трапетсиявӣ қимати ислоҳшуда ҳисоб карда мешавад. Сохтори асосии corrector дар манбаъ:
ба ҳамин шакл аст. Тахмини бадастомада бо Predictor ба ҷойи \(y_h(t_{n+1})\)-и номаълум дар тарафи рост истифода шуда, қадами corrector анҷом дода мешавад.
Маҷмӯи асосии параметрҳо дар симулятсияҳо
| Параметр | Қимат |
|---|---|
| \(A\) | 189 |
| \(\mu\) | 0.000044 |
| \(\sigma\) | 0.09 |
| \(f\) | 0.1 |
| \(p_2\) | 0.3 |
| \(\epsilon_1\) | 0.5 |
| \(\epsilon_2\) | 0.5 |
| \(\alpha\) | 0.21 |
| \(\delta\) | 0.135 |
| \(q\) | Дар фосилаи \((0,1]\) тағйир дода шудааст |
Манбаъ параметрҳои \(\beta_1\), \(\beta_2\) ва \(p_1\)-ро вобаста ба симулятсияи дахлдор аз фосилаи \((0,1)\) интихоб мекунад. Қисми муҳими параметрҳо аз таҳқиқоти қаблӣ гирифта шудаанд; ин таҳқиқот онҳоро бо маълумоти нави саҳроӣ аз нав баҳогузорӣ намекунад.
R0 < 1: наздикшавӣ ба мувозинати бе беморӣ
Дар сенарияи Расми 2 бо интихоби \(\tau=0\), \(\beta_1=0.00985\), \(\beta_2=0.0075\), \(R_0=0.5717\) ба даст оварда шудааст. \(q\) аз 0.6 то 1 бо қадамҳои 0.1 тағйир дода шудааст. Симулятсияҳо нишон медиҳанд, ки траекторияҳои ҳал ба мувозинати бе беморӣ наздик мешаванд.
Маънои ин натиҷа дар доираи модел аст: ҳангоми \(R_0<1\) дар маҷмӯи интихобшудаи параметрҳо сироят нигоҳ дошта намешавад. Ин натиҷа барои ҷомеаи воқеӣ ба таври худкор пешгӯии “Эбола аз байн меравад” нест; \(R_0\)-и воқеӣ ва дигар параметрҳо бояд алоҳида чен карда шаванд.
R0 > 1: мувозинати эндемикӣ
Гарчанде матни манбаъ барои ин таҷриба \(q=0.8\), \(\tau=0\) мегӯяд, сарлавҳаи Расми 3 \(\tau=1\) менависад. Сарлавҳаи расм инчунин қиматҳои \(\beta_1=0.00985\), \(\beta_2=0.00755\), \(\sigma=0.09\) ва \(R_0=1.33\)-ро медиҳад. Ба сабаби ин номувофиқати дохили манбаъ қимати \(\tau\) аз ҷониби Verianla интихоб ва ислоҳ карда нашудааст.
Паёми умумии илмӣ ин аст, ки дар ҳолати \(R_0>1\) ва сенарияи дахлдори қафомонии кам траекторияҳои модел метавонанд ба мувозинати эндемикӣ наздик шаванд ва ларзишҳои бузурги давомдори дарозмуддат нишон надиҳанд.
Қафомонии критикӣ ва ларзишҳои давомдор
Матни натиҷаҳои ададӣ изҳор мекунад, ки дар шароити \(q=0.8\) ва \(R_0>1\) барои \(\tau=2.5\) симулятсияи тақрибан 1000-рӯза анҷом дода шудааст. Сарлавҳаи Расми 4 дар ҳамон саҳифа бошад, \(\tau=2\) менависад. Мувофиқи матн, шумораи сироятшудагон аз 300 ҳолати ибтидоӣ дар тақрибан 47 рӯз то тақрибан 45.873 афзуда, баъдан то сатҳи тақрибан 650 коҳиш ёфтааст ва ларзишҳои давомдор дар ҳудуди тақрибан 600–700 ба вуҷуд омадаанд.
Муаллифон ин рафторро бо гузаштан аз ҳадди критикии қафомонӣ ва бифуркатсияи Хопф мепайванданд. Аммо ба сабаби номувофиқати дохилии сарлавҳа/матн байни \(\tau=2\) ва \(\tau=2.5\), ин натиҷаи ададӣ набояд дубора ҳамчун “ба таври қатъӣ танҳо натиҷаи \(\tau=2.5\) аст” нишонгузорӣ шавад.
Муқоисаи τ = 2.5 ва τ = 3
Расми 5 сенарияҳои \(q=0.8\) ва \(\beta_1=0.00985\)-ро дар шароити \(\beta_2=0.00755\), \(\sigma=0.09\), \(R_0=1.33\), \(\tau=2.5\) ва \(\tau=3.0\) муқоиса мекунад.
Мувофиқи матни манбаъ, дар ҳолати \(\tau=3.0\) сенарияе, ки бо 300 сироятшуда оғоз мешавад, тақрибан дар рӯзи 61-ум ба тақрибан 101.173 сироятшуда мерасад. Баъд он то сатҳи тақрибан 960 коҳиш ёфта, дар ларзишҳои давомдор қиматҳои қуллаи тақрибан 65.845 ба вуҷуд меоянд.
Муаллифон дар ин муқоиса таъкид мекунанд, ки афзоиши қафомониро танҳо бо зиёд шудани бузургии қулла шарҳ додан мумкин нест; махсусан, он вақти қуллаи эпидемияро ба таъхир меандозад.
Таъсири p1, ки амалияҳои иҷтимоию фарҳангии дафнро ифода мекунад
\(p_1\) ҳиссаи шахсони сироятшударо ифода мекунад, ки пеш аз ошкоршавӣ ё шифоёбӣ аз сабаби беморӣ фавтида, ба роҳи \(D_1\) мегузаранд. Аз нуқтаи назари модел, афзоиши \(p_1\) метавонад шумораи бештари шахсонро ба синфи дафни анъанавӣ гузаронад ва азбаски ин синф тавассути \(\beta_2\) ба механизми ба вуҷуд овардани сирояти нав пайваст аст, метавонад динамикаи сироятро тақвият диҳад.
Дар легендаи графикии Расми 6 \(p_1=0.1\) ва \(p_1=0.25\) дида мешавад, дар ҳоле ки сарлавҳаи расм инчунин барои \(p_1=0.35\) ифодаи \(R_0=1.3614\)-ро дар бар мегирад. Хулоса бошад, барои \(p_1>0.4\) афзоиши %35-ро дар бузургии эпидемия хабар медиҳад. Ин се пешниҳоди гуногуни манбаъ ба як қимат кам карда нашудаанд.
Натиҷаи муштараки боэътимод чунин аст: дар модел ҳиссаи баландтари фавти беназорат/бармаҳал ва роҳи дафни тамосдори вобаста ба он бо мавҷҳои эпидемии калонтар ё бештар ба таъхир афтода алоқаманд аст. Ин исбот намекунад, ки дар ҷомеаи воқеии муайян амалияҳои анъанавии дафн маҳз ҳамон афзоиши миқдориро ба вуҷуд меоранд.
Таъсири тартиби касрии q
Дар Расми 7 \(\tau=3\) собит нигоҳ дошта шуда, \(q\) тағйир дода шудааст. Дар графикҳо сенарияҳои \(q=0.8\), \(q=0.9\) ва \(q=1.0\) муқоиса мешаванд. Бо наздик шудани \(q\) ба 1 дида мешавад, ки қуллаҳои сироят зиёд ва вақти онҳо тағйир меёбад.
Манбаъ инро бо суст шудани таъсири хотира мепайвандад. Хулоса хабар медиҳад, ки наздик шудани \(q\) ба 1 дар сатҳҳои қуллаи сироят тақрибан %20 афзоиш ба вуҷуд меорад; азбаски нуқтаҳои хоми ададии графикҳо пешниҳод нашудаанд, Verianla ин фоизро аз нав ҳисоб намекунад.
Хониши якҷояи сенарияҳои ададии дар манбаъ гузоришшуда
| Сенария | Шарти додашуда дар манбаъ | Паёми асосӣ | Ҳадди тафсир |
|---|---|---|---|
| Расми 2 | \(\tau=0\), \(R_0=0.5717\), \(q=0.6\)–1 | Наздикшавӣ ба мувозинати бе беморӣ | Натиҷаи симулятсия |
| Расми 3 | Матн: \(\tau=0\); сарлавҳа: \(\tau=1\), \(R_0=1.33\) | Наздикшавӣ ба мувозинати эндемикӣ | Дар манбаъ номувофиқати \(\tau\) вуҷуд дорад |
| Расми 4 | Матн: \(\tau=2.5\); сарлавҳа: \(\tau=2\) | Ларзишҳои давомдор / тафсири Хопф | Дар манбаъ номувофиқати \(\tau\) вуҷуд дорад |
| Расми 5 | \(\tau=2.5\) ва 3, \(q=0.8\), \(R_0=1.33\) | Ҳангоми қафомонии дарозтар вақти қулла ва ларзишҳо тағйир меёбанд | Қатори хоми вақт пешниҳод нашудааст |
| Расми 6 | \(p_1\) тағйир дода шудааст | Таъсири роҳи фавти беназорат/дафни тамосдор зиёд мешавад | Байни легенда, сарлавҳаи расм ва хулоса номувофиқати қимати \(p_1\) вуҷуд дорад |
| Расми 7 | \(\tau=3\), \(q=0.8,0.9,1.0\) | Ҳангоми \(q\to1\) мавҷҳо баландтар ва вақти онҳо тағйирёфта мебошанд | Баромади модел аст; ченкунии саҳроӣ нест |
Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад
- Имкони ба таври математикӣ сохтани модели Эбола бо тартиби касрӣ ва қафомонӣ.
- Имкони мусбат ва маҳдуд мондани ҳалли модел дар шароити ибтидоии мувофиқ.
- Он ки \(R_0\) параметри асосии ҳаддӣ мебошад.
- Устувории локалии асимптотикии мувозинати бе беморӣ барои \(R_0<1\) дар доираи Теоремаи 3.2-и манбаъ.
- Мавҷудияти мувозинати мусбати эндемикӣ барои \(R_0>1\).
- Он ки дар шароити мувофиқ аз қимати критикӣ гузаштани қафомонӣ метавонад бифуркатсияи Хопф ва динамикаи ларзиширо ба вуҷуд орад.
- Он ки тағйирёбии \(p_1\), \(q\) ва \(\tau\) дар дохили модел траекторияҳои эпидемикиро тағйир медиҳад.
- Устувории глобалии асимптотикии мувозинати эндемикӣ бо равиши Lyapunov дар зери шартҳои муайяни \(H_1-H_4\).
Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад
- Ин модел шумораи ояндаи ҳолатҳои Эболаро дар кишвари воқеӣ ба таври тасдиқшуда пешгӯӣ намекунад.
- 101.173, 45.873 ё дигар қиматҳои симулятсия шумораи ҳолатҳои воқеан мушоҳидашуда дар эпидемияи воқеӣ нестанд.
- Ҳадди \(\tau^\ast\) дар модел барои ҳар як эпидемияи Эбола собитаи универсалии биологӣ нест.
- Модел нишон намедиҳад, ки амалияҳои фарҳангии дафн дар ҳамаи ҷомеаҳо ҳамон як таъсири миқдориро ба вуҷуд меоранд.
- Таҳқиқот самаранокии ягон дору, ваксина ё табобати клиникиро намесанҷад.
- Натиҷаҳои симулятсия пешгӯии клиникӣ ё тандурустии ҷамъиятӣ нестанд, ки бо маълумоти воқеии эпидемия калибр карда шудаанд.
Маҳдудиятҳои модел ва таҳқиқоти оянда
Муаллифон ҳамчун маҳдудияти муҳими аввал қайд мекунанд, ки параметрҳо аз сабаби маҳдуд будани маълумоти воқеии эпидемия аз адабиёти мавҷуда гирифта шудаанд. Калибркунии эмпирикӣ бо маълумоти воқеии эпидемия метавонад қобили татбиқи моделро ба эпидемияҳои муайян зиёд кунад.
Дуюм, модел гетерогении фазоӣ ва ҳаракатнокии инсонро ба таври возеҳ дар бар намегирад. Дар оянда илова кардани фарқиятҳои ҷуғрофӣ, ҳаракатҳои сафар ва сирояти байни минтақаҳо пешниҳод мешавад.
Сеюм, модел детерминистӣ мебошад. Муаллифон барои ифода кардани тасодуфияти дар рафтор, муҳит ва популятсияҳои хурд ба вуҷудоянда илова кардани ҷузъҳои стохастикиро дар оянда пешниҳод мекунанд.
Ин маҳдудиятҳо махсусан муҳиманд: модели аз ҷиҳати математикӣ мураккабтар ба таври худкор маънои модели дақиқтар пешгӯишавандаи эпидемияҳои воқеиро надорад. Барои дақиқии ҷаҳони воқеӣ калибркунии параметрҳо, санҷиш бо маълумоти мустақил ва арзёбии вобаста ба контекст лозим аст.
Ёддошт оид ба манбаъ ва усул
Таҳқиқоти аслӣ: A delayed fractional-order model of Ebola virus disease with human behavioral dynamics
Муаллифон: Eva Lusekelo; Mlyashimbi Helikumi; Salamida Daudi; Steady Mushayabasa.
Муаллифи масъул: Steady Mushayabasa.
Саҳми баробар: Дар манбаъ изҳороти ҳаммуаллифии якуми баробар ё саҳми баробар муайян нашудааст.
Муассисаҳо: Department of Mathematics and Statistics, College of Natural and Mathematical Sciences, University of Dodoma, Dodoma, Tanzania; Mbeya University of Science and Technology, Department of Mathematics and Statistics, College of Science and Technical Education, Mbeya, Tanzania; Department of Education and Mathematics, National Institute of Transport, Dar-es-Salaam, Tanzania; Department of Mathematics and Computational Sciences, University of Zimbabwe, Mount Pleasant, Harare, Zimbabwe.
Маҷалла: Results in Control and Optimization.
Ношир: Elsevier B.V.
Платформа: ScienceDirect.
Ҷилд / рақами мақола: Volume 23 (2026), Article 100738.
DOI: 10.1016/j.rico.2026.100738.
Санаи қабул барои баррасӣ: 14 марти 2026.
Санаи бознигарӣ: 7 майи 2026.
Санаи қабул: 20 майи 2026.
Санаи нашри онлайн: 28 майи 2026.
Навъи манбаъ: Мақолаи маҷаллаи илмии тақризшуда; таҳқиқоти эпидемиологияи математикии назариявӣ ва симулятсияи ададӣ.
Иҷозатнома: Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
Усули илмӣ: Муодилаҳои дифференсиалии дорои қафомонии тартиби касрии Капуто; функсияи инсидентии сершаванда; таҳлили мусбатӣ ва маҳдудият; мувозинати бе беморӣ ва эндемикӣ; шумораи асосии репродуктивӣ; муодилаи характеристикӣ ва таҳлили қиматҳои хос; меъёри Routh–Hurwitz; бифуркатсияи Хопф; функсионали Lyapunov; ҳалли ададии Adams–Bashforth–Moulton predictor–corrector.
Дастрасии маълумот: Манбаъ ба таври возеҳ хабар медиҳад, ки дар таҳқиқот маълумот истифода нашудааст. Натиҷаҳои ададӣ бо модели математикӣ ва параметрҳои аз адабиёт гирифташуда ба вуҷуд оварда шудаанд.
Маблағгузорӣ: Муаллифон изҳор мекунанд, ки таҳқиқот аз ягон муассисаи маблағгузории давлатӣ, тиҷоратӣ ё ғайритиҷоратӣ гранти махсус нагирифтааст.
Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор мекунанд, ки ягон манфиати маълуми молиявӣ ё муносибати шахсӣ, ки метавонад ба таҳқиқот таъсир расонад, вуҷуд надорад.
Изҳорот оид ба зеҳни сунъӣ: Муаллифон хабар медиҳанд, ки ҳангоми омода кардани кор барои беҳтар кардани забон ва хондашавӣ аз зеҳни сунъӣ истифода кардаанд, сипас мундариҷаро баррасӣ ва таҳрир намудаанд ва тамоми масъулияти мундариҷаи нашрро ба ӯҳда мегиранд.
CRediT / саҳмҳои муаллифон: Дар манбаъ CRediT authorship contribution statement-и алоҳида муайян нашудааст; аз ин рӯ, вазифаҳои муаллифон аз ҷониби Verianla тахмин карда нашудаанд.
Номувофиқати муҳими ададии дохили манбаъ: Дар хулоса, сарлавҳаҳои Расмҳои 3–6 ва параграфҳои марбути натиҷаҳо баъзе қиматҳои \(\tau\), \(p_1\) ва қуллаи сироят яксон нестанд. Аз ҷумла, барои Расми 3 матн \(\tau=0\), сарлавҳаи расм \(\tau=1\); барои Расми 4 матн \(\tau=2.5\), сарлавҳаи расм \(\tau=2\) медиҳад. Ифодаи “аз 1200 то зиёда аз 10.000” дар хулоса низ бо баъзе қиматҳои қуллаи калонтар дар матни асосӣ/расмҳо мустақиман мувофиқат намекунад. Ин фарқиятҳо хомӯшона ислоҳ карда нашудаанд.
Ҳадди дохили манбаъ вобаста ба изҳороти устуворӣ: Теоремаи 3.2 барои \(R_0<1\) мувозинати бе бемориро ҳамчун “локалӣ асимптотикӣ устувор” ифода мекунад. Бахши хулоса бошад, ҳамон ҳолатро ҳамчун “глобалӣ асимптотикӣ устувор” тавсиф мекунад.
Шарҳ гузоред
Нишонии почтаи электронии шумо нашр намешавад. Майдонҳои ҳатмӣ бо * нишон дода шудаанд