FO_LE – Капуто туундусу менен моделденген комменсураттык жана комменсураттык эмес бөлчөк тартиптеги динамикалык системалардын чектүү убакыттагы Ляпунов көрсөткүчтөрүн эсептөө үчүн иштелип чыккан MATLAB рутинасы. Метод мурунку FO_Lyapunov жана FO_NC_Lyapunov тиркемелериндеги классикалык Грам-Шмидт ортогоналдаштыруусун QR негизиндеги кайра ортонормалдаштыруу менен алмаштырат, ал эми кеңейтилген абал-вариация системасын жаңы квадраттык LIL predictor-corrector (болжолдоочу-түзөтүүчү) интегратору менен чечет. Изилдөөдөгү так чечилген бенчмарк LIL_nc классикалык тездетилбеген ABM_nc ыкмасынан ката жана эсептөө убактысы жагынан бир топ жакшыраак экенин; FFT тездетилген fde12_nc2 менен салыштырганда, абсолюттук ката жагынан бир аз артта калганына карабастан, окшош өлчөмдөгү катаны, атаандаштыкка жөндөмдүү убакытты жана бир аз жогору байкалган жакындашуу тартибин сунуштаарын көрсөтөт.

Рабинович-Фабрикант системасындагы тажрыйбалар ошол эле FO_LE рутинасы ар кандай бөлчөк тартиптеги векторлордогу хаотикалык орбита менен асимптотикалык туруктуу режимдерди айырмалай ала турганын көрсөтүп турат. Мисалы, комменсураттык (alpha=0.999) абалында эсептелген спектр болжол менен ((0.1017,;0.0000,;-1.9048)) болуп, эң чоң Ляпунов көрсөткүчүнүн оң болушу изилденген орбитанын хаотикалык жүрүм-турумуна шайкеш келет. Буга карама-каршы, (alpha=(0.6,0.8,0.7)) үчүн эсептелген бардык көрсөткүчтөр терс жана орбита туруктуу тең салмактуулукка жакындайт.

Негизги чечмелөө чеги: Изилдөөдө алынган Ляпунов көрсөткүчтөрү теориялык (tightarrowinfty) чегиндеги абсолюттук асимптотикалык спектрлер эмес, белгилүү бир баштапкы шарттардан өндүрүлгөн сандык орбиталар боюнча эсептелген чектүү убакыттагы жана жергиликтүү жакындашуулар болуп саналат. Мындан тышкары, (h), (h_{mathrm{norm}}), акыркы убакыт (T) жана бөлчөк тартиптеги вектор натыйжалардын сандык ишенимдүүлүгүнө таасир этиши мүмкүн.

Бөлчөк тартиптеги системаларда Ляпунов көрсөткүчү эмне үчүн кыйыныраак эсептелет?

Классикалык динамикалык системаларда баштапкы абалга өтө жакын эки орбитанын убакыттын өтүшү менен бири-биринен ажыроо же бири-бирине жакындашуу ылдамдыгын Ляпунов көрсөткүчтөрү менен сандык түрдө изилдөөгө болот. Эң чоң оң Ляпунов көрсөткүчү кичинекей баштапкы айырмачылыктар орточо эсеп менен экспоненциалдык түрдө өскөн жана баштапкы шарттарга сезгич көз карандылык болгон режимди билдирет.

Бөлчөк тартиптеги системаларда эсептөө татаалыраак; анткени Капуто туундусу системанын өткөнүн интегралдык ядро аркылуу алып жүрөт. Изилдөөдө (0<alpha_i<1) үчүн компонент базасындагы Капуто туундусу

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t) = frac{1}{Gamma(1-alpha_i)} int_0^t frac{x'_i(au)} {(t-au)^{alpha_i}} ,dau \]

катары аныкталат. Бул жердеги интеграл (0)дан учурдагы убакытка чейинки бүт өткөн чакты камтыйт. Ошондуктан, сандык алгоритмдин "учурдагы абал" менен гана иштеши жетиштүү эмес; бөлчөк эс тутумдун (fractional memory) түзүмү сакталышы керек.

Комменсураттык жана комменсураттык эмес деген эмнени билдирет?

Изилдөө

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), qquad i=1,ldots,n_e \]

түрүндөгү көп компоненттүү Капуто системасын карайт. Эгерде

\[ alpha_1=alpha_2=cdots=alpha_{n_e}=alpha \]

болсо, система комменсураттык; бери дегенде эки компоненттин тартиби айырмаланса, комменсураттык эмес катары каралат. FO_LEнин маанилүү аспектилеринин бири - бул эки классты ар кандай негизги алгоритмдер менен эмес, бирдей эсептөө алкагында колдогондугунда.

Вариация системасы эмне үчүн керек?

Ляпунов көрсөткүчүн эсептөө үчүн шилтеме орбитаны гана билүү жетишсиз. Бул орбитанын айланасындагы кичинекей пертурбациялардын кантип өсүп жатканына да көз салуу керек. Бул үчүн (Phi(t)) пертурбация матрицасы колдонулат:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}phi_{ij}(t) = sum_{k=1}^{n_e} frac{partial f_i} {partial x_k} (t,x(t)) phi_{kj}(t), \]

жана баштапкы шарт

\[ Phi(0)=I_{n_e} \]

катары алынат.

Ошентип, баштапкы (n_e) теңдемеси жана (n_e^2) вариация теңдемеси чогуу чечилет. Кеңейтилген система жалпысынан

\[ n_e+n_e^2 \]

теңдемеден турат.

Грам-Шмидттин ордуна эмне үчүн QR колдонулат?

Мурунку FO_Lyapunov рутиналарында пертурбация векторлору классикалык Грам-Шмидт процесси менен ортогоналдаштырылган. Анын ордуна жаңы FO_LE тиркемеси

[ A=QR ]

ажыроосун колдонот. Бул жерде (Q) жаңы ортонормалдуу пертурбация базасын, ал эми жогорку үч бурчтуу (R) матрицасы ошол интеграциялык аралыктагы жергиликтүү узаруу маалыматын алып жүрөт.

Методдо (R) диагоналдык белгилери шайкеш келтирилгенден кийин

\[ z_k=|R_{kk}| \]

алынат жана топтолгон өсүү

\[ s_kleftarrow s_k+log z_k \]

менен жаңыртылат.

LIL predictor–corrector (болжолдоочу-түзөтүүчү) ыкмасы

FO_LEдеги экинчи маанилүү өзгөрүү бул интегратор болуп саналат. Изилдөө мурунку ABM негизиндеги чечүүчүлөрдүн ордуна квадраттык Lagrange Interpolation at the Last step (LIL) predictor–corrector схемасын колдонот.

Болжолдоочу (predictor) баскычы

\[ y^{(p)}_{n+1} = y_0+ frac{h^alpha}{Gamma(alpha+1)} sum_{k=0}^{n} b^{(alpha)}_{n-k}f_k \]

жана

\[ b_j^{(alpha)} = (j+1)^alpha-j^alpha \]

салмактары менен аныкталат.

Андан кийин имплициттүү түзөтүүчү (implicit corrector) өткөн функция баалуулуктарын жана жаңы чекиттеги (f(t_{n+1},y_{n+1})) терминин чогуу колдонот. Комменсураттык эмес системаларда формула компоненттердин негизинде колдонулат жана ар бир теңдеме үчүн өзүнүн (alpha_i) тартибине туура келген салмактар колдонулат.

Так чечилген бенчмарк эмнени көрсөтөт?

Сандык методду сыноо үчүн изилдөө (alpha_1=0.9) жана (alpha_2=0.8) тартиптерине ээ эки өлчөмдүү комменсураттык эмес системаны колдонот:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1=-x_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = -2x_2+ left(x_1-x_{1,e}(t)ight)^2. \]

Баштапкы шарт (x_1(0)=x_2(0)=1) болуп саналат. Так чечим Миттаг-Леффлер функциялары менен белгилүү болгондуктан, ар бир чечүүчүнүн катасын түз эсептөөгө болот:

\[ x_e(t)= egin{bmatrix} E_{alpha_1}(-t^{alpha_1})\ E_{alpha_2}(-2t^{alpha_2}) end{bmatrix}. \]

Ката метрикасы бардык убакыт түйүндөрүндөгү дискреттик максималдуу норма болуп саналат:

\[ E(h)= max_n |x_n-x(t_n)|_infty. \]

Бенчмарктын эң таң калыштуу натыйжасы: классикалык ABMдин баасы

Эң жука тор болгон (h=0.000625) үчүн булак таблицасы төмөнкү баалуулуктарды берет:

• LIL_nc: ката (1.77imes10^{-6}), CPU 0.05995 с, байкалган тартип 1.60.
• fde12_nc2: ката (1.71imes10^{-6}), CPU 0.03252 с, байкалган тартип 1.57.
• ABM_nc: ката (6.52imes10^{-4}), CPU 6.16438 с, байкалган тартип 0.80.

Бул учурда fde12_nc2 абсолюттук ката жана иштөө убактысы жагынан LIL_ncге караганда бир аз жакшыраак натыйжа берет. Ошондуктан булак LIL_nc оптималдаштырылган FFT негизиндеги fde12_nc2ни абсолюттук мааниде "жеңет" деген жыйынтыкты колдобойт. Изилдөө колдогон кылдат чечмелөө – бул LIL_nc ошол эле ката тартибинде атаандаштыкка жөндөмдүү экендиги жана бир аз жогору байкалган жакындашуу тартибин көрсөтөт.

Рабинович-Фабрикант системасы менен хаос жана туруктуулук

FO_LE андан кийин үч өзгөрмөлүү бөлчөк Рабинович-Фабрикант системасында сыналат:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1 = x_2(x_3-1+x_1^2)+ax_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = x_1(3x_3+1-x_1^2)+ax_2, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_3}x_3 = -2x_3(b+x_1x_2), \]

жана изилдөөдө (a=-1), (b=-0.1) тандалат.

Тең салмактуулук чекиттери

\[ E_0=(0,0,0) \]

менен болжол менен

\[ E_pm=(pm0.1479,;pm0.6759,;1.1969) \]

катары берилет.

Үч бөлчөк тартиптеги конфигурация, үч башка сандык көрүнүш

Эмне үчүн үчүнчү мисал "мезгилдүү" деп аталбайт?

(alpha=(0.85,0.965,0.999)) абалында булак орбитанын визуалдык түрдө мезгилдүү болуп көрүнүшү мүмкүн экенин өзгөчө баса белгилейт. Бирок Капуто туундусу менен моделденген автономдуу бөлчөк тартиптеги (fractional-order) системаларда туруктуу эмес чыныгы мезгилдүү чечимдердин жоктугуна байланыштуу теориялык натыйжадан улам изилдөө бул жүрүм-турумду "apparently" (сыягы) же "numerically periodic" (сандык жактан мезгилдүү) деп чектейт.

Бул айырмачылык илимий жактан маанилүү: фазалык графиктин жабык ийри сызыкка окшош болушу өзүнчө чыныгы математикалык мезгилдүүлүктүн далили эмес.

hnorm эмне үчүн критикалык?

h интеграция кадамы LIL_nc чечүүчүсүнүн убакыт чечилишин аныктаса, hnorm пертурбация матрицасы канча убакыт бирдигинде QR менен кайра ортонормалдаштырыларын аныктайт.

Изилдөөгө ылайык, эгерде hnorm өтө чоң тандалса, пертурбация векторлору QR процессине чейин бири-бирине өтө жакындап, сандык шарттуулук бузулушу мүмкүн. Ал эми өтө кичине тандалганда кайра ортонормалдаштыруу өтө тез жасалып, чектүү убакыттагы узаруу маалыматы анча маанилүү эмес болуп калышы мүмкүн.

Булакта универсалдуу оптималдуу hnorm формуласы берилген эмес. Жүргүзүлгөн тажрыйбаларда (h=0.01) үчүн болжол менен (h_{mathrm{norm}}=0.2) мааниси колдонулган мисалдар боюнча туруктуулук, ырааттуулук жана эсептөө баасынын ортосундагы ылайыктуу тең салмактуулукту камсыз кылганы белгиленет.

Изилдөө колдогон натыйжалар

• FO_LE комменсураттык жана комменсураттык эмес Капуто системалары үчүн бирдей Ляпунов көрсөткүчүн эсептөө алкагын сунуштайт.
• Классикалык Грам-Шмидттин ордуна QR негизиндеги кайра ортонормалдаштырууну (reorthonormalization) колдонот.
• Кеңейтилген абал-вариация системасын LIL/LIL_nc predictor–corrector ыкмасы менен бириктирет.
• Так чечилген бенчмаркта LIL_nc классикалык ABM_ncге караганда бир топ төмөн катаны жана иштөө убактысын сунуштайт.
• LIL_nc FFT тездетилген fde12_nc2 менен бирдей ката өлчөмүнүн тартибинде атаандаштыкка жөндөмдүү жана бул тажрыйбада бир аз жогору байкалган жакындашуу тартибин камсыз кылат.
• Рабинович-Фабрикант мисалдарында ар кандай баштапкы/тартип түзүмдөрүнө каршы ар кандай чектүү убакыттагы Ляпунов спектрлерин эсептөөгө болот.
• Кайталанган QR кадамдары изилдөө кабыл алган импульсивдүү формулация (impulsive formulation) алкагында бөлчөк эс тутумунун принцибин (fractional memory) сактоо үчүн иштелип чыккан.

Изилдөө колдобогон же далилдебеген натыйжалар

• FO_LE менен эсептелген ар бир Ляпунов спектри чыныгы (tightarrowinfty) асимптотикалык спектр менен так барабар экенин далилдебейт.
• Жалгыз оң сандык LE начар тандалган чечим параметрлеринен көз карандысыз абсолюттук хаостун далили экенин айтпайт.
• LIL_nc бардык бөлчөк дифференциалдык теңдеме көйгөйлөрүндө fde12_nc2ге караганда туурараак же тезирээк экенин көрсөтпөйт.
• (h_{mathrm{norm}}=0.2) маанисин бардык системалар үчүн универсалдуу оптимум катары сунуштабайт.
• Сандык жактан жабык көрүнгөн фазалык орбитаны автоматтык түрдө чыныгы мезгилдүү чечим катары кабыл албайт.
• Изилдөөдөгү жалгыз Рабинович-Фабрикант мисалдар үй-бүлөсү бардык бөлчөк хаотикалык системаларды билдирерин көрсөтпөйт.

Түркия үчүн илимий колдонуу чөйрөсү

Изилдөө Түркияга тиешелүү маалыматтарды же тиркемелерди камтыбайт. Ошого карабастан, MATLAB негизинде сызыктуу эмес динамикалык система, башкаруу, электр-электроника, механикалык системалар же бөлчөк эсептөө (fractional calculus) изилдөөлөрүн жүргүзгөн академиялык топтор үчүн FO_LEнин ачык алгоритмдик түзүмү, өзгөчө кайталап өндүрүү жагынан бааланышы мүмкүн. Түркиядагы ар кандай аппараттык камсыздоо жана MATLAB версияларында CPU убакыттары, толеранттуулукту тандоо жана узак убакыт жүрүм-туруму өзүнчө тастыкталышы керек; булакта билдирилген ылдамдык баалуулуктарын жергиликтүү системаларга түздөн-түз өткөрүү илимий жактан туура эмес болот.

Изилдөөнүн методу жана табылгалары

Математикалык көйгөй

Изилдөөнүн негизги баштапкы нарк көйгөйү

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), quad x(0)=x_0, quad 0<alpha_i<1 \]

түрүндө. Ляпунов эсеби үчүн шилтеме орбитага кошумча катары Якобиан негизиндеги вариация системасы чечилет.

Benettin–QR иш процесси

1. Баштапкы пертурбация матрицасы (I_{n_e}) катары түзүлөт.
2. Баштапкы система менен вариация системасы бириктирилет.
3. Кеңейтилген система (h_{mathrm{norm}}) узундугундагы убакыт аралыгында LIL_nc менен интеграцияланат.
4. Вариация блогу (Phi) матрицасы катары чыгарылат.
5. (Phi=QR) ажыроосу жасалат.
6. (R) диагоналдык баалуулуктарынан (z_k=|R_{kk}|) эсептелет.
7. (s_kleftarrow s_k+log z_k) менен өсүү топтолот.
8. (lambda_k=s_k/(t-t_{mathrm{start}})) менен чектүү убакыттагы Ляпунов көрсөткүчтөрү жаңыртылат.
9. Q матрицасы жаңы пертурбация базасы катары кеңейтилген абалга кайра жайгаштырылат.
10. Акыркы убакытка жеткенге чейин процесс кайталанат.

Так чечилген бенчмарктын толугу

Таблица LIL_nc тор жукартуу учурунда болжол менен 1.60-1.62 тегерегиндеги абдан туруктуу эксперименталдык жакындашуу тартибин көрсөткөнүн билдирет. fde12_nc2 бардык изилденген торлордо бир аз кичине абсолюттук катаны жаратса да, ABM_nc жакындашуу тартиби төмөнүрөөк жана өзгөчө жука торлордо алда канча жогорку CPU баасына ээ.

RF мисалы 1 — комменсураттык хаотикалык режим

\[ alpha_1=alpha_2=alpha_3=0.999 \]

жана баштапкы чекит ((0.1,0.1,0.1)) үчүн булак хаотикалык орбитаны көрсөтүп, болжол менен

[ LE=(0.1017,;0.0000,;-1.9048) ]

натыйжасын билдирет. Эң чоң көрсөткүчтүн оң болушу эсептелген орбитанын хаотикалык мүнөзү менен шайкеш келет.

RF мисалы 2 — комменсураттык эмес туруктуу тең салмактуулук

[ alpha=(0.6,0.8,0.7) ]

абалында жалпы бөлүмдөрдөн (M=10) жана

\[ gamma=frac1{10} \]

алынат. Булактын generalized stability (жалпыланган туруктуулук) эсебинде 21 тамырдын минималдуу абсолюттук аргументи (12.223^circ), ал эми критикалык бурч (9^circ). Ошондуктан тиешелүү (E_pm) тең салмактуулуктары жергиликтүү асимптотикалык туруктуулук шартын канааттандырат.

FO_LE натыйжасы:

[ LE=(-0.0894,;-0.1025,;-2.9471). ]

RF мисалы 3 — жогорку даражалуу generalized characteristic (жалпыланган мүнөздүү) көйгөй

[ alpha=(0.85,0.965,0.999) ]

үчүн (M=1000) болот жана generalized characteristic equation (жалпыланган мүнөздүү теңдеме) 2814 даражадагы полиномго чейин кеңейет. Критикалык бурч болжол менен

\[ heta^ast=frac{pi}{2000}approx0.09^circ \]

катары берилет. Изилдөөдө бардык 2814 тамыр үчүн эң кичине аргумент болжол менен (0.0920^circ) табылып, туруктуулук шарты камсыздалганы белгиленет.

Эсептелген спектр:

[ LE=(-0.0007,;-0.1303,;-1.4903). ]

Маанилүү сандык параметрлер

Булактын өз тажрыйбаларында (h=0.01) үчүн (h_{mathrm{norm}}approx0.2) ылайыктуу практикалык тең салмактуулукту камсыз кылган; узак убакыт эсебинде (Tin[1000,1500]) аралыгы колдонулган RF мисалдары үчүн акылга сыярлык деп табылган. Булар универсалдуу константалар эмес, изилденген көйгөйлөрдүн эмпирикалык тандоолору болуп саналат.

Булак жана метод эскертүүсү

Жүктөлгөн булактагы толук оригиналдуу аталыш: Improved Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems

Автор: Marius-F. Danca.

Мекеме: STAR-UBB Institute, Babeș-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.

Тең салым/тең биринчи автор: Колдонулбайт; изилдөө жалгыз авторлуу.

Жооптуу автор: Жалгыз автор Marius-F. Danca үчүн байланыш электрондук почтасы жүктөлгөн изилдөөдө берилген.

Жүктөлгөн версия: arXiv:2604.09334v1, 10-апрель 2026-жыл.

Жүктөлгөн версиянын түрү: Препринт / макаланын алдын ала версиясы.

Учурдагы жарыялоо абалы: Жүктөлгөн arXiv версиясынан кийин изилдөө рецензияланган International Journal of Bifurcation and Chaos журналында жарыяланган. Ошондуктан, жүктөлгөн PDFтин өзү препринт болгону менен, изилдөө мындан ары препринт статусунда гана эмес.

Жарыяланган версиянын аталышы: Improved Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems. Аталыштагы чоң/кичине тамгалар жана "Fractional-Order" жазылышы жарыяланган библиографиялык жазуудагы формат; жүктөлгөн PDFтин оригиналдуу аталышы унчукпастан өзгөртүлгөн эмес.

Журнал: International Journal of Bifurcation and Chaos.

Басмакана: World Scientific Publishing Company.

Том / чыгарылыш / макала номери: Volume 36, Issue 12, 2650172.

Рецензияланган жарыялоо DOI: 10.1142/S0218127426501725.

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2604.09334.

Жарыяланган жылы: 2026.

Библиографиялык версиянын айырмасы: Жүктөлгөн булак 2026-жылдын 10-апрелиндеги arXiv v1 версиясы. Учурдагы библиографиялык жазуулар изилдөөнүн кийинчерээк кабыл алынып, 2026-жылдын июль айында рецензияланган журнал версиясы катары жарыяланганын көрсөтүүдө. Макаладагы илимий метод, формула, бенчмарк жана сандык натыйжалар жүктөлгөн булак версиясынан өткөрүлгөн; учурдагы журнал маалыматы библиографиялык тастыктоо максатында гана кошулган.

Каржылоо: Жүктөлгөн изилдөөнүн каралган текстинде өзүнчө каржылоо билдирүүсү табылган эмес.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Жүктөлгөн версияда өзүнчө кызыкчылыктардын кагылышы билдирүүсү табылган эмес.

CRediT/автордук салымдар: Жалгыз автордук жүктөлгөн версияда өзүнчө CRediT билдирүүсү жок.

Кодго жетүү: Изилдөө LIL жана FO_LE MATLAB кодун тиркемелерде берет; тез LIL_nc версиясы MATLAB Central File Exchange аркылуу берилгени айтылат. FO_LE үчүн кийинчерээк MATLAB Central жазуусу да түзүлгөн.

Визуалдык колдонуу методу: Бул Verianla макаласындагы SVGлер булак макаланын сүрөттөрүнүн так көчүрмөсү эмес. Формулалар, метод түшүндүрмөлөрү жана ачык билдирилген сандык баалуулуктардын негизинде Verianla үчүн оригиналдуу түрдө кайра чийилген. Булактагы 1-таблицадан алынган сандык SVGлерде булакта берилген маалыматтар гана колдонулган.

Негизги чечмелөө чеги: Эсептелген Ляпунов көрсөткүчтөрү белгилүү бир баштапкы шарт, убакыт аралыгы, интеграция кадамы жана кайра ортонормалдаштыруу аралыгы астында өндүрүлгөн чектүү убакыттагы сандык жакындашуулар. Изилдөөнүн өзү да буларды теориялык асимптотикалык спектр менен бирдей деп кабыл албоо керектигин баса белгилейт.