FO_LE, Caputo törəməsi ilə modelləşdirilmiş kommensurat və qeyri-kommensurat kəsr tərtibli dinamik sistemlərin sonlu zamanlı Lyapunov üslərini hesablamaq üçün təkmilləşdirilmiş bir MATLAB proqramıdır. Metod, əvvəlki FO_Lyapunov və FO_NC_Lyapunov tətbiqlərindəki klassik Gram–Schmidt ortoqonallaşdırmasını QR əsaslı yenidən ortonormallaşdırma ilə əvəz edərkən, genişləndirilmiş vəziyyət-variasiya sistemini yeni kvadratik LIL predictor–corrector inteqratoru ilə həll edir. Tədqiqatdakı dəqiq həlli olan benchmark, LIL_nc-nin klassik sürətləndirilməmiş ABM_nc metodundan həm xəta, həm də hesablama müddəti baxımından nəzərəçarpacaq dərəcədə daha yaxşı olduğunu; FFT sürətləndirilməli fde12_nc2 ilə müqayisədə isə mütləq xəta baxımından bir az geridə qalmasına baxmayaraq, oxşar miqyasda xəta, rəqabətədavamlı müddət və bir qədər daha yüksək müşahidə edilən yığılma tərtibi təqdim etdiyini göstərir.

Rabinovich–Fabrikant sistemi üzərindəki təcrübələr, eyni FO_LE proqramının fərqli kəsr tərtibi vektorlarında xaotik bir trayektoriya ilə asimptotik olaraq dayanıqlı rejimləri ayırd edə bildiyini göstərir. Məsələn, kommensurat (alpha=0.999) halında hesablanan spektr təxminən ((0.1017,;0.0000,;-1.9048)) olub, ən böyük Lyapunov üssünün müsbət olması tədqiq edilən trayektoriyanın xaotik davranışı ilə uyğundur. Buna qarşılıq, (alpha=(0.6,0.8,0.7)) üçün hesablanan bütün üslər mənfidir və trayektoriya dayanıqlı tarazlığa yaxınlaşır.

Əsas şərh məhdudiyyəti: Tədqiqatda əldə edilən Lyapunov üsləri nəzəri (tightarrowinfty) limitindəki mütləq asimptotik spektrlər deyil, müəyyən başlanğıc şərtlərindən yaradılmış ədədi trayektoriyalar boyunca hesablanan sonlu zamanlı və yerli yaxınlaşmalardır. Həmçinin, (h), (h_{mathrm{norm}}), son zaman (T) və kəsr tərtibi vektoru nəticələrin ədədi etibarlılığına təsir edə bilər.

Kəsr tərtibli sistemlərdə Lyapunov üssü nə üçün daha çətin hesablanır?

Klassik dinamik sistemlərdə bir başlanğıc vəziyyətinə çox yaxın iki trayektoriyanın zamanla bir-birindən ayrılma və ya bir-birinə yaxınlaşma sürətini Lyapunov üsləri ilə kəmiyyətcə tədqiq etmək mümkündür. Müsbət ən böyük Lyapunov üssü, kiçik başlanğıc fərqliliklərinin orta hesabla üstlü (eksponensial) şəkildə böyüdüyü və həssas başlanğıc şərti asılılığının olduğu bir rejimə işarə edir.

Kəsr tərtibli sistemlərdə hesablama daha mürəkkəbdir; çünki Caputo törəməsi sistemin keçmişini inteqral nüvəsi vasitəsilə daşıyır. Tədqiqatda (0<alpha_i<1) üçün komponent əsasında Caputo törəməsi

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t) = frac{1}{Gamma(1-alpha_i)} int_0^t frac{x'_i(au)} {(t-au)^{alpha_i}} ,dau \]

olaraq təyin edilir. Buradakı inteqral (0)-dan mövcud zamana qədər bütün keçmişi əhatə edir. Buna görə də ədədi alqoritmin yalnız “mövcud vəziyyət” ilə işləməsi kifayət deyil; fractional memory (kəsr yaddaş) strukturunun qorunması lazımdır.

Kommensurat və qeyri-kommensurat nə deməkdir?

Tədqiqat

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), qquad i=1,ldots,n_e \]

formasındakı çox komponentli bir Caputo sistemini nəzərdən keçirir. Əgər

\[ alpha_1=alpha_2=cdots=alpha_{n_e}=alpha \]

isə, sistem kommensurat; ən azı iki komponentin tərtibi fərqlidirsə, qeyri-kommensurat olaraq qəbul edilir. FO_LE-nin mühüm cəhətlərindən biri, iki sinfi fərqli əsas alqoritmlərlə deyil, eyni hesablama çərçivəsində dəstəkləməsidir.

Variasiya sistemi nə işə yarayır?

Lyapunov üssünü hesablamaq üçün yalnız istinad trayektoriyasını bilmək kifayət deyil. Bu trayektoriya ətrafındakı kiçik perturbasiyaların necə böyüdüyünü də izləmək lazımdır. Bunun üçün (Phi(t)) perturbasiya matrisi istifadə olunur:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}phi_{ij}(t) = sum_{k=1}^{n_e} frac{partial f_i} {partial x_k} (t,x(t)) phi_{kj}(t), \]

və başlanğıc şərti

\[ Phi(0)=I_{n_e} \]

olaraq götürülür.

Beləliklə, orijinal (n_e) tənliklə (n_e^2) variasiya tənliyi birlikdə həll edilir. Genişləndirilmiş sistem ümumilikdə

\[ n_e+n_e^2 \]

tənlikdən ibarət olur.

Gram–Schmidt əvəzinə niyə QR istifadə olunur?

Əvvəlki FO_Lyapunov proqramlarında perturbasiya vektorları klassik Gram–Schmidt prosesi ilə ortoqonallaşdırılırdı. Yeni FO_LE tətbiqi bunun əvəzinə

[ A=QR ]

ayrılışını istifadə edir. Burada (Q) ortonormal yeni perturbasiya bazasını, yuxarı üçbucaqlı (R) matrisi isə həmin inteqrasiya intervalındakı yerli uzanma məlumatını daşıyır.

Metodda (R)-nin diaqonal işarələri uyğun vəziyyətə gətirildikdən sonra

\[ z_k=|R_{kk}| \]

götürülür və toplanan böyümə

\[ s_kleftarrow s_k+log z_k \]

ilə yenilənir.

LIL predictor–corrector yanaşması

FO_LE-nin ikinci mühüm dəyişikliyi inteqratordur. Tədqiqat, əvvəlki ABM əsaslı həlledicilərin əvəzinə kvadratik Lagrange Interpolation at the Last step (LIL) predictor–corrector sxemini istifadə edir.

Predictor mərhələsi

\[ y^{(p)}_{n+1} = y_0+ frac{h^alpha}{Gamma(alpha+1)} sum_{k=0}^{n} b^{(alpha)}_{n-k}f_k \]

və

\[ b_j^{(alpha)} = (j+1)^alpha-j^alpha \]

ağırlıqları ilə təyin edilir.

Ardınca implicit corrector, keçmiş funksiya dəyərlərini və yeni nöqtədəki (f(t_{n+1},y_{n+1})) həddini birlikdə istifadə edir. Qeyri-kommensurat sistemlərdə düstur komponent əsasında tətbiq olunur və hər tənlik üçün öz (alpha_i) tərtibinə uyğun gələn ağırlıqlar istifadə edilir.

Dəqiq həlli olan benchmark nə göstərir?

Ədədi metodu test etmək üçün tədqiqat, (alpha_1=0.9) və (alpha_2=0.8) tərtiblərinə malik ikiölçülü qeyri-kommensurat sistemi istifadə edir:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1=-x_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = -2x_2+ left(x_1-x_{1,e}(t)ight)^2. \]

Başlanğıc şərti (x_1(0)=x_2(0)=1)-dir. Dəqiq həll Mittag–Leffler funksiyaları ilə bilindiyi üçün hər həlledicinin xətası birbaşa hesablana bilir:

\[ x_e(t)= egin{bmatrix} E_{alpha_1}(-t^{alpha_1})\ E_{alpha_2}(-2t^{alpha_2}) end{bmatrix}. \]

Xəta metriki, bütün zaman düyünləri üzərindəki diskret maksimum normadır:

\[ E(h)= max_n |x_n-x(t_n)|_infty. \]

Benchmarkın ən diqqətçəkən nəticəsi: klassik ABM-nin xərci

Ən incə şəbəkə olan (h=0.000625) üçün mənbə cədvəl bu dəyərləri verir:

• LIL_nc: xəta (1.77imes10^{-6}), CPU 0.05995 s, müşahidə edilən tərtib 1.60.
• fde12_nc2: xəta (1.71imes10^{-6}), CPU 0.03252 s, müşahidə edilən tərtib 1.57.
• ABM_nc: xəta (6.52imes10^{-4}), CPU 6.16438 s, müşahidə edilən tərtib 0.80.

Bu nöqtədə fde12_nc2 mütləq xəta və işləmə müddəti baxımından LIL_nc-dən bir qədər daha yaxşı nəticə verir. Buna görə də mənbə, LIL_nc-nin optimallaşdırılmış FFT əsaslı fde12_nc2-ni mütləq mənada “məğlub etdiyi” nəticəsini dəstəkləmir. Tədqiqatın dəstəklədiyi daha diqqətli şərh odur ki, LIL_nc eyni xəta miqyasında rəqabətədavamlıdır və bir qədər daha yüksək müşahidə edilən yığılma tərtibi göstərir.

Rabinovich–Fabrikant sistemi ilə xaos və dayanıqlılıq

FO_LE daha sonra üç dəyişənli kəsr tərtibli Rabinovich–Fabrikant sistemi üzərində sınaqdan keçirilir:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1 = x_2(x_3-1+x_1^2)+ax_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = x_1(3x_3+1-x_1^2)+ax_2, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_3}x_3 = -2x_3(b+x_1x_2), \]

və tədqiqatda (a=-1), (b=-0.1) seçilir.

Tarazlıq nöqtələri

\[ E_0=(0,0,0) \]

ilə təxminən

\[ E_pm=(pm0.1479,;pm0.6759,;1.1969) \]

olaraq verilir.

Üç kəsr tərtibi konfiqurasiyası, üç fərqli ədədi görünüş

Niyə üçüncü nümunəyə “periyodik” deyilmir?

(alpha=(0.85,0.965,0.999)) halında mənbə, trayektoriyanın vizual olaraq periyodikmiş kimi görünə bildiyini xüsusilə vurğulayır. Ancaq Caputo törəməsi ilə modelləşdirilən avtonom fractional-order sistemlərdə sabit olmayan əsl periyodik həllərin olmadığına dair nəzəri nəticəyə görə, tədqiqat bu davranışı “apparently” (görünüşdə) və ya “numerically periodic” (ədədi olaraq periyodik) olaraq məhdudlaşdırır.

Bu fərq elmi baxımdan vacibdir: bir faza qrafikinin qapalı bir əyriyə bənzəməsi təkbaşına əsl riyazi periyodiklik sübutu deyil.

hnorm niyə kritikdir?

h inteqrasiya addımı LIL_nc həlledicisinin zaman icazəsini müəyyən edərkən, hnorm perturbasiya matrisinin neçə zaman vahidində bir QR ilə yenidən ortonormallaşdırılacağını müəyyən edir.

Tədqiqata görə hnorm çox böyük seçilərsə, perturbasiya vektorları QR prosesindən əvvəl bir-birinə həddindən artıq yaxınlaşa bilər və ədədi şərtlilik pozula bilər. Çox kiçik seçildikdə isə yenidən ortonormallaşdırma çox tez-tez edilir və sonlu zamanlı uzanma məlumatı daha az əhəmiyyətli hala gələ bilər.

Mənbədə universal bir optimal hnorm düsturu verilmir. Aparılan təcrübələrdə (h=0.01) üçün təxminən (h_{mathrm{norm}}=0.2) dəyərinin istifadə olunan nümunələr baxımından stabillik, tutarlılıq və hesablama xərci arasında uyğun bir tarazlıq təmin etdiyi bildirilir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• FO_LE-nin kommensurat və qeyri-kommensurat Caputo sistemləri üçün ortaq bir Lyapunov üssü hesablama çərçivəsi təqdim etdiyi.
• Klassik Gram–Schmidt əvəzinə QR əsaslı reorthonormalization (yenidən ortonormallaşdırma) istifadə etdiyi.
• Genişləndirilmiş vəziyyət-variasiya sistemini LIL/LIL_nc predictor–corrector yanaşması ilə birləşdirdiyi.
• Dəqiq həlli olan benchmarkda LIL_nc-nin klassik ABM_nc-dən çox daha aşağı xəta və işləmə müddəti təqdim etdiyi.
• LIL_nc-nin FFT sürətləndirilməli fde12_nc2 ilə eyni xəta böyüklüyü miqyasında rəqabətədavamlı olduğu və bu təcrübədə bir qədər daha yüksək müşahidə edilən yığılma tərtibi təmin etdiyi.
• Rabinovich–Fabrikant nümunələrində fərqli başlanğıc/tərtib strukturlarına qarşı fərqli sonlu zamanlı Lyapunov spektrlərinin hesablana bildiyi.
• Təkrarlanan QR addımlarının tədqiqatın qəbul etdiyi impulsive formulation çərçivəsində fractional memory prinsipini qorumaq üçün dizayn edildiyi.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi və ya sübut etmədiyi nəticələr

• FO_LE ilə hesablanan hər Lyapunov spektrinin həqiqi (tightarrowinfty) asimptotik spektrlə tam olaraq bərabər olduğunu sübut etmir.
• Tək bir müsbət ədədi LE-nin pis seçilmiş həll parametrlərindən asılı olmayan mütləq xaos sübutu olduğunu demir.
• LIL_nc-nin bütün kəsr diferensial tənlik problemlərində fde12_nc2-dən daha dəqiq və ya daha sürətli olduğunu göstərmir.
• (h_{mathrm{norm}}=0.2) dəyərini bütün sistemlər üçün universal optimum olaraq təqdim etmir.
• Ədədi olaraq qapalı görünən bir faza trayektoriyasını avtomatik olaraq əsl periyodik həll kimi qəbul etmir.
• Tədqiqatdakı tək Rabinovich–Fabrikant nümunə ailəsinin bütün kəsr xaotik sistemləri təmsil etdiyini göstərmir.

Azərbaycan baxımından elmi istifadə sahəsi

Tədqiqat Azərbaycana xas məlumat və ya tətbiq ehtiva etmir. Bununla birlikdə, MATLAB əsaslı qeyri-xətti dinamik sistem, idarəetmə, elektrik-elektronika, mexaniki sistemlər və ya fractional calculus (kəsr hesablama) tədqiqatı aparan akademik qruplar baxımından FO_LE-nin açıq alqoritmik strukturu xüsusilə yenidən istehsal edilə bilmə (təkrarlana bilmə) baxımından qiymətləndirilə bilər. Azərbaycandakı fərqli avadanlıq və MATLAB versiyalarında CPU müddətləri, tolerantlıq seçimi və uzun zaman davranışı ayrıca təsdiqlənməlidir; mənbədə bildirilən sürət dəyərlərinin yerli sistemlərə birbaşa köçürülməsi elmi cəhətdən doğru olmaz.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Riyazi problem

Tədqiqatın əsas başlanğıc dəyər problemi

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), quad x(0)=x_0, quad 0<alpha_i<1 \]

formasındadır. Lyapunov hesabı üçün istinad trayektoriyasına əlavə olaraq Jacobian əsaslı variasiya sistemi həll edilir.

Benettin–QR iş axını

1. Başlanğıc perturbasiya matrisi (I_{n_e}) olaraq qurulur.
2. Orijinal sistem ilə variasiya sistemi birləşdirilir.
3. Genişləndirilmiş sistem (h_{mathrm{norm}}) uzunluğundakı bir zaman intervalında LIL_nc ilə inteqrasiya edilir.
4. Variasiya bloku (Phi) matrisi olaraq çıxarılır.
5. (Phi=QR) ayrılışı edilir.
6. (R)-nin diaqonal dəyərlərindən (z_k=|R_{kk}|) hesablanır.
7. (s_kleftarrow s_k+log z_k) ilə böyümə toplanır.
8. (lambda_k=s_k/(t-t_{mathrm{start}})) ilə sonlu zamanlı Lyapunov üsləri yenilənir.
9. Q matrisi yeni perturbasiya bazası olaraq genişləndirilmiş vəziyyətə geri yerləşdirilir.
10. Son zamana çatana qədər proses təkrarlanır.

Dəqiq həlli olan benchmarkın tamamı

Cədvəl, LIL_nc-nin şəbəkə incəltməsi boyunca təxminən 1.60–1.62 ətrafında olduqca sabit bir eksperimental yığılma tərtibi nümayiş etdirdiyini göstərir. fde12_nc2 tədqiq edilən bütün şəbəkələrdə bir qədər daha kiçik mütləq xəta yaradarkən, ABM_nc həm daha aşağı yığılma tərtibinə, həm də xüsusilə incə şəbəkələrdə çox daha yüksək CPU xərcinə malikdir.

RF nümunəsi 1 — kommensurat xaotik rejim

\[ alpha_1=alpha_2=alpha_3=0.999 \]

və başlanğıc nöqtəsi ((0.1,0.1,0.1)) üçün mənbə, xaotik bir trayektoriya göstərir və təxminən

[ LE=(0.1017,;0.0000,;-1.9048) ]

nəticəsini bildirir. Ən böyük üssün müsbət olması bu hesablanan trayektoriyanın xaotik xarakteri ilə uyğundur.

RF nümunəsi 2 — qeyri-kommensurat dayanıqlı tarazlıq

[ alpha=(0.6,0.8,0.7) ]

halında ortaq məxrəclərdən (M=10) və

\[ gamma=frac1{10} \]

əldə edilir. Mənbənin generalized stability hesablamasında 21 kökün minimum mütləq arqumenti (12.223^circ), kritik bucaq isə (9^circ)-dir. Bu səbəbdən müvafiq (E_pm) tarazlıqları yerli asimptotik dayanıqlılıq şərtini ödəyir.

FO_LE nəticəsi:

[ LE=(-0.0894,;-0.1025,;-2.9471). ]

RF nümunəsi 3 — yüksək dərəcəli generalized characteristic problem

[ alpha=(0.85,0.965,0.999) ]

üçün (M=1000) olur və generalized characteristic equation 2814 dərəcəli bir polinoma genişlənir. Kritik bucaq təxminən

\[ heta^ast=frac{pi}{2000}approx0.09^circ \]

olaraq verilir. Tədqiqatda bütün 2814 kök üçün ən kiçik arqument təxminən (0.0920^circ) tapılmışdır və dayanıqlılıq şərtinin ödənildiyi qeyd edilir.

Hesablanan spektr:

[ LE=(-0.0007,;-0.1303,;-1.4903). ]

Vacib ədədi parametrlər

Mənbənin öz təcrübələrində (h=0.01) üçün (h_{mathrm{norm}}approx0.2) uyğun bir praktik tarazlıq təmin etmiş; uzun zaman hesablamasında (Tin[1000,1500]) intervalı istifadə olunan RF nümunələri üçün məqbul hesab edilmişdir. Bunlar universal sabitlər deyil, tədqiq edilən problemlərin empirik seçimləridir.

Mənbə və Metod Qeydi

Yüklənmiş mənbədə tam orijinal başlıq: Improved Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems

Müəllif: Marius-F. Danca.

Qurum: STAR-UBB Institute, Babeș-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.

Bərabər töhfə/bərabər birinci müəllif: Tətbiq edilə bilməz; tədqiqat tək müəlliflidir.

Məsul müəllif: Tək müəllif Marius-F. Danca üçün əlaqə e-poçtu yüklənmiş tədqiqatda verilmişdir.

Yüklənmiş versiya: arXiv:2604.09334v1, 10 Aprel 2026.

Yüklənmiş versiyanın növü: Preprint / məqalə ön versiyası.

Cari nəşr vəziyyəti: Yüklənmiş arXiv versiyasından sonra tədqiqat rəyçi yoxlamasından keçərək International Journal of Bifurcation and Chaos jurnalında nəşr edilmişdir. Bu səbəbdən yüklənmiş PDF-in özü preprint olsa da, tədqiqat artıq yalnız preprint statusunda deyil.

Nəşr edilmiş versiya başlığı: Improved Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems. Başlıqdakı böyük/kiçik hərf və “Fractional-Order” yazılışı nəşr edilmiş biblioqrafik qeyddəki formadadır; yüklənmiş PDF-in orijinal başlığı səssizcə dəyişdirilməmişdir.

Jurnal: International Journal of Bifurcation and Chaos.

Nəşriyyat: World Scientific Publishing Company.

Cild / buraxılış / məqalə nömrəsi: Volume 36, Issue 12, 2650172.

Rəyli nəşr DOI-si: 10.1142/S0218127426501725.

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2604.09334.

Nəşr ili: 2026.

Biblioqrafik versiya fərqi: Yüklənmiş mənbə 10 Aprel 2026-cı il tarixli arXiv v1 versiyasıdır. Cari biblioqrafik qeydlər, tədqiqatın daha sonra qəbul edilib İyul 2026-da rəyli jurnal versiyası olaraq nəşr edildiyini göstərir. Məqalədəki elmi metod, düstur, benchmark və ədədi nəticələr yüklənmiş mənbə versiyasından köçürülmüşdür; cari jurnal məlumatı yalnız biblioqrafik təsdiqləmə məqsədilə əlavə edilmişdir.

Maliyyələşdirmə: Yüklənmiş tədqiqatın incələnən mətnində ayrı bir maliyyələşdirmə bəyanatı aşkar edilməmişdir.

Maraqlar münaqişəsi: Yüklənmiş versiyada ayrı bir maraqlar münaqişəsi bəyanatı aşkar edilməmişdir.

CRediT/müəllif töhfələri: Tək müəllifli yüklənmiş versiyada ayrı CRediT bəyanatı yoxdur.

Koda giriş: Tədqiqat LIL və FO_LE MATLAB kodunu əlavələrdə verir; sürətli LIL_nc versiyasının MATLAB Central File Exchange vasitəsilə təmin edildiyi bildirilir. FO_LE üçün daha sonra MATLAB Central qeydiyyatı da yaradılmışdır.

Vizualların istifadə metodu: Bu Verianla məqaləsindəki SVG-lər mənbə məqalənin şəkillərinin tam nüsxəsi deyil. Düsturlar, metod izahları və açıq şəkildə məruzə edilən ədədi dəyərlərə əsaslanaraq Verianla üçün orijinal formada yenidən çəkilmişdir. Mənbə Cədvəl 1-dən əldə edilən kəmiyyət SVG-lərində yalnız mənbədə verilən məlumatlar istifadə edilmişdir.

Əsas şərh məhdudiyyəti: Hesablanan Lyapunov üsləri müəyyən başlanğıc şərti, zaman intervalı, inteqrasiya addımı və yenidən ortonormallaşdırma intervalı altında yaradılan sonlu zamanlı ədədi yanaşmalardır. Tədqiqatın özü də bunların nəzəri asimptotik spektrlə eyni qəbul edilməməsi lazım olduğunu vurğulayır.