Таҳқиқот ҳадаф дорад амалҳои бузургҳаҷми матритса-вектор ва матритса-матритсаро дар зери рамзгузории гомоморфӣ ба ҷойи иҷрои мустақим ҳамчун силсилаи амалиёти мураккаби рамзшуда ба ҳисобҳои алгебраи хаттии матни кушодаи баландсамар табдил диҳад. Дар маркази кор робитаи байни низоми рамзгузории пурраи гомоморфии CKKS, ки арифметикаи тахминии ададҳои ҳақиқиро дастгирӣ мекунад, ва китобхонаҳои BLAS (Basic Linear Algebra Subroutines), ки даҳсолаҳо оптимизатсия шудаанд, қарор дорад. Муаллифон бо истифода аз шаклҳои гуногуни рамзгузории RLWE, MLWE, shared-a ва RGSW алгоритмҳое месозанд, ки қисми муҳими амалҳои plaintext–ciphertext, ciphertext–plaintext ва ciphertext–ciphertext-ро ба зарбҳои стандартии матритса табдил медиҳанд. Дар озмоишҳо бо HEaaN ва OpenBLAS онҳо гузориш медиҳанд, ки дар баъзе сенарияҳои матритсаҳои калони квадратӣ талафи ҳисоббарории зарби матритсаи рамзшудаи CKKS нисбат ба зарби матритсаи кушодаи double-precision floating-point метавонад то тақрибан 4–12 маротиба паст карда шавад. Ин нисбат ба алгоритм, андоза, шакли рамзгузорӣ ва шароити пешҳисоб вобаста аст; он меъёри умумӣ барои ҳамаи ҳисобҳои гомоморфӣ нест.

Ғояи асосӣ кушодани маълумоти рамзшуда ва додани он ба BLAS нест. Маълумот рамзшуда мемонад. Муҳаққиқон сохтори матритсаи рамзшудаи RLWE-ро ба таври алгебравӣ аз нав ифода мекунанд ва қисми зиёди зарби матритсаи рамзшударо бе дастрасӣ ба худи паёми рамзшуда ба зарбҳои стандартии ададии матритса табдил медиҳанд. Бо ин роҳ истифодаи тарҳҳои ҳисоббарорӣ ва дастрасии хотираи BLAS, ки барои CPU ва GPU солҳои зиёд оптимизатсия шудаанд, ҳадаф мегардад.

Дар чаҳорчӯбаи пешниҳодшуда зарби plaintext–ciphertext дар баъзе ҳолатҳо ба ду зарби стандартии plaintext, ва агар пешҳисоб имконпазир бошад, дар марҳилаи онлайн то як зарби ягонаи plaintext кам мешавад. Зарби ciphertext–ciphertext барои матритсаҳои калони квадратӣ ба чор зарби модулӣ plaintext ва транспозитсияҳои матритсаи рамзшуда ҷудо мешавад. Усули умумитари RGSW андозаҳо ва шаклҳои гуногуни рамзгузориро дастгирӣ мекунад, вале арзиши собити баландтар дорад.

Озмоишҳо бо HEaaN, OpenBLAS 0.3.26 ва протсессори якриштаи Intel Xeon Gold 6342 2,80 GHz иҷро шудаанд; вақтҳо миёнаи 10 иҷро мебошанд. Параметрҳо мувофиқи lattice estimator тақрибан 128 бит амният медиҳанд. Аз ин рӯ натиҷаҳо нишон медиҳанд, ки алгебраи хаттии гомоморфӣ метавонад дар амал суръат дода шавад; аммо онҳо набояд ҳамчун натиҷаи мустақими CPU бисёрядра, GPU ё inference-и пурраи модели забонии бузурги ҳифзкунандаи махфият хонда шаванд.

Арзёбӣ аз нигоҳи Тоҷикистон/Туркия: Кор барои гурӯҳҳои илмӣ ва муҳандисие, ки дар криптография, махфияти маълумот, ҳисоббарории абрии бехатар ва зеҳни сунъии ҳифзкунандаи махфият кор мекунанд, методи муҳим пешниҳод мекунад. Табдили амалҳои калони матритса ба экосистемаи BLAS нишон медиҳад, ки пеш аз сохтани сахтафзори махсуси гомоморфӣ аз инфрасохтори мавҷудаи CPU/GPU барои алгебраи хаттӣ истифода бурдан мумкин аст. Аммо таҳқиқот ягон маркази маълумот, барнома ё муҳити ҳуқуқии мушаххасро намесанҷад; бинобар ин натиҷаи мустақими самаранокии инфрасохтор ё арзиши татбиқ бароварда намешавад.

Чаро рамзгузории гомоморфӣ муҳим аст?

Дар рамзгузории маъмулӣ барои ҳисоб кардан рӯи маълумот, аксар вақт маълумот аввал бояд кушода шавад. Ҳадафи рамзгузории гомоморфӣ он аст, ки сервер бе дидани шакли кушодаи маълумот рӯи маълумоти рамзшуда ҳисоб кунад. Пас аз анҷоми ҳисоб натиҷа низ рамзшуда ба корбар бармегардад ва онро танҳо тарафе мекушояд, ки калиди мувофиқ дорад.

Ин хусусият барои ҳолатҳое муҳим аст, ки соҳиби маълумот намехоҳад маълумоти хоми худро ба сервери ҳисоббарор диҳад. Дар таҳқиқот inference-и зеҳни сунъии ҳифзкунандаи махфият, private information retrieval, ҷустуҷӯи тахминии вектор, таҳлили федеративии principal component analysis ва арзёбии хусусии моделҳои забонии бузург ҳамчун мисол оварда мешаванд.

Чаро зарби матритса гулӯгоҳи ҳисоббарорӣ мешавад?

Қисми зиёди системаҳои омӯзиши мошинӣ ва ҳисоббарории илмӣ ба зарбҳои матритса-вектор ва матритса-матритса такя мекунад. Дар ҷаҳони матни кушода ин амалҳо бо китобхонаҳои пухтаи BLAS хеле самаранок иҷро мешаванд. Аммо дар рамзгузории гомоморфии RLWE як ciphertext танҳо як адад нест, балки сохтори полиномӣ мебошад, ки арзишҳои зиёдро якҷоя мебарад.

Барои аз нав ҷойгир кардани маълумоти рамзшуда дар чунин сохтор key-switching, автоморфизми гомоморфӣ ва амалиёти монанд лозим мешавад. Муаллифон таъкид мекунанд, ки дар бисёр усулҳои пешина шумораи key-switching вақти иҷрои амалиро ҳукмронӣ мекунад ва намунаҳои мураккаби дастрасӣ ба хотира оптимизатсияро душвор месозанд.

Саволи асосӣ чунин аст: Оё мумкин аст қисми асосии ҳисоббарории зарби матритсаи рамзшударо бе кушодани рамз ба масъалаи стандартии алгебраи хаттии матни кушода табдил дод?

BLAS чист ва дар ин кор чаро истифода мешавад?

BLAS ихтисораи Basic Linear Algebra Subroutines аст. Он интерфейсҳои стандартии барномасозиро барои амалҳои асосии алгебраи хаттӣ, аз ҷумла зарби матритса-вектор ва матритса-матритса, муайян мекунад. Дар ин кор хусусан routine-ҳои dgemm ва dgemv истифода мешаванд.

Арзиши BLAS танҳо коди тез будан нест. Он барои cache-и CPU, дастурҳои векторӣ, параллелизм ва GPU солҳои зиёд оптимизатсия шудааст. Вақте ки амалҳои гомоморфӣ ба даъватҳои BLAS оварда мешаванд, ин таҷрибаи оптимизатсия бевосита истифода мегардад.

Чаро CKKS интихоб шудааст?

Кор ба CKKS диққат медиҳад. CKKS арифметикаи тахминии ададҳои ҳақиқӣ ва комплексиро дастгирӣ мекунад ва қобилияти коркарди параллелии монанд ба SIMD дорад. Ин хусусиятҳо бо алгебраи хаттии ададӣ ва барномаҳои AI мувофиқанд. Азбаски CKKS тахминӣ аст, натиҷаҳо ҳамчун арифметикаи комилан дақиқи ададҳои бутун фаҳмида намешаванд. Манбаъҳои хато аз кодгузории аввалия, хатои криптографии RLWE ва амалиёти rescaling/key-switching меоянд.

Ciphertext-и RLWE чӣ гуна ифода мешавад?

Ciphertext-и асосии RLWE чунин навишта мешавад:

\[ a\cdot sk+b\approx m\pmod q \]

Дар ин ҷо \(a\) ва \(b\) ду ҷузъи полиномии ciphertext, \(sk\) калиди махфӣ, \(m\) паёми рамзшуда ва \(q\) модули ciphertext мебошад. Муҳим он аст, ки ин муносибати полиномӣ ба муносибати матритсавӣ табдил меёбад:

\[ S^{*}A+B\approx \Delta M\pmod q \]

Дар ин ҷо \(M\) матритсаи паём, \(\Delta\) омили scale-и CKKS, \(S^{*}\) намоиши сохтории калиди махфӣ ва \(A\), \(B\) матритсаҳои ҳосилшуда аз ҷузъҳои ciphertext мебошанд.

Plaintext–ciphertext зарби матритса чӣ гуна содда мешавад?

Агар \(M\) бо \[ S^{*}A+B\approx \Delta M \] ифода шавад ва матритсаи кушодаи \(U\) маълум бошад, ду тараф аз рост ба \(U\) зарб мешаванд:

\[ S^{*}(AU)+(BU)\approx \Delta(MU) \]

Ҳамин тавр амали гомоморфии \(M\cdot U\) асосан ба ду зарби матритса, \(A\cdot U\) ва \(B\cdot U\), табдил меёбад. Инҳо худи маълумоти кушодаи корбар нестанд, балки ҷузъҳои алгебравии ciphertext мебошанд.

Шакли shared-a чӣ медиҳад?

Вақте ciphertext-и RLWE ҳамчун ҷуфти \((a,b)\) дида мешавад, шакли shared-a имкон медиҳад якчанд ciphertext як ҷузъи \(a\)-ро муштарак истифода баранд. Дар матритсаҳои калон ин андозаи \(A\)-ро кам мекунад ва қисми гарони зарби матритсаро сабуктар менамояд. Дар мисоли \(2^{14}\times2^{14}\times2^{14}\) CP-MM shared-s тақрибан 400 сония интизор мешуд, дар ҳоле ки structured-S shared-a 176 сония дод; ҳатто бо 60 сония табдили формат ҳам фоида равшан аст.

Дар матритсаҳои хурд чаро MLWE истифода мешавад?

Агар андозаи матритса аз дараҷаи ҳалқаи RLWE, яъне \(N\), хурдтар бошад, packing-и стандартии RLWE бесамар мешавад. Дар ин ҳолат Module Learning With Errors (MLWE) истифода мешавад. Чаҳорчӯба барои \(d<N\), \(d=N\) ва \(d>N\) шаклҳои гуногун, вале бо муодилаҳои матритсавии умумӣ дорад.

Агар пешҳисоб имконпазир бошад, чӣ тағйир меёбад?

Агар матритсаи кушода, масалан матритсаи вазнҳои модели AI, бисёр бор истифода шавад, пешҳисоби offline пешниҳод мешавад. Дар structured-A shared-a муносибати \[ A^{*}S+B\approx \Delta M \] ба \[ A^{*}(SU)+BU\approx \Delta(MU) \] мегузарад. Агар амалиёти калидӣ барои \(S\cdot U\) пешакӣ омода шавад, дар онлайн танҳо \(B\cdot U\) мемонад. Ин фоида танҳо вақте маъно дорад, ки ҳамон матритсаи plaintext такроран истифода шавад.

Чаро транспозитсияи матритсаи рамзшуда масъалаи нав аст?

Транспозитсияи матритсаи кушода аз нав ҷобаҷо кардани маълумот аст. Дар матритсаи рамзшуда гузаштан аз рамзгузории сатрибаин ба сутунбаин автоморфизмҳо ва key-switching талаб мекунад. Алгоритми Ciphertext Matrix Transpose (C-MT) барои матритсаи \(N\times N\) арзиши асимптотикии \[ \widetilde{O}(N^2) \] дорад. Равиши Tweak харҷи \(O(N^3)\)-и усули мустақимро ба сатҳи quasi-quadratic меорад.

Вақти озмоишии транспозитсия чӣ буд?

Ин арзишҳо бо афзоиши quasi-quadratic мувофиқанд. Бо вуҷуди ин, дар натиҷаҳои CC-MM транспозитсия дар андозаҳои санҷидашуда ҳанӯз қисми назарраси вақтро мегирад.

Чаро транспозитсияи “lightweight” таҳия шуд?

Усули аввалини C-MT барои \(N\) автоморфизм \(N\) switching key талаб мекунад ва ҳаҷми калидҳо метавонад калон шавад. Аз ин рӯ усули сабук бо танҳо се switching key пешниҳод мешавад. Як калиди автоморфизм ҳангоми иҷро нав карда шуда, барои табдилҳои гуногун такроран истифода мешавад; мураккабӣ ҳамоно \(\widetilde{O}(N^2)\) мемонад.

Зарби ciphertext–ciphertext чӣ гуна кам карда мешавад?

Ҳангоме ки ҳар ду матритса рамзшудаанд, масъала аз plaintext–ciphertext душвортар аст. Algorithm 8 ду матритсаи RLWE-ро ба шаклҳои мувофиқи сатр ва сутун оварда, зарбро ба чор Mod-PP-MM, се C-MT, амалиёти иловагии \(\widetilde{O}(N^2)\), relinearization ва rescaling ҷудо мекунад.

Усули умумии RGSW чӣ медиҳад?

Algorithm 8 барои матритсаҳои калони квадратӣ самарабахш аст, аммо аз ҷиҳати андоза маҳдуд аст. RGSW-ро ба сатҳи матритса-вектор васеъ карда, алгоритм имкон медиҳад маълумоти дорои дараҷаҳои ҳалқа, андозаҳо ва шаклҳои RLWE/MLWE/shared-a якҷоя коркард шаванд. Амалҳои асосӣ чунинанд:

\[ a'= \left\lfloor \frac{A_1a+A_0b}{p} \right\rceil \]

\[ b'= \left\lfloor \frac{B_1a+B_0b}{p} \right\rceil \]

Модули ёрирасони \(p\) барои назорати афзоиши хатои рамзгузорӣ истифода мешавад.

Хато ва дақиқӣ чӣ гуна баррасӣ мешаванд?

Азбаски CKKS тахминӣ аст, дақиқӣ низ муҳим аст. Algorithm 9 барои хатои болоӣ таҳлил медиҳад. Дар озмоишҳо Algorithm 6 тақрибан 13,4–14,0 bit, Algorithm 8 тақрибан 8,3–9,1 bit ва Algorithm 9 тақрибан 17,2–17,5 bit дақиқӣ нишон медиҳад. Ин фарқ аз буҷети модул, шумораи key-switching ва иҷрои баъзе ҳисобҳо дар модули калонтар \(pq\) вобаста аст.

Зарби модулӣ ба BLAS чӣ гуна табдил мешавад?

Се стратегия истифода мешавад.

Стратегия 1: Ҷудо кардани ададҳо ба қисмҳо

Дар арифметикаи IEEE-754 double ададҳои бутуни хурдтар аз \(2^{53}\) дақиқ ифода мешаванд; бинобар ин ададҳои калон ба блокҳо ҷудо ва бо BLAS зарб мешаванд.

Стратегия 2: Truncation

Азбаски CKKS тахминӣ аст, дар баъзе ҳолатҳо битҳои камаҳамияти ciphertext партофта мешаванд ва қисми муҳим бо double коркард мегардад. Ин тезтар аст, вале хатои иловагии идорашаванда меорад.

Стратегия 3: Modulus switching ва CRT

Модули ciphertext ба ҳосили модулҳои хурдтар табдил ёфта, ҳар зарби хурд ба BLAS супурда мешавад ва натиҷа бо Теоремаи бақияи чинӣ (CRT) якҷоя карда мешавад.

Пайваст бо зеҳни сунъӣ чист?

Дар transformer attention ва feed-forward қабатҳо зарбҳои калони матритса доранд. Дар inference-и ҳифзкунандаи махфият вазнҳои модел метавонанд plaintext ва маълумоти корбар ciphertext бошанд. Аз ин рӯ CP-MM муҳим мешавад. Мақола GPT, BERT ва LLaMA-ро ҳамчун мисол меорад, аммо модели пурраи GPT, BERT ё LLaMA-ро иҷро намекунад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Баъзе амалҳои калони алгебраи хаттии рамзшудаи CKKS/RLWE ба зарбҳои стандартии plaintext оварда мешаванд.
• CP-MM дар шакли мувофиқ ба ду Mod-PP-MM ва бо пешҳисоб дар онлайн ба як PP-MM кам мешавад.
• CC-MM-и калони квадратӣ ба чор Mod-PP-MM ва се транспозитсияи зуд ҷудо мешавад.
• Алгоритми C-MT мураккабии \(\widetilde{O}(N^2)\) дорад.
• Shared-a хароҷоти матритсаҳои калонро кам мекунад.
• RGSW барои андозаҳо ва шаклҳои рамзгузории гуногун чандирӣ медиҳад.
• BLAS ҳисобҳои гомоморфиро ба инфрасохтори мавҷудаи баландсамари алгебраи хаттӣ мепайвандад.
• Дар баъзе ҳолатҳо фарқи иҷро то 4–12 маротиба расонда шудааст.

Натиҷаҳое, ки санҷида нашудаанд

• Ҳамаи амалҳои гомоморфӣ танҳо 4–12 маротиба сусттаранд гуфта намешавад.
• Дар ҳамаи андозаҳо ҳамон суръат исбот нашудааст.
• Озмоиши GPU нест.
• Benchmark-и пурраи LLM inference нест.
• Барномаи воқеии тиббӣ, молиявӣ ё smart-contract санҷида нашудааст.
• Algorithm 8 ё Algorithm 9 барои ҳама ҳолатҳо беҳтарин буданаш исбот нашудааст.

Метод ва натиҷаҳои таҳқиқот

Коҳишҳои асосии алгоритмӣ

Муҳити озмоиш

Algorithm 6: зарби plaintext–ciphertext

Algorithm 8: зарби ciphertext–ciphertext-и квадратӣ

Algorithm 9: равиши умумии RGSW

4–12 маротиба чӣ маъно дорад?

Ин даъво танҳо барои баъзе матритсаҳои калони квадратӣ ва шароити BLAS-кӯшиш дахл дорад. Он маъно надорад, ки ҳамаи барномаҳои FHE, ҳамаи форматҳо, bootstrapping ё моделҳои пурраи AI танҳо 4–12 маротиба сусттаранд.

Бартариҳои кор

• Алгоритми назариявӣ бо HEaaN/OpenBLAS амалӣ шудааст.
• Барои андозаҳои гуногун форматҳои гуногуни рамзгузорӣ пешниҳод мешаванд.
• Ҳисоби рамзшуда ба инфрасохтори пухтаи BLAS пайваст мешавад.
• Хато, дақиқӣ, амният ва вақт якҷоя баррасӣ мешаванд.

Маҳдудиятҳои асосӣ

• Озмоишҳо асосан дар CPU-и якришта гузаронда шудаанд.
• Вақтсанҷии GPU дода нашудааст.
• Матритсаҳо аз тақсимоти uniform сохта шудаанд, на аз маълумоти воқеии барнома.
• Ин benchmark-и пурраи transformer ё LLM inference нест.
• Пешҳисоб танҳо дар ҳолатҳои истифодаи такрории ҳамон матритса арзишманд аст.

Эзоҳи манбаъ ва метод

Номи пурраи кори аслӣ: Fast Homomorphic Linear Algebra with BLAS

Муаллифон: Youngjin Bae, Jung Hee Cheon, Guillaume Hanrot, Jai Hyun Park ва Damien Stehlé.

Муаллифи масъул: Jai Hyun Park.

Муассисаҳо: CryptoLab Inc., Seoul, Republic of Korea; Seoul National University, Seoul, Republic of Korea; CryptoLab Inc., Lyon, France.

Журнали расмӣ: Journal of Cryptology.

Ношир: Springer Nature.

Маълумоти библиографӣ: Journal of Cryptology, 2026, ҷилди 39, мақолаи 25; Volume 39, Issue 3.

DOI:10.1007/s00145-026-09580-x

Санаи нашри расмӣ: 12 майи 2026.

Версияи боршуда: arXiv:2503.16080v2 [cs.CR], 27 апрели 2026.

Навъи манбаъ ва вазъи таҳрирӣ: Файл версияи муаллифии arXiv аст, аммо кор дар Journal of Cryptology ҳамчун мақолаи таҳқиқотӣ нашр шудааст.

Иҷро: Қисмҳои Algorithm 2, 4, 6, 8 ва 9 дар HEaaN амалӣ шудаанд; барои plaintext linear algebra OpenBLAS 0.3.26 истифода шудааст.

Ҳудуди озмоиш: Вақтсанҷиҳо дар Intel Xeon Gold 6342 2,80 GHz бо як ришта гирифта шудаанд; натиҷаи GPU нест.

Ҳудуди амният: Параметрҳо тақрибан 128 bit амният медиҳанд, аммо параметрҳои дигар бояд алоҳида санҷида шаванд.

Ҳудуди дақиқӣ: CKKS тахминӣ аст; натиҷаҳо exact arithmetic нестанд.

Ҳудуди иҷро: Фарқи 4–12 маротиба танҳо ба шароити муайяни матритсаҳои калон дахл дорад ва ба ҳамаи FHE ё AI models умумӣ карда намешавад.

Ҳудуди мундариҷаи илмӣ: Маълумоти техникӣ, вақтҳо, алгоритмҳо ва шарҳҳо ба кори баррасишуда асос ёфтаанд.