Bu çalışma, deforme süper Virasoro cebrinin kuantum süper-cebir yapısını incelemekte ve hem tek parametreli \(q\)-deformasyonu hem de iki parametreli \((p,q)\)-deformasyonu için trivial olmayan bir Hopf süper-cebir yapısının kurulabileceğini göstermektedir. Süper Virasoro cebri, sonsuz boyutlu dereceli bir cebirdir; Mansour'un yaklaşımında önce klasik yapı bosonik ve fermiyonik osilatör operatörleriyle gerçekleştirilmekte, ardından komütasyon bağıntıları deformasyon parametreleriyle değiştirilmekte ve deforme saran süper-cebir ek tersinir çift elemanlar \(K_i\), \(T_i\) ve \(R_i\) ile genişletilmektedir. Bu ek elemanlar sayesinde coproduct \(\Delta\), counit \(\epsilon\) ve antipode \(S\) işlemleri Hopf süper-cebir aksiyomlarıyla uyumlu biçimde tanımlanabilmektedir.

Çalışmanın merkezi sonucu, yalnızca süper Virasoro komütasyon ilişkilerini deforme etmenin yeterli olmadığı; trivial olmayan Hopf süper-cebir yapısının elde edilmesi için deforme saran süper-cebrin ek tersinir çift elemanlarla genişletilmesinin gerektiğidir. Yazar aynı yapıyı önce \(q\)-deforme durumda, ardından ikinci bir \(p\) deformasyon parametresinin fermiyonik-bosonik ilişkilerde rol oynadığı \((p,q)\)-deforme durumda kurar. Çalışma deneysel bir fizik araştırması değildir; sonucu cebirsel tutarlılık ve Hopf süper-cebir aksiyomlarıyla uyumlu yapıların inşa edilmesine dayanan teorik bir sonuçtur.

Çalışmanın matematiksel problemi

Kuantum cebirleri veya kuantum grupları, uygun deformasyon parametresi sınırlarında klasik Lie cebirlerine indirgenen deforme cebirsel yapılardır. Matematiksel açıdan kuantum grup yaklaşımının temel yapısı Hopf cebridir. Bu yapı yalnızca bir çarpım ve komütasyon kuralı içermez; aynı zamanda tek bir üretecin tensör çarpım uzaylarında nasıl davrandığını belirleyen coproduct, birim bileşeni tanımlayan counit ve genelleştirilmiş ters işlemi veren antipode gibi ek yapısal haritalar içerir.

Mansour'un başlangıç problemi şudur: Süper Virasoro cebrinin çeşitli deformasyonları daha önce ele alınmış olsa da, incelenen deforme süper Virasoro cebrine trivial olmayan bir kuantum süper-cebir, yani Hopf süper-cebir yapısının tutarlı biçimde nasıl kazandırılacağı açık bir sorudur. Çalışma bu sorunu bosonik ve fermiyonik operatörlerle bir gerçekleştirme kurarak ve deforme saran süper-cebri yeni çift üreteçlerle genişleterek ele alır.

Süper Virasoro Cebri Nedir?

Bu çalışmada süper Virasoro cebri \(sVir\), \(L_n\), \(G_n\) ve \(F_n\) üreteçlerinden oluşan sonsuz boyutlu bir \(\mathbb{Z}_2\)-dereceli süper-cebirdir; \(L_i\) ve \(F_i\) çift, \(G_i\) ise tek dereceli elemanlardır. Üreteçlerin cebirsel ilişkileri dereceli komütatörle belirlenir ve klasik yapı çalışmanın deforme edilmiş kuantum süper-cebirinin başlangıç noktasıdır.

Klasik süper Virasoro bağıntıları

Kaynak, klasik süper Virasoro cebrini \(n,m\in\mathbb{Z}\) için aşağıdaki bağıntılarla tanımlar:

\[ [L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}, \]

\[ [F_m,G_n]=G_{n+m}, \]

\[ [L_n,F_m]=-mF_{n+m}, \]

\[ [F_m,F_n]=0, \]

\[ [L_m,G_n]=(m-n)G_{n+m}, \]

\[ [G_m,G_n]=0. \tag{1} \]

\(\mathbb{Z}_2\) derecelendirmesi

\[ \deg(L_i)=\deg(F_i)=0,\qquad \deg(G_i)=1 \]

olarak verilir. Burada dereceli komütatör

\[ [x,y]=xy-(-1)^{\deg(x)\deg(y)}yx \]

biçimindedir. Böylece iki çift eleman arasındaki işlem olağan komütatöre karşılık gelirken, tek dereceli elemanların çarpımında süper-cebirin işaret yapısı devreye girer.

Bosonik ve fermiyonik gerçekleştirme

Klasik süper Virasoro cebri kaynakta bosonik \(a_+,a_-\) ve fermiyonik \(f_+,f_-\) operatörleriyle gerçekleştirilir:

\[ L_k=-(a_+)^{k+1}a_-, \]

\[ G_n=(a_+)^{n+1}f_+a_-, \]

\[ F_n=(a_+)^n f_+f_-. \tag{2} \]

Bosonik operatörler

\[ a_-a_+-a_+a_-=1,\qquad [1,a_\pm]=0 \tag{3} \]

bağıntılarını sağlarken fermiyonik operatörler

\[ f_-f_+ + f_+f_-=1, \]

\[ [1,f_\pm]=0,\qquad (f_\pm)^2=0 \tag{4} \]

koşullarına uyar. Fermiyonik operatörlerin karesinin sıfır olması, cebrin tek dereceli sektöründeki nilpotent yapıyı ifade eder.

q-Deforme Süper Virasoro Cebri Nasıl Kurulur?

\(q\)-deformasyonunda klasik komütasyon bağıntıları, \(q\) parametresine bağlı ağırlıklı çarpımlar ve \(q\)-sayılarıyla değiştirilir. Çalışma önce \(q\)-deforme bosonik osilatörü klasik fermiyonik operatörlerle birleştirir, ardından elde edilen \(L_n\), \(G_n\) ve \(F_n\) üreteçlerinin deforme süper Virasoro bağıntılarını sağladığını gösterir.

q-deforme cebrin tanımlayıcı bağıntıları

Kaynakta verilen deforme ilişkiler şunlardır:

\[ q^{\,l-k}L_lL_k-q^{\,k-l}L_kL_l=[l-k]L_{k+l}, \]

\[ F_mG_n-G_nF_m=G_{n+m}, \]

\[ L_lF_k-q^{2k}F_kL_l=-q[[k]]F_{k+l}, \]

\[ q^{\,n-m}F_mF_n-q^{\,m-n}F_nF_m =\lambda[n-m]F_{n+m}, \]

\[ q^{\,l-k}L_lG_k-q^{\,k-l}G_kL_l=[l-k]G_{k+l}, \]

\[ G_mG_n+G_nG_m=0. \tag{5} \]

Burada kullanılan \(q\)-sayıları

\[ [x]=\frac{q^x-q^{-x}}{q-q^{-1}}, \qquad [[x]]=\frac{1-q^{2x}}{1-q^2}, \qquad \lambda=q-q^{-1} \]

olarak tanımlanmıştır. Bu büyüklükler klasik katsayıların deformasyon parametresine bağlı genellemeleridir. Uygun klasik sınırda deformasyon etkisi kaybolarak klasik cebirsel yapıya yaklaşılması amaçlanır.

Kaynakta bulunan notasyon problemi

Kaynak, Denklem (5)'ten hemen önce q-deforme cebrin üreteçlerini \(\{L_n,G_n,K_n\}\) olarak yazmaktadır. Bununla birlikte Denklem (5), (7) ve sonraki anlatımda üçüncü temel üreteç \(F_n\) olarak kullanılmaktadır; \(K_i\) sembolleri ise daha sonra Hopf yapısını kurmak için eklenen tersinir çift elemanlar olarak tanımlanmaktadır. Bu nedenle bu ifade kaynak içinde bir notasyon tutarsızlığı oluşturur. Burada denklem sisteminin kendi kullanımına sadık kalınarak temel üreteç \(F_n\) biçiminde izlenmektedir.

q-deforme osilatör gerçekleştirmesi

Deforme bosonik ve klasik fermiyonik operatörler için

\[ [a_-,a_+]_{q^2}=1,\qquad \{f_-,f_+\}=1, \]

\[ [a_\pm,f_\pm]=0,\qquad [a_\mp,f_\pm]=0, \]

\[ (f_-)^2=0,\qquad(f_+)^2=0, \]

\[ [1,a_\pm]=0,\qquad[1,f_\pm]=0 \tag{6} \]

bağıntıları kullanılır. Deforme komütatör

\[ [a,b]_\alpha=ab-\alpha ba \]

olarak tanımlanmıştır.

Bu operatörlerden

\[ L_k=-q(a_+)^{k+1}a_-, \]

\[ G_n=(a_+)^{n+1}f_+a_-, \]

\[ F_n=(a_+)^n f_+f_- \tag{7} \]

oluşturulduğunda kaynak bunların Denklem (5)'teki \(q\)-deforme süper Virasoro cebrini ürettiğini belirtir.

Hopf Süper-Cebir Yapısında \(K_i\), \(T_i\) ve \(R_i\) Neden Gereklidir?

\(K_i\), \(T_i\) ve \(R_i\), deforme saran süper-cebre eklenen tersinir çift elemanlardır ve çalışmanın trivial olmayan Hopf süper-cebir yapısını kurmasını sağlayan temel genişletmedir. Coproduct, counit ve antipode yalnız \(L_i\), \(G_i\) ve \(F_i\) üzerinde tanımlanmakla bırakılmaz; ek elemanların da Hopf aksiyomlarıyla uyumlu grup-benzeri eş-yapıları tanımlanır ve deforme üreteçlerle olan komütasyon ilişkileri belirlenir.

Coproduct, counit ve antipode

Kaynak \(U_q(sVir_q)\) üzerinde Hopf süper-cebir eş-yapısını şu şekilde tanımlar:

\[ \Delta(L_i)=L_i\otimes T_i+1\otimes L_i, \]

\[ \Delta(G_i)=G_i\otimes R_i+1\otimes G_i, \]

\[ \Delta(F_i)=F_i\otimes K_i+1\otimes F_i, \]

\[ \epsilon(L_i)=\epsilon(G_i)=\epsilon(F_i)=0, \]

\[ S(L_i)=-L_iS(T_i), \]

\[ S(G_i)=-G_iS(R_i), \]

\[ S(F_i)=-F_iS(K_i). \tag{8} \]

Burada \(\Delta\), coproduct; \(\epsilon\), counit; \(S\) ise antipode işlemidir. \(K_i\), \(T_i\) ve \(R_i\) çift ve tersinir ek elemanlardır. Kaynak özellikle bu elemanların \(q=1\) olduğunda birim operatöre indirgendiklerini belirtir.

Bu nokta yapının klasik sınırı açısından önemlidir: deformasyon ortadan kalktığında Hopf yapısını taşıyan ek deformasyon faktörleri de birim elemana yaklaşır.

Ek elemanların Hopf eş-yapıları

Eş-birleşmelilik, counit ve antipode aksiyomlarının tutarlılığından kaynak şu sonuçları çıkarır:

\[ \Delta(T_i)=T_i\otimes T_i,\qquad \Delta(R_i)=R_i\otimes R_i,\qquad \Delta(K_i)=K_i\otimes K_i, \]

\[ \epsilon(T_i)=\epsilon(R_i)=\epsilon(K_i)=1, \]

\[ S(T_i)=T_i^{-1},\qquad S(R_i)=R_i^{-1},\qquad S(K_i)=K_i^{-1}. \tag{9} \]

Bu biçim, \(T_i\), \(R_i\) ve \(K_i\) elemanlarının coproduct altında grup-benzeri davranmasını sağlar. Başka bir ifadeyle her ek elemanın coproduct'u kendi tensör karesi biçimindedir.

Deforme üreteçlerle ek elemanların uyumluluk bağıntıları

Coproduct ve counit'in süper-cebir homomorfizması, antipode'un ise süper-cebir anti-homomorfizması olması koşulu Denklem (5) ile birlikte uygulandığında kaynak şu ilişkileri elde eder:

\[ L_kT_l=q^{2(l-k)}T_lL_k, \]

\[ L_kK_l=q^{2l}K_lL_k, \]

\[ G_kK_l=K_lG_k, \]

\[ F_kT_l=q^{-2k}T_lF_k, \]

\[ F_kR_l=R_lF_k, \]

\[ G_kT_l=q^{2(l-k)}T_lG_k, \]

\[ L_lR_k=q^{2(k-l)}R_kL_l, \]

\[ F_kK_l=q^{2(k-l)}K_lF_k, \]

\[ G_kR_l=R_lG_k. \tag{10} \]

Bu bağıntılar rastgele ek koşullar değildir. Ek elemanların Hopf eş-yapısıyla deforme süper Virasoro cebrinin çarpım yapısının birbirini bozmamasını sağlayan uyumluluk koşullarıdır.

Ek elemanların kendi aralarındaki bağıntılar

Kaynak ayrıca

\[ T_kT_l=T_lT_k=T_{k+l}, \]

\[ T_kK_l=K_lT_k=K_{l+k}, \]

\[ R_kK_l=K_lR_k, \]

\[ K_kK_l=K_lK_k=K_{l+k}, \]

\[ R_kR_l=R_lR_k, \]

\[ T_lR_k=R_kT_l=R_{k+l} \tag{11} \]

bağıntılarını şart koşar. İndislerin toplamla birleşmesi, ek eleman ailesinin cebirsel kapanışını belirleyen önemli bir özelliktir.

\((p,q)\)-Deformasyonu q-Deformasyonundan Nasıl Ayrılır?

İki parametreli \((p,q)\)-deformasyon, q-deforme süper Virasoro yapısına ikinci bir deformasyon parametresi \(p\) ekler. Kaynakta bu ikinci parametre özellikle \(L_l\) ile \(G_k\) arasındaki deforme bağıntıda ve bosonik ile fermiyonik osilatörlerin çapraz komütasyonlarında görünür; Hopf eş-yapılarının temel biçimi korunurken ek elemanlarla bazı uyumluluk katsayıları \(p\)-bağımlı hale gelir.

İki parametreli deforme süper Virasoro ilişkileri

Kaynak \((p,q)\)-deformasyonunu

\[ q^{\,l-k}L_lL_k-q^{\,k-l}L_kL_l=[l-k]L_{k+l}, \]

\[ F_mG_n-G_nF_m=G_{n+m}, \]

\[ L_lF_k-q^{2k}F_kL_l=-q[[k]]F_{k+l}, \]

\[ q^{\,n-m}F_mF_n-q^{\,m-n}F_nF_m =\lambda[n-m]F_{n+m}, \]

\[ q^{\,l-k}L_lG_k-p^{2l}q^{\,k-l}G_kL_l =[l-k]G_{k+l}, \]

\[ G_mG_n+G_nG_m=0 \tag{12} \]

biçiminde verir. Bir parametreli sürümle karşılaştırıldığında kritik değişikliklerden biri, \(L_lG_k\) ilişkisinin ikinci teriminde \(p^{2l}\) faktörünün ortaya çıkmasıdır.

\((p,q)\)-osilatör gerçekleştirmesi

Kaynakta bu yapı

\[ L_k=-q(a_+)^{k+1}a_-, \]

\[ G_n=p^{-2}(a_+)^{n+1}f_+a_-, \]

\[ F_n=(a_+)^nf_+f_- \tag{13} \]

operatörleriyle gerçekleştirilir.

Temel osilatör bağıntıları ise

\[ [a_-,a_+]_{q^2}=1,\qquad\{f_-,f_+\}=1, \]

\[ [a_+,f_+]_{p^2}=0,\qquad [a_-,f_+]_{p^{-2}}=0, \]

\[ [a_-,f_-]_{p^2}=0,\qquad [a_+,f_-]_{p^{-2}}=0, \]

\[ (f_-)^2=0,\qquad(f_+)^2=0, \]

\[ [1,a_\pm]=0,\qquad[1,f_\pm]=0 \tag{14} \]

olarak verilir. Burada \(p\) parametresi özellikle bosonik ve fermiyonik sektör arasındaki çapraz deforme komütatörleri kontrol etmektedir.

\((p,q)\)-Hopf yapısında değişen ilişkiler

Kaynağa göre \((p,q)\)-kuantum süper-cebirinde Denklem (8)'deki coproduct, counit ve antipode biçimleri ile ek çift elemanların Denklem (9)'daki eş-yapıları korunur. Ancak deforme üreteçlerle ek elemanların bazı ilişkileri \(p\) faktörleri kazanır:

\[ L_kT_l=q^{2(l-k)}T_lL_k, \]

\[ L_kK_l=q^{2l}K_lL_k, \]

\[ G_kK_l=K_lG_k, \]

\[ F_kT_l=q^{-2k}T_lF_k, \]

\[ F_kR_l=R_lF_k, \]

\[ G_kT_l=p^{-2l}q^{2(l-k)}T_lG_k, \]

\[ L_lR_k=p^{2l}q^{2(k-l)}R_kL_l, \]

\[ F_kK_l=q^{2(k-l)}K_lF_k, \]

\[ G_kR_l=R_lG_k. \tag{15} \]

Ek \(K_i\), \(T_i\) ve \(R_i\) elemanlarının kendi aralarındaki ilişkiler ise tek parametreli durumda verilen Denklem (11) ile aynı bırakılır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Yöntemsel akış

Çalışma deney veya sayısal simülasyon yürütmemektedir. Yöntem doğrudan cebirsel inşadır. İzlenen mantık aşağıdaki sırayla özetlenebilir:

1. Klasik süper Virasoro cebrinin \(L_n\), \(G_n\) ve \(F_n\) üreteçleriyle tanımlanması.
2. \(\mathbb{Z}_2\)-derecelendirmenin belirlenmesi.
3. Cebrin klasik bosonik ve fermiyonik osilatörlerle gerçekleştirilmesi.
4. Klasik bağıntıların \(q\)-bağımlı deforme bağıntılarla değiştirilmesi.
5. q-deforme osilatör gerçekleştirmesinin kurulması.
6. Deforme saran süper-cebre \(K_i\), \(T_i\) ve \(R_i\) tersinir çift elemanlarının eklenmesi.
7. Coproduct \(\Delta\), counit \(\epsilon\) ve antipode \(S\) işlemlerinin tanımlanması.
8. Hopf süper-cebir aksiyomlarından ek elemanların eş-yapılarının çıkarılması.
9. Hopf haritalarının deforme komütasyon ilişkileriyle uyumluluğundan Denklem (10) ve (11)'deki ilişkilerin elde edilmesi.
10. Aynı yapının iki parametreli \((p,q)\)-deformasyona genişletilmesi.

Hopf süper-cebir aksiyomlarının rolü

Kaynak yalnız bir dizi yeni üreteç tanımlayıp bunları serbest bırakmaz. Ek elemanların davranışı Hopf cebrinin temel aksiyomları tarafından sınırlandırılır. Coproduct'un eş-birleşmeli olması, counit'in birim yapısıyla tutarlılığı ve antipode'un tersleme işlevi; \(T_i\), \(R_i\) ve \(K_i\) için Denklem (9)'daki grup-benzeri yapıyı zorunlu hale getirir. Ayrıca \(\Delta\) ve \(\epsilon\)'nun süper-cebir homomorfizması, \(S\)'nin ise süper-cebir anti-homomorfizması olması, Denklem (10)'daki çapraz ilişkileri belirler.

Tek parametreli ve iki parametreli yapının karşılaştırılması

Ana matematiksel bulgu

Kaynağın sonuç cümlesi açıktır: Deforme süper Virasoro cebrinin deforme saran süper-cebri, ek tersinir çift elemanlardan oluşan bir küme ile genişletildiğinde trivial olmayan bir Hopf süper-cebir yapısı tanımlamak mümkündür. Yazar bu sonucu hem tek parametreli \(q\)-deformasyonu hem de iki parametreli \((p,q)\)-deformasyonu için kurmaktadır.

Buradaki “trivial olmayan” ifadesi, klasik saran cebirdeki basit Hopf yapısından farklı olarak coproduct'un üreteçleri yalnız \(X\otimes1+1\otimes X\) biçiminde taşımaması; deformasyon bilgisinin \(T_i\), \(R_i\) ve \(K_i\) gibi ek elemanlar aracılığıyla coproduct yapısına girmesi anlamına gelir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Belirtilen q-deforme süper Virasoro cebri bosonik ve fermiyonik osilatör operatörleriyle gerçekleştirilebilir.
• Deforme saran süper-cebir uygun ek tersinir çift elemanlarla genişletilebilir.
• Bu genişletme üzerinde coproduct, counit ve antipode işlemleri tanımlanabilir.
• Hopf süper-cebir aksiyomları ek elemanların ve temel üreteçlerin çapraz ilişkilerini sınırlar.
• Aynı temel yaklaşım iki parametreli \((p,q)\)-deformasyona genişletilebilir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

Çalışma belirli bir fiziksel sistem üzerinde deneysel doğrulama yapmamaktadır. Kurulan cebirsel yapının belirli bir parçacık sistemi, malzeme, kuantum bilgisayar veya deney düzeneğinde ölçülmüş performansını göstermez. Ayrıca kaynak temsil teorisini, spektral özellikleri, fiziksel gözlenebilirleri veya kurulan Hopf süper-cebirin belirli bir fizik modelindeki nicel sonuçlarını ayrıntılı biçimde geliştirmez. Bu nedenle cebirsel varlık ve tutarlılık sonucu, doğrudan deneysel fizik başarısı olarak yorumlanmamalıdır.

Kaynak içi sınırlılıklar

Çalışma oldukça kısa bir preprinttir ve ana amacı belirli cebirsel yapının kurulabileceğini göstermektir. Temsil sınıflarının kapsamlı sınıflandırması, fiziksel uygulamalar, merkezi genişletmelerin ayrıntılı analizi veya deformasyonun bütün matematiksel özelliklerinin incelenmesi bu altı sayfalık kaynağın kapsamına alınmamıştır. Kaynak ayrıca bağlantılı bir R-matris deformasyonu ve Ramond–Neveu–Schwarz cebirlerine ilişkin çalışmayı ayrı bir çalışma olarak referanslamaktadır.

Kaynak notasyonunun dikkat gerektiren noktaları

1998 preprintinin dijital metin çıkarımı bazı eksi işaretlerini, tensor sembollerini, alt indisleri ve üst indisleri kaybedebilmektedir. Bu nedenle bu Verianla metnindeki merkezi denklemler PDF'nin görsel matematik dizgisiyle karşılaştırılarak aktarılmıştır. Ayrıca q-deforme üreteç kümesinin tanıtıldığı cümledeki \(K_n/F_n\) tutarsızlığı kaynakta mevcut olduğu için ayrıca belirtilmiştir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: ON THE QUANTUM SUPER VIRASORO ALGEBRA

Yazar: M. Mansour

Kaynakta verilen kurumlar: Laboratoire de Physique Théorique, Faculté des Sciences, B.P. 1014 Rabat, Morocco; The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy.

Kaynak kimliği: ICTP Preprint IC/98/140.

Yer ve tarih: Miramare–Trieste, September 1998.

Kaynak türü: Teorik matematiksel fizik preprinti.

1998 preprint DOI'si: Kaynakta DOI belirtilmemiştir.

1998 preprint hakemlik durumu: Kaynak PDF hakemli dergi yayını olduğunu belirtmemektedir.

Daha sonraki bibliyografik kayıt: Aynı başlıklı çalışma daha sonra M. Mansour adına Czechoslovak Journal of Physics, cilt 51, 883–888 (2001) olarak yayımlanmıştır.

Sonraki dergi sürümünün DOI'si: 10.1023/A:1012392624242.

ArXiv: math-ph/0010029.

Lisans: Kaynak PDF'de açık lisans beyanı bulunmamaktadır.

Finansman: Ayrı finansman beyanı bulunmamaktadır.

Veri erişilebilirliği: Çalışma deneysel veya sayısal veri seti üretmemektedir.

Çıkar çatışması: Kaynakta ayrıca bildirilmemiştir.

Yazar katkıları: Tek yazarlı kaynakta ayrı CRediT beyanı bulunmamaktadır.

Teşekkür bilgisi

Yazar, Prof. A. El. Hassouni ve Prof. F. Guedira'ya rehberlik ve teşvikleri için, Prof. R. Floreanini'ye çalışmayı okuması ve yararlı tartışmaları için teşekkür etmektedir. Ayrıca Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics'e Trieste'deki misafirperverliği için teşekkür edilmektedir.

Bilimsel yorum sınırı

Bu Verianla makalesinde 1998 ICTP preprintinin cebirsel sonuçları temel alınmıştır. Daha sonraki dergi yayını yalnız bibliyografik kimlik doğrulaması amacıyla belirtilmiştir. Kaynakta bulunmayan yeni denklem, temsil, deneysel sonuç, fiziksel uygulama veya nicel performans sonucu eklenmemiştir.