Ёфтани хурдтарин арзиши имконпазири як функсия; аз тарҳи муҳандисӣ то омӯзиши мошинӣ, аз роботика то таҳлили маълумот асоси бисёр масъалаҳои ҳисоббарориро ташкил медиҳад. Агар дар болои тағйирёбандаҳо маҳдудиятҳои иловагӣ дар шакли баробарӣ ё нобаробарӣ вуҷуд надошта бошанд, масъала одатан оптимизатсияи бемаҳдуд номида мешавад. Дар чунин масъала вазифаи алгоритм ин аст, ки нишебии функсияи ҳадафро пайгирӣ карда, вектори тағйирёбандаҳоеро ёбад, ки ба арзишҳои пасттари функсия мерасонанд.

Кори Huda H. Al-Zobiadi ва Adawiya A. Mahmood Al-Nuaimi ду равиши классикии барои ин мақсад истифодашавандаро дар муҳити MATLAB муқоиса мекунад: Steepest Descent (SD; Фурудоии Аз Ҳама Тез) ва Conjugate Gradient (CG; Градиенти Ҳамроҳ). Муҳаққиқон инчунин барои коэффициенти \(\beta_k\), ки самти нави ҷустуҷӯро дар усули CG муайян мекунад, ифодаи тағйирёфтаро пешниҳод мекунанд.

Дар иҷроҳои MATLAB дар се функсияи санҷишии ду-тағйирёбанда, дар мисоли аввал ҳар ду алгоритм дар як шумораи итератсияҳо бозистодаанд; дар мисоли дуюм SD 10 ва CG бо \(\beta_k\)-и нав 9 итератсия; дар мисоли сеюм бошад SD 4 ва CG 3 итератсия истифода кардааст. Бо вуҷуди ин, дар ҳамаи вақтҳои иҷрои гузоришшудаи мақола, ки сохтани графикҳоро низ дар бар мегирад, SD кӯтоҳтар будааст.

Ин натиҷаҳо нишон медиҳанд, ки CG дар ду мисоли баррасишуда ба таҳаммулпазирии додашуда бо итератсияҳои камтар расидааст; аммо чун танҳо се масъалаи хурди санҷишӣ истифода шудааст, бартарии усул дар масъалаҳои бузургмиқёс, баландандоза ё умумии оптимизатсияи ғайрихаттӣ ҳанӯз нишон дода нашудааст. Илова бар ин, функсияи сеюми санҷишие, ки дар манбаъ истифода шудааст, аз поён ба таври глобалӣ бемаҳдуд аст. Аз ин рӯ нуқтаи ёфтшуда дар он мисол глобалӣ нест, балки минимуми маҳаллӣ дар минтақаи ҷалби нуқтаи ибтидоӣ мебошад.

Масъалаи минимизатсияи бемаҳдуд чист?

Шакли асосии як масъалаи оптимизатсия

\[ \min_x f(x) \]

мебошад. Дар ин ҷо \(x\) вектореро нишон медиҳад, ки тағйирёбандаҳои оптимизатсияшавандаро дар бар мегирад; \(f(x)\) бошад функсияи ҳадафест, ки бояд хурд карда шавад.

Манбаъ масъаларо чунин менависад:

\[ \operatorname{Minimize} f(x), \qquad x\in\Omega \]

Матн инчунин ҳангоми баррасии мавҷудияти ҳалат ҳолатеро истифода мекунад, ки \(f\) пайваста ва \(\Omega\) компакт бошад. Аз ҷиҳати техникӣ ин ифода шакли масъалаи умумии “бемаҳдуд”-ро ба як маҷмӯи каме васеътар вобаста мекунад; дар масъалаи классикии комилан бемаҳдуд аксар вақт

\[ \Omega=\mathbb{R}^n \]

гирифта мешавад ва \(\mathbb{R}^n\) компакт нест. Аз ин рӯ натиҷаи мавҷудият, ки тавассути компактӣ дода шудааст, ба ҳамаи масъалаҳои оптимизатсияи бемаҳдуд худкор татбиқ намешавад.

Фарқи Минимуми Маҳаллӣ ва Минимуми Глобалӣ Чист?

Минимуми маҳаллӣ танҳо дар як ҳамсоягии муайян хурдтарин арзиши функсияро ифода мекунад, дар ҳоле ки минимуми глобалӣ дар тамоми соҳаи таъриф аз ҳамаи номзадҳо хурдтар ё ба онҳо баробар аст; расидани як алгоритми градиентӣ ба нуқтаи стационарӣ маънои онро надорад, ки он нуқта худкор минимуми глобалӣ аст.

Барои як нуқтаи \(x^\ast\), агар дар атрофи наздик

\[ f(x)\geq f(x^\ast) \]

бошад, \(x^\ast\) минимуми маҳаллӣ аст.

Агар дар тамоми соҳаи таъриф

\[ f(x)\geq f(x^\ast) \qquad \forall x \]

бошад, аз минимуми глобалӣ сухан меравад.

Ин фарқ махсусан дар оптимизатсияи ғайрихаттӣ муҳим аст. Алгоритм метавонад нормаи градиентро кам карда ба нуқтаи стационарӣ расад; вале вобаста ба геометрияи функсияи ҳадаф ин нуқта метавонад минимуми маҳаллӣ, максимум ё нуқтаи зин бошад.

Чаро градиент самти фурудро нишон медиҳад?

Манбаъ вектори градиентро бо \(m\) нишон медиҳад:

\[ m_k=\nabla f(x_k). \]

Градиент самтеро медиҳад, ки функсия дар нуқтаи ҳозира зудтарин афзоиш меёбад. Аз ин рӯ

\[ -\nabla f(x_k) \]

барои қадамҳои кофӣ хурд самти маҳаллиест, ки функсия дар он зудтарин кам мешавад.

Маълумоти ҳосилаҳои дуюм бошад дар матритсаи Hessian ҷамъ мешавад:

\[ H(x)= \begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} \end{bmatrix}. \]

Hessian на танҳо нишон медиҳад, ки нишебӣ чӣ гуна аст, балки ҳамчунин миқдори каҷшавии сатҳро дар самти дахлдор дар бар мегирад.

Алгоритми Steepest Descent Чӣ Гуна Кор Мекунад?

Steepest Descent дар ҳар итератсия манфии градиенти ҷориро ҳамчун самти ҷустуҷӯ интихоб мекунад; дар кор дарозии қадам бо истифода аз градиент ва Hessian ҳисоб карда мешавад, сипас вақте ки дар нуқтаи нав нормаи градиент аз таҳаммулпазирӣ поён мефарояд, итератсия боздошта мешавад.

Навсозии SD, ки дар манбаъ истифода шудааст

Пас аз муайян шудани нуқтаи ибтидоӣ \(x_0\), градиент

\[ m_0=\nabla f(x_0) \]

ва таҳаммулпазирии наздикшавӣ, манбаъ дарозии қадамро

\[ \alpha_k= \frac{m_k^Tm_k} {m_k^TH_km_k} \]

чунин таъриф мекунад.

Нуқтаи нав

\[ x_{k+1}=x_k-\alpha_km_k \]

ва градиенти нав

\[ m_{k+1}=\nabla f(x_{k+1}) \]

ҳисоб карда мешавад.

Шарти бозистӣ

\[ \|m_{k+1}\|<\text{tol} \]

интихоб шудааст.

Ин шарт маънои муҳим дорад: нуқтае, ки дар баромади MATLAB ҳамчун “minimum point” дода мешавад, аз ҷиҳати математикӣ ҳатман минимуми комил нест. Он танҳо нуқтаест, ки нормаи градиент аз сатҳи таҳаммулпазирии муайянкардаи муаллифон поён рафтааст.

Чаро Фурудоии Аз Ҳама Тез метавонад зигзаг кунад?

Дар як водии танг ва дарози оптимизатсия градиенти манфӣ ба ҷойи он ки мустақиман ба минимум нигарад, метавонад аз як тарафи водӣ ба тарафи дигар равона шавад. Ҳамин тавр алгоритм ҳангоми наздик шудан ба минимум пайваста самт иваз мекунад.

Ин рафтор махсусан дар масъалаҳои бадшартшуда, ки Hessian дар самтҳои гуногун каҷшавиҳои хеле фарқкунанда дорад, яке аз сабабҳои асосии суст шудани SD мебошад.

Усули Conjugate Gradient аз SD Чӣ Фарқ Дорад?

Conjugate Gradient ба ҷойи истифодаи танҳо градиенти манфии ҷорӣ, аз самти ҷустуҷӯи қаблӣ низ маълумот нигоҳ медорад; ба ин васила мекӯшад буридани такрории як водии оптимизатсияро аз ҷониби самтҳои пайдарпай кам кунад ва махсусан дар масъалаҳои квадратӣ ба минимум самараноктар пеш равад.

Алгоритми CG, ки дар манбаъ истифода шудааст

Самти аввал

\[ d_0=-m_0 \]

интихоб мешавад.

Дарозии қадаме, ки манбаъ истифода мекунад,

\[ \alpha_k= - \frac{m_k^Td_k} {d_k^TH_kd_k} \]

шакл дорад.

Вектори нави тағйирёбанда

\[ x_{k+1}=x_k+\alpha_kd_k \]

ва градиент

\[ m_{k+1}=\nabla f(x_{k+1}) \]

бо он ҳисоб карда мешавад.

Навсозии умумии самти ҷустуҷӯ бошад

\[ d_{k+1} = -m_{k+1}+\beta_kd_k \]

шакл дорад.

Параметри нави beta, ки дар мақола пешниҳод шудааст

Тағйири асосии кор ин аст, ки коэффициенти истифодашаванда дар навсозии самти CG чунин

\[ \beta_k= \frac{ m_{k+1}^{T}H_km_{k+1} }{ d_k^{T}H_km_k } \]

таъриф мешавад.

Ин узв самти нави градиенти манфиро якҷо бо самти ҷустуҷӯи қаблӣ ба самти навбатии \(d_{k+1}\) табдил медиҳад.

Манбаъ иддао мекунад, ки \(\beta_k\)-и нав самаранокии усули CG-ро зиёд мекунад. Аммо ин иддао дар мақола танҳо бо се функсияи санҷишии ду-тағйирёбанда санҷида шудааст.

Чаро иддаои наздикшавии глобалӣ бояд эҳтиёткорона хонда шавад?

Дар кор барои CG-и нав шарти фуруд ба шакли

\[ m_k^Td_k \leq -c\|m_k\|^2, \qquad c>0 \]

муҳокима мешавад.

Дар қадами муҳими исбот истифода мешавад, ки дар натиҷаи exact line search

\[ m_{k+1}^Td_k=0 \]

аст ва аз ин натиҷа

\[ m_{k+1}^Td_{k+1} = -\|m_{k+1}\|^2 \]

ба даст меояд.

Аммо дар функсияҳои умумии ғайрихаттӣ ифодаи тавассути Hessian ҳисобшудаи

\[ \alpha_k= - \frac{m_k^Td_k}{d_k^TH_kd_k} \]

дар ҳама ҳолат бо exact line search-и воқеӣ яксон нест. Дар функсияҳои квадратӣ ин сохтор бо ҷустуҷӯи хаттии дақиқ хеле табиӣ мувофиқ меояд; дар функсияҳои ҳадафи умумии ғайрихаттӣ бошад фарзияҳои иловагӣ лозим мешаванд.

Аз ин рӯ аргументи наздикшавии дар манбаъ додашуда набояд ҳамчун кафолати умумии наздикшавии глобалӣ, мустақил аз шарти exact-line-search-и зикршуда, тафсир карда шавад.

Усул ва Натиҷаҳои Кор

Тарҳи таҷрибавии MATLAB

Муаллифон алгоритмҳои SD ва CG бо параметри нави \(\beta_k\)-ро дар муҳити MATLAB 2024 дар се функсияи ду-тағйирёбанда иҷро кардаанд.

Дар муқоиса асосан се миқдор гузориш шудааст:

• шумораи итератсияҳои зарурӣ барои наздикшавӣ,
• арзишҳои бадастомадаи \(x_k\) ва \(f(x_k)\),
• вақти иҷро, аз ҷумла сохтани график.

Мисол 1: Функсияи конвекс бо узви экспоненсиалӣ

Функсияи аввал

\[ f(x_1,x_2) = x_1^2+x_2^2+e^{-x_1} \]

ва нуқтаи ибтидоӣ

\[ x_0=(0,0)^T \]

интихоб шудааст.

Азбаски таҳаммулпазирӣ

\[ \text{tol}=0.1 \]

аст, ҳар ду алгоритм пас аз навсозии аввал тақрибан дар нуқтаи

\[ x=(0.333333,0)^T \]

бозистодаанд.

Манбаъ дар ин нуқта

\[ f(x)\approx0.827642 \]

ва

\[ \|\nabla f(x)\| \approx0.049865 \]

гузориш мекунад.

Аммо дар ин ҷо таъсири таҳаммулпазирӣ хеле равшан аст. Шарти минимуми воқеӣ

\[ 2x_1-e^{-x_1}=0, \qquad x_2=0 \]

мебошад, бинобар ин

\[ x_1e^{x_1}=\frac12 \]

ва дар натиҷа

\[ x_1=W(1/2) \approx0.351734 \]

ба даст меояд.

Арзиши минимуми воқеӣ тақрибан

\[ f_{\min}\approx0.827184 \]

мешавад.

Ин муқоиса нишон намедиҳад, ки натиҷаҳои манбаъ нодурустанд; балки нишон медиҳад, ки бинобар таҳаммулпазирии нисбатан суст, ба мисли \(0.1\), алгоритм пеш аз расидан ба нуқтаи стационарии воқеӣ меъёри муваффақиятро иҷро кардааст.

Мисол 2: Сатҳи квадратии мусбат муайян

Функсияи ҳадафи дуюм

\[ f(x_1,x_2) = x_1^2+x_2^2+x_1x_2+4x_2 \]

шакл дорад.

Азбаски градиент

\[ \nabla f= \begin{bmatrix} 2x_1+x_2\\ x_1+2x_2+4 \end{bmatrix} \]

аст, нуқтаи пурраи стационарӣ аз системаи муодилаҳои

\[ 2x_1+x_2=0 \]

ва

\[ x_1+2x_2+4=0 \]

ёфт мешавад:

\[ x^\ast= \left( \frac43, -\frac83 \right). \]

Hessian

\[ H= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \]

мусбат муайян аст. Аз ин рӯ ин нуқта минимуми глобалии ягона мебошад ва

\[ f(x^\ast) = -\frac{16}{3} \approx-5.333333 \]

ба даст меояд.

SD дар зери таҳаммулпазирии \(0.01\) дар 10 итератсия ба

\[ x_9 \approx (1.328125,-2.66406) \]

ва

\[ f(x_9)\approx-5.333313 \]

расидааст.

CG бо \(\beta_k\)-и нав бошад дар 9 итератсия

\[ x_8 \approx (1.3298,-2.6651) \]

ва

\[ f(x_8)\approx-5.333324 \]

натиҷа додааст.

Дар ин мисол CG воқеан аз SD як итератсия камтар истифода кардааст ва дар ҳамон таҳаммулпазирӣ арзиши функсияро каме наздиктар ба минимуми пурра додааст.

Бо вуҷуди ин, вақтҳои ченшуда самти баръакс доранд:

\[ t_{\mathrm{SD}} = 0.633336\ \mathrm{s} \]

ва

\[ t_{\mathrm{CG}} = 0.956773\ \mathrm{s}. \]

Аз ин рӯ дар ин таҷрибаи хурди MATLAB “итератсияи камтар” мустақиман маънои “вақти иҷрои кӯтоҳтар”-ро надодааст.

Мисол 3: Марзи муҳими математикӣ

Функсияи ҳадафи сеюм

\[ f(x_1,x_2) = 5x_1^2+5x_2^2-8x_2-e^{x_1} \]

таъриф шудааст.

Манбаъ хабар медиҳад, ки бо SD тақрибан ба

\[ (0.111686,0.8) \]

дар чор итератсия ва бо CG-и нав тақрибан ба

\[ (0.1118,0.7997) \]

дар се итератсия расида шудааст.

Дар ҳар ду ҳолат

\[ f(x) \approx-4.255793 \]

ба даст омадааст.

Аммо вақте ба рафтори глобалии функсия нигоҳ мекунем, мебинем, ки узви

\[ 5x_1^2-e^{x_1} \]

барои \(x_1\rightarrow+\infty\) ба

\[ -\infty \]

меравад. Аз ин рӯ

\[ \inf f=-\infty \]

ва ин функсия дар тамоми \(\mathbb{R}^2\) минимуми глобалӣ надорад.

Шартҳои градиентӣ

\[ 10x_1-e^{x_1}=0 \]

ва

\[ 10x_2-8=0 \]

медиҳанд.

Ҳалли стационарии наздик ба нуқтаи ибтидоии \(x_0=(0,0)^T\) тақрибан

\[ x_1\approx0.111833, \qquad x_2=0.8 \]

аст ва Hessian дар ин минтақа мусбат муайян мебошад. Аз ин рӯ нуқтае, ки MATLAB ба он расидааст, як минимуми маҳаллии воқеист.

Ин фарқ муҳим аст: алгоритмҳо метавонанд дар минтақаи ибтидоии худ ба минимуми маҳаллӣ бомуваффақият наздик шуда бошанд; аммо ин таҷриба набояд ҳамчун муваффақияти минимизатсияи глобалӣ пешниҳод шавад.

Аз ҷиҳати шумораи итератсияҳо натиҷа чист?

Пас, натиҷаи “CG итератсияҳои камтар талаб мекунад”, ки дар манбаъ гуфта шудааст, дар ду мисоли баррасишуда дуруст аст; дар мисоли аввал ду усул баробаранд.

Аз ҷиҳати вақти кор натиҷа чист?

Вақте дар манбаъ вақтҳо бо графикҳо якҷо муқоиса мешаванд, дар ҳар се мисол SD кӯтоҳтар ба назар мерасад:

Бо вуҷуди ин, мақола намегӯяд, ки вақтҳо чанд маротиба такрор шудаанд, хусусиятҳои протсессор чӣ буданд, таъсири JIT warm-up чӣ қадар буд, саҳми вақти plotting чӣ буд ё вариатсияи ченкуниҳои вақт чӣ гуна аст. Ин ченкуниҳои ягона дар миқёси миллисония–сония набояд ҳамчун benchmark-и қавӣ барои мураккабии умумии ҳисоббарории усулҳо истифода шаванд.

Оё beta-и нав воқеан самараноктар аст?

Таҷрибаҳои манбаъ нишон медиҳанд, ки навсозии пешниҳодшудаи CG дар санҷишҳои дуюм ва сеюм ба таҳаммулпазирии додашуда як итератсия пештар аз SD расидааст. Ин барои усул як натиҷаи мусбати ибтидоӣ аст.

Аммо барои қавӣ санҷидани иддаои самаранокии умумӣ ҳадди ақал масъалаҳои санҷишии баландандоза, condition number-ҳои гуногун, функсияҳои nonconvex benchmark, нуқтаҳои ибтидоии гуногун, таҳаммулпазириҳои дигар ва муқоисаҳои мустақим бо навсозиҳои устуворшудаи nonlinear-CG, ба мисли Fletcher–Reeves, Polak–Ribière–Polyak ё Hager–Zhang, лозиманд.

Ин муқоисаҳо дар кори манбаъ анҷом дода нашудаанд.

Натиҷаҳое, ки кор дастгирӣ мекунад

• Алгоритмҳои SD ва CG бо параметри нави \(\beta_k\) бо MATLAB татбиқ шудаанд.
• Дар ҳар се мисоли манбаъ алгоритмҳо аз нуқтаи ибтидоии интихобшуда ба минтақаи стационарӣ пеш рафтаанд.
• Дар Мисол 1 SD ва CG шумораи якхелаи итератсияҳоро истифода кардаанд.
• Дар Мисолҳои 2 ва 3 CG-и нав аз SD як итератсия камтар истифода карда, шарти таҳаммулпазириро иҷро кардааст.
• Дар ҳар се таҷрибаи манбаъ runtime-и гузоришшуда бо графикҳо барои SD кӯтоҳтар аст.
• Дар Мисол 2 ҳар ду алгоритм натиҷаи хеле наздик ба минимуми глобалии маълум додаанд.
• Дар Мисол 3 ҳар ду алгоритм ба минтақаи минимуми маҳаллии наздик ба нуқтаи ибтидоӣ наздик шудаанд.

Натиҷаҳое, ки кор исбот намекунад

• Нишон дода нашудааст, ки CG бо \(\beta_k\)-и нав дар ҳамаи масъалаҳои nonlinear unconstrained optimization аз SD бартарӣ дорад.
• Нишон дода нашудааст, ки итератсияи камтар вақти кӯтоҳтари кор медиҳад; натиҷаҳои манбаъ баръакси онро нишон медиҳанд.
• Танҳо се мисоли ду-тағйирёбанда далели миқёспазирии баландандоза нест.
• Маълумоти runtime benchmark-и такрории оморӣ нест.
• Дар Мисол 3 минимуми глобалӣ ёфт нашудааст; функсия аз поён бемаҳдуд аст.
• Аргументи global convergence, ки бе фарзияи exact line search дода мешавад, ба ҳамаи функсияҳои ҳадафи nonlinear мустақиман умумӣ карда намешавад.
• Манбаъ \(\beta_k\)-и навро дар benchmark-и систематикӣ бо формулаҳои асосии муосири nonlinear-CG муқоиса намекунад.

Ёддошти Манбаъ ва Усул

Сарлавҳаи пурраи аслӣ:Using MATLAB for Steepest Descent Algorithm (SD) with Conjugate Gradient Algorithm (CG) For Minimizing Unconstrained problems.

Муаллифон: Huda H. Al-Zobiadi ва Adawiya A. Mahmood Al-Nuaimi.

Муассиса: Department of Mathematics, College of Science, University of Diyala, Diyala, Iraq.

Журнал: Academic Science Journal (ASJ).

Ҷилд / шумора / саҳифаҳо: Vol. 4, No. 2, 94–103.

DOI: 10.24237/04.02.871.

Ирсол / бозбинӣ / қабул / нашр: 29 декабр 2025 / 7 январ 2026 / 11 март 2026 / 30 апрел 2026.

Доварӣ: Academic Science Journal истифодаи доварии дуҷонибаи кӯрро хабар медиҳад.

Иҷозатнома: CC BY 4.0.

Усул: Татбиқи алгоритмҳои Steepest Descent ва Conjugate Gradient бо параметри тағйирёфтаи \(\beta_k\) дар се функсияи ҳадафи дуандозаи nonlinear бо MATLAB 2024 ва муқоисаи шумораи итератсия, арзиши тахминии минимум ва вақти иҷро.

Маблағгузорӣ: Манбаъ изҳороти “No funding” медиҳад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон набудани бархӯрди манфиатҳоро баён мекунанд.

Этика: Азбаски кор ба соҳаи математикаи назариявӣ тааллуқ дорад, гуфта шудааст, ки тасдиқи кумитаи этикӣ лозим нест.

Ёддошти санҷиши математикӣ: Нуқтаи дар манбаъ барои Мисол 1 додашудаи \(x=(0.333333,0)\) нуқтаи бозистии барвақт аст, ки аз сабаби \(tol=0.1\) пайдо мешавад; минимуми пурраи стационарии функсия тақрибан \(x=(0.351734,0)\) мебошад. Минимуми пурраи глобалии Мисол 2 \((4/3,-8/3)\) ва \(f=-16/3\) аст. Мисол 3 бошад барои \(x_1\rightarrow+\infty\) дорои \(f\rightarrow-\infty\) аст, бинобар ин минимуми глобалӣ надорад; нуқтаи тахминии \((0.1118,0.8)\), ки дар манбаъ ёфт шудааст, минимуми маҳаллӣ аст.

Ёддошти наздикшавӣ: Исботи CG descent дар манбаъ ортогоналияти exact-line-search-ро истифода мекунад. Азбаски исбот нашудааст, ки формулаи қадами Hessian-бунёди дар татбиқ истифодашуда дар ҳамаи функсияҳои умумии nonlinear ҳамеша exact line search аст, иддаои global convergence бояд бо дарназардошти ин фарзия хонда шавад.

Verianla Live: Хеле мувофиқ аст. Азбаски се функсияи ҳадаф мустақиман дар шакли математикӣ дода шудаанд, роҳҳои SD ва CG-ро метавон аз нав ҳисоб кард. Қавитарин Live Figure ин аст, ки дар ҳамон сатҳи сеандоза роҳҳои SD-и норанҷӣ ва CG-и кабуд бо арзишҳои \(x_k\), \(\|\nabla f(x_k)\|\), \(\alpha_k\), \(\beta_k\) ва \(f(x_k)\) дар ҳар қадам якҷо нишон дода шаванд. Дар Мисол 3 инчунин ҳангоми васеъ кардани майдони камера нишон додан мумкин аст, ки сатҳ дар самти \(x_1\) аз поён бемаҳдуд мешавад ва фарқи “минимуми маҳаллӣ ≠ минимуми глобалӣ” ба таври омӯзанда шарҳ дода шавад.