Ин таҳқиқот усулеро таҳия мекунад, ки барои омода кардани ҳолатҳои квантӣ, ки амплитудаҳояшон тавассути функсияи математикии маълум муайян мешаванд, зарурати ҳисоб кардани қиматҳои функсия дар регистрҳои квантӣ бо схемаҳои арифметикии когерентӣ ё бор кардани онҳо тавассути хондани хотира/ҷадвали квантиро аз байн мебарад. Ғояи асосӣ ин аст, ки функсияи синус бо хароҷоти хеле кам block-encode карда шуда, бо quantum singular value transformation (QSVT) ба наздикшавии полиномии функсияи ҳадаф табдил дода шавад ва баъдан бо amplitude amplification ҳолати квантии нормализатсияшудаи дилхоҳ ба даст оварда шавад. Барои функсияҳои воқеии дорои parity-и дақиқ, теоремаи асосӣ бо ҳадди аксар се ancilla qubit мураккабии gate-и \(O(nd/\mathcal F_{\tilde f}^{[N]})\)-ро медиҳад; дар ҳолати умумитар усул метавонад то чор ancilla qubit талаб кунад. Барои ҳолатҳои равзанаи Gaussian ва Kaiser ҳудудҳои назариявии мураккабӣ ва баҳодиҳиҳои мушаххаси захираҳо пешниҳод мешаванд. Маҳдудияти асосӣ дар он аст, ки усул махсусан барои функсияҳое муфид аст, ки наздикшавии полиномии дараҷаи паст ё Fourier-и паймон доранд ва самаранокӣ ба filling-fraction-и \(L_2\)-norm-и функсия вобаста мемонад.

Натиҷаи амалии аз ҳама ҷолиби усул дар истифодаи qubit дида мешавад. Дар мисоли Gaussian-и 16-qubit, ки дар манбаъ дода шудааст, схемаи асосёфта ба QSVT танҳо 3 ancilla qubit истифода мебарад, дар ҳоле ки дар усулҳои муқоисашудаи асосёфта ба amplitude-oracle ин шумора байни 141–189 аст. Муҳаққиқон ин коҳишро барои кам кардани изи физикии схемаҳо дар марҳилаи аввали ҳисоббарории квантии fault-tolerant муҳим мешуморанд.

Бо вуҷуди ин, таҳқиқот ба хулосаи “усули QSVT аз ҳамаи усулҳои омодасозии ҳолат gate-и камтар истифода мебарад” намерасад. Дар ҷадвали мушаххаси захираҳо барои QSVT T gate-ҳо ва барои баъзе усулҳои дигар Toffoli gate-ҳо ҳисоб карда шудаанд ва хароҷоти gate-и усулҳо дар як воҳид дода нашудаанд. Натиҷаи қавитар ва мустақиман муқоисашавандаи таҳқиқот коҳиши бузурги шумораи ancilla qubit мебошад.

Масъалаи омода кардани ҳолати квантӣ чист?

Муҳаққиқон мехоҳанд ҳолати квантии андозааш \(N=2^n\)-ро дар \(n\) qubit омода кунанд. Амплитудаҳои ҳолати ҳадаф тавассути функсияи пешакӣ маълуми \(f\) муайян мешаванд:

\[ |\Psi_f\rangle = \frac{1}{\mathcal N_f} \sum_{x=-N/2}^{N/2-1} f(\bar x)|x\rangle, \]

ки дар он

\[ \bar x=\frac{2ax}{N} \]

ва

\[ \mathcal N_f = \sqrt{\sum_x|f(\bar x)|^2}. \]

Чунин ҳолатҳо метавонанд дар алгоритмҳои муодилаҳои дифференсиалӣ, усулҳои элементҳои ниҳоӣ, симулятсияи назарияи майдони квантӣ, нархгузории деривативҳои молиявӣ, phase estimation ва химияи квантии grid-based лозим шаванд.

Мушкил дар усулҳои анъанавӣ дар куҷост?

Бисёр усулҳои омодасозии ҳолат аввал

\[ |x\rangle|0\rangle \longrightarrow |x\rangle|f(\bar x)\rangle \]

навъи amplitude oracle-ро месозанд.

Барои ин қимати \(f(\bar x)\) бояд дар регистрҳои квантӣ бо шумораи муайяни bit ҳисоб карда шавад. Манбаъ мегӯяд, ки ду равиши асосӣ истифода шуда метавонанд: арифметикаи квантии когерентии fixed-point ё хондани қиматҳои пешакӣ ҳисобшуда аз сохтори ҷадвал/хотираи квантӣ.

Ҳар ду интихоб, махсусан аз ҷиҳати ancilla qubit ва non-Clifford gate, метавонанд гарон бошанд. Илова бар ин, схемаҳои арифметикӣ бинобар хатогиҳои overflow, намоиши fixed-point ва оптимизатсияҳои махсуси функсия аксар вақт бояд дастӣ тарҳрезӣ шаванд.

Ҳадафи асосии тарҳи усули нав комилан бартараф кардани ҳамин қабати amplitude oracle мебошад.

QSVT дар ин ҷо чӣ кор мекунад?

Quantum singular value transformation имкон медиҳад, ки ба singular value-ҳои матритсаи дар block-encoding ҷойгиршуда ё, дар ҳолати Hermit-и мувофиқ, ба eigenvalue-ҳои он функсияи полиномӣ татбиқ карда шавад.

Вақте ки unitary-и \((n+m)\)-qubit-и \(U\) барои матритсаи Hermit-и \(A\) ҳамчун block-encoding-и тақрибӣ шарти

\[ \left\| \alpha (\langle0|^{\otimes m}\otimes I_n) U (|0\rangle^{\otimes m}\otimes I_n) - A \right\| \leq\epsilon \]

ро қонеъ мекунад, бо истифода аз кунҷҳои фазаи мувофиқи QSVT метавон функсияи полиномии \(A\)-ро татбиқ кард.

Дар ин таҳқиқот ба ҷои ҳисоб кардани функсияи ҳадафи \(f\) аввал бо хароҷоти хеле кам матритсаи

\[ A= \sum_{x=-N/2}^{N/2-1} \sin\left(\frac{2x}{N}\right) |x\rangle\langle x| \]

block-encode карда мешавад.

Сипас барои функсияи

\[ f(a\arcsin(y)) \]

наздикшавии полиномии мувофиқ омода шуда, block-encoding-и синус тавассути QSVT ба функсияи ҳадаф табдил дода мешавад.

Наздикшавии полиномӣ чӣ гуна таъриф мешавад?

Барои функсияи воқеии дорои parity-и дақиқ муҳаққиқон полиноми \(h(y)\)-ро бо дараҷаи \(d\) истифода мебаранд, ки шарти

\[ \max_{y\in[-1,1]}|h(y)|\leq1 \]

ро қонеъ мекунад.

Функсияи тақрибии татбиқшуда ҳамчун

\[ \tilde f(y)=h(\sin(y/a)) \]

таъриф мешавад.

Барои нигоҳ доштани unitary будани QSVT бузургии полином дар тамоми минтақаи \([-1,1]\) набояд аз 1 зиёд шавад. Муаллифон мегӯянд, ки полиномҳои minimax метавонанд бо алгоритми Remez ё expansion-и Taylor ҳисоб карда шаванд.

\(L_2\)-norm filling-fraction чист?

Яке аз миқдорҳои калидӣ, ки мураккабии алгоритмро муайян мекунад, дар манбаъ ҳамчун “discretized \(L_2\)-norm filling-fraction” таъриф мешавад:

\[ \mathcal F_p^{[N]} = \frac{\mathcal N_p} {\sqrt N\, \max_{y\in[-a,a]}|p(y)|}. \]

Ин миқдор нишон медиҳад, ки пас аз нормализатсия нисбат ба қимати максималии функсия чандто аз \(N\) нуқтаи grid вазни маънодори \(L_2\) доранд.

Ба таври интуитивӣ, дар функсияи хеле танг ва тез вазни амплитуда дар шумораи ками нуқтаҳои grid ҷамъ мешавад ва \(\mathcal F\) хурд мешавад. Барои функсияи васеътар filling-fraction баландтар аст.

Азбаски шумораи amplitude amplification тақрибан

\[ O\left(\frac{1}{\mathcal F_{\tilde f}^{[N]}}\right) \]

аст, filling-fraction-и хурд хароҷоти алгоритмро зиёд мекунад.

Теоремаи асосӣ чӣ мегӯяд?

Натиҷаи Theorem 1-и манбаъ мегӯяд, ки агар наздикшавии мувофиқи \(h(y)\) шарти

\[ \left| \tilde f(y) - \frac{f(ay)} {\max_{y\in[-1,1]}|f(ay)|} \right|_{\max} \leq \frac{\epsilon}{3} \min \left( \mathcal F_f^{[N]}, \mathcal F_{\tilde f}^{[N]} \right) \]

ро қонеъ кунад, ҳолати \(|\Psi_{\tilde f}\rangle\), ки trace distance-и он аз ҳолати ҳадафи \(|\Psi_f\rangle\) ҳадди аксар \(\epsilon\) аст, метавонад бо

\[ O\left( \frac{nd} {\mathcal F_{\tilde f}^{[N]}} \right) \]

gate ва ҳадди аксар се ancilla qubit омода карда шавад.

Ин натиҷаи се-qubit ба синфи функсияҳои воқеии дорои parity-и дақиқ, ки дар теоремаи асосии таҳқиқот баррасӣ мешаванд, тааллуқ дорад. Дар хулосаи умумии усул гуфта мешавад, ки барои parity-и омехта ё функсияҳои умумитар мумкин аст як ancilla-и иловагӣ лозим шавад, бинобар ин шумораи умумӣ чор аст.

Се схема дар Расми 1 чӣ кор мекунанд?

Расми 1 дар саҳифаи 2-и манбаъ тамоми алгоритмро ба се қабати схемаи физикӣ ҷудо мекунад.

Схемаи аввалини block-encoding амали phase-gradient-и direction-controlled-ро бо сохтори монанд ба Hadamard-test якҷо мекунад. Ҳамин тавр, ба ҷои ҳисоб кардани худи \(x\) дар регистри ададӣ, тавассути rotation-ҳои фаза мустақиман амплитудаи \(\sin(2x/N)\) ба вуҷуд меояд.

Муваффақияти аввалини post-selection чанд аст?

Вақте ки \(U_{\tilde f}\) ба ҳолати superposition-и яксон татбиқ мешавад, чен шудани ду ancilla qubit-и аввал ҳамчун \(|00\rangle\) ҳолати дилхоҳро ба вуҷуд меорад.

Дар шароити хатои наздикшавии теоремаи асосӣ эҳтимоли муваффақияти ин рӯйдод ҳадди ақал

\[ \frac{4}{9} \left( \mathcal F_{\tilde f}^{[N]} \right)^2 \]

маҳдуд карда мешавад.

Муаллифон дар Appendix B усули exact amplitude amplification-ро алоҳида исбот мекунанд ва ин эҳтимоли муваффақиятро назариявӣ ба 1 мерасонанд.

Дар exact amplitude amplification чӣ нав аст?

Appendix B-и таҳқиқот версияи стандартии amplitude amplification-ро, ки барои муваффақияти дақиқ танзим шудааст, муфассал медиҳад. Таърифи полиномҳои Chebyshev

\[ T_n(x)=\cos(n\arccos x) \]

ва муносибати рекуррентӣ истифода мешаванд.

Ҳангоми маълум будани амплитудаи ибтидоии муваффақият \(a\), бо шумораи мувофиқи инъикосҳои Grover-монанд ва як rotation-и иловагии single-qubit компоненти ҳадаф дақиқ ба амплитудаи воҳид оварда мешавад.

Манбаъ ҳамчунин ҳолатеро таҳлил мекунад, ки \(a\) танҳо тақрибан маълум аст ва барои хато дар амплитудаи ҳақиқӣ ҳудуди ҳассосияти дараҷаи дуюм медиҳад.

Агар функсия ҳамвор бошад, мураккабӣ чӣ гуна тағйир меёбад?

Барои функсияҳои аналитикӣ ва ҳамвор хатои наздикшавии полиномӣ бисёр вақт бо дараҷа ба таври экспоненсиалӣ кам шуда метавонад:

\[ \delta=O(e^{-d}). \]

Дар ин ҳолат дараҷаи зарурии полином логарифмӣ меафзояд ва манбаъ мураккабии умумии gate-ро, бо пинҳон кардани истилоҳҳои polylogarithmic, чунин менависад:

\[ \widetilde O \left( \frac{n} {\mathcal F_{\tilde f}^{[N]}} \log\frac1\epsilon \right) \]

дар ин шакл ифода мекунад.

Чаро равзанаҳои Gaussian ва Kaiser интихоб шудаанд?

Барои нишон додани он ки усул танҳо дар синфи абстрактии функсияҳо намемонад, таҳқиқот ду татбиқи муҳимро интихоб мекунад.

Функсияи Gaussian барои таҳлили умумӣ дар манбаъ чунин таъриф мешавад:

\[ f_\beta(x) = \exp\left(-\frac{\beta}{2}x^2\right) \]

Ҳолатҳои Gaussian метавонанд дар химияи квантӣ, назарияи майдони квантӣ ва алгоритмҳои молиявӣ истифода шаванд.

Равзанаи Kaiser бошад

\[ W_\beta(x) = \frac{ I_0\left( \beta\sqrt{1-x^2} \right) }{ I_0(\beta) } \]

аст. \(I_0\) modified Bessel function-и тартиби сифрии навъи якум мебошад.

Равзанаи Kaiser махсусан дар quantum phase estimation барои танзими trade-off байни паҳноии қуллаи асосӣ ва баландии side-lobe истифода мешавад.

Мураккабии назариявии ҳолатҳои Gaussian ва Kaiser

Theorem 2,

\[ \epsilon\in(0,1/2) \]

ва

\[ 2^n\geq\sqrt{\beta} \]

нишон медиҳад, ки ҳар ду ҳолат метавонанд бо мураккабии gate-и

\[ O\left( n(\beta+1)^{1/4} \left[ \beta+\log(1/\epsilon) \right] \right) \]

омода карда шаванд.

Барои ҳолати Gaussian, илова бар ин, агар

\[ \beta\geq\log(1/\epsilon) \]

бошад, бо rescale кардани минтақаи support ҳудуд метавонад то

\[ O\left( n\log^{5/4}(1/\epsilon) \right) \]

беҳтар карда шавад.

Чаро барои filling-fraction масштаби \(\beta^{-1/4}\) пайдо мешавад?

Дар Appendix G барои ҳам Gaussian ва ҳам равзанаи Kaiser ҳудуди поёнии

\[ f(x)\geq1-\frac{\beta}{2}x^2 \]

сохта мешавад.

Дар режими \(\beta\geq2\) ин ҳудуди поёнӣ дар як интервали марказӣ интеграл карда шуда, нишон дода мешавад, ки filling-fraction-и пайвастаи \(L_2\) аз масштаби

\[ \mathcal F_f^{[\infty]} = \Omega(\beta^{-1/4}) \]

бадтар нест.

Аз ин рӯ, бо зиёд шудани \(\beta\) ва танг шудани функсия хароҷоти amplitude amplification ҳам тақрибан бо масштаби решаи чорум зиёд мешавад.

Дар муқоисаи захираҳо усул чӣ ба даст меорад?

Table I дар саҳифаи 3-и манбаъ омодасозии функсияҳои воқеии дорои parity-и дақиқро байни усулҳои гуногун муқоиса мекунад.

Иддаои асосии бартарии мақола коҳиши шадиди шумораи ancilla бо сабаби пурра хориҷ шудани amplitude oracle мебошад.

Баҳодиҳии захира барои Gaussian-и 16-qubit

Table II дар саҳифаи 4-и манбаъ мисоли мушаххаси омодасозии Gaussian бо \(n=16\) qubit ва trace distance-и

\[ \epsilon\leq10^{-6} \]

ро баррасӣ мекунад.

Сарлавҳаи ҷадвал барои ҳамин баҳодиҳии махсус функсияро

\[ \exp(-\beta x^2), \qquad \beta=10, \qquad x\in[-1,1] \]

менависад. Ин аз параметризатсияи \(\exp(-\beta x^2/2)\) дар қисми назариявии мақола фарқ мекунад; азбаски манбаъ ин ду навиштро ошкоро баробар намекунад, ин қиматҳо набояд ҳамчун як \(\beta\) қабул шаванд.

Чаро шумораи gate-ҳо дар як график дода нашудаанд?

Сарлавҳаи сутуни gate дар Table II “T / Toffoli gates” аст ва ҳамаи усулҳо бо як воҳиди асосии gate гузориш нашудаанд.

Дар footnote-и манбаъ ба таври равшан гуфта мешавад, ки байни хароҷоти T ва Toffoli табдилҳое мавҷуданд, ки ба татбиқи fault-tolerant вобастаанд. Масалан, ишора мешавад, ки бо ancilla-и мувофиқ як Toffoli метавонад бо чор T gate иҷро шавад. Аз ин рӯ, муқоисаи мустақими 48.000 ва 24.000 ҳамчун “QSVT ду баробар гаронтар аст” аз ҷиҳати илмӣ дуруст нест.

Баҳодиҳии захираи QSVT чӣ гуна ба даст меояд?

Хароҷоти асосии non-Clifford дар схемаи QSVT аз синтези fault-tolerant-и Z rotation-ҳои дохили \(U_{\sin}\) меояд.

Манбаъ хароҷоти тақрибии T-ро чунин медиҳад:

\[ (2R+1)d(n+1) \left[ 0.57 \log_2 \left( \frac{(2R+1)d(n+1)}{\epsilon_s} \right) + 8.83 \right] \]

оварда мешавад.

Дар мисоли мушаххас полиноми parity-и ҷуфт бо дараҷаи 20, ки trace distance-и тақрибан \(5.7\times10^{-7}\)-ро таъмин мекунад, кофӣ дониста шуда, R=2 даври amplitude amplification истифода шудааст.

Оё хароҷоти gate боз ҳам кам карда мешавад?

Манбаъ баррасӣ мекунад, ки агар сарф кардани тақрибан \(n\) ancilla qubit-и иловагӣ қобили қабул бошад, хароҷоти rotation дар block-encoding-и синус бо архитектураҳои дигари схема кам карда мешавад.

Яке аз пешниҳодҳо схемаи ҷамъкунӣ бо phase-gradient catalyst state ва дигаре comparator-test мебошад, ки ба ҷои синус бевосита \(x\)-ро block-encode мекунад.

Ин ба trade-off-и муҳими муҳандисӣ ишора мекунад: таҳқиқот дар ҳар шароит як нуқтаи “камтарин qubit ва камтарин gate”-ро пешниҳод намекунад; вобаста ба архитектура байни qubit ва non-Clifford gate интихоб кардан мумкин аст.

Оё prior-и ибтидоии беҳтар истифода мешавад?

Алгоритми пешфарз

\[ |+\rangle^{\otimes n} \]

superposition-и яксонро ҳамчун prior-и ибтидоӣ истифода мебарад.

Аммо агар prior-и \(p\)-и камхарҷ, ки ба функсияи ҳадафи \(f\) бештар монанд аст, омода карда шавад, алгоритм метавонад таносуби \(f/p\)-ро block-encode кунад.

Манбаъ мегӯяд, ки интихоби prior-и наздик ба нормализатсияи функсияи ҳадаф метавонад шумораи даврҳои amplitude amplification-ро кам кунад.

Функсияҳои discontinuous чӣ гуна коркард мешаванд?

Полиномҳои QSVT дар наздик кардани discontinuity мушкил доранд. Таҳқиқот ду роҳи ҳал пешниҳод мекунад.

Дар ҳалли аввал регистр тавассути coherent inequality test бо flag qubit, ки ҳолатҳои чап ва рости discontinuity-ро аломатгузорӣ мекунад, entangle мешавад. Ба ҳар минтақа полиноми QSVT-и дигар татбиқ мешавад.

Дар равиши дуюм inequality test дар domain-и ададӣ “холигӣ”-и сунъӣ месозад. Азбаски ҳолати ҳадаф дар ин холигӣ support надорад, функсияи discontinuous метавонад дар дохили холигӣ бо функсияи ҳамвор ва пайваста пайваст шавад. Пас аз анҷоми амал flag uncompute шуда, grid-и аслӣ барқарор мешавад.

Чаро наздикшавии Fourier як васеъкунии табиӣ аст?

Таҳқиқот мегӯяд, ки усул бо Fourier-based quantum eigenvalue transformation низ мувофиқ аст.

Дар ин ҳолат ба ҷои block-encoding-и полиномӣ эволютсияи вақти controlled-и

\[ U(A) = |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes e^{iAt} \]

истифода мешавад.

Махсусан барои функсияҳое, ки expansion-и Fourier-и паймон доранд, масалан harmonics-и глобалӣ, ин равиш метавонад муфид бошад.

Барои функсияҳои бисёртағйирёбанда вазъ чӣ гуна аст?

Мақола муҳокима мекунад, ки тавассути linear combination ва product-ҳои block-encoding expansion-ҳои силсилавии функсияҳои монанди \(f(x,y)\) метавон ба ҳолатҳои бисёртағйирёбанда васеъ кард.

Ҳамчунин multivariable-QSP метавонад истифода шавад.

Аммо муаллифон ду масъалаи кушодаро махсус таъкид мекунанд: синфҳои функсияҳое, ки бо MQSP амалӣ мешаванд, ҳанӯз пурра тавсиф нашудаанд ва ҳангоми афзоиши dimension filling-fraction метавонад ба таври экспоненсиалӣ хурд шавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Ҳолатҳои квантие, ки функсияи маълумро ҳамчун амплитуда код мекунанд, дар синфҳои мувофиқи функсияҳо бе сохтани coherent arithmetic amplitude oracle омода карда мешаванд.
• Block-encoding-и камхарҷи функсияи синус метавонад тавассути QSVT ба наздикшавии полиномии функсияи ҳадаф табдил дода шавад.
• Барои функсияҳои воқеии дорои parity-и дақиқ алгоритми асосӣ ҳадди аксар се ancilla qubit истифода мебарад.
• Дар синфҳои умумитари функсияҳо талаботи ancilla метавонад то чор qubit расад.
• Мураккабии gate бо \(O(nd/\mathcal F_{\tilde f}^{[N]})\) маҳдуд карда мешавад.
• Барои функсияҳое, ки наздикшавии полиномии хуби аналитикӣ доранд, вобастагии хато метавонад логарифмӣ шавад.
• Барои ҳолатҳои Gaussian ва Kaiser ҳудудҳои равшани назариявии мураккабӣ ба даст меоянд.
• Дар баҳодиҳии 16-qubit талаботи ancilla-и QSVT нисбат ба усулҳои amplitude-oracle-и муқоисашуда беш аз як order кам мешавад.
• Усул метавонад ба priors-и беҳтар, шумораи маҳдуди discontinuity ва наздикшавии Fourier васеъ карда шавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ ё санҷиш намекунад

• Исбот намешавад, ки усул барои ҳамаи функсияҳои имконпазир аз усулҳои мавҷудаи омодасозии ҳолат самараноктар аст.
• Барои функсияҳое, ки наздикшавии полиномии дараҷаи паст ё Fourier надоранд, ҳамин бартарӣ кафолат дода намешавад.
• 48.000 T gate ва 24.000 ё 45.000 Toffoli қиматҳои хароҷоти физикии яквоҳидӣ нестанд.
• Баҳодиҳиҳои захира вақти ченшудаи иҷро дар таҷҳизоти воқеии fault-tolerant quantum нестанд.
• Таҳқиқот шумораи physical qubit-ро мустақим ҳисоб намекунад; ҷадвалҳо захираҳои logical/algorithmic qubit ва gate-ро баррасӣ мекунанд.
• Агар filling-fraction хеле хурд бошад, хароҷоти amplitude amplification баланд боқӣ мемонад.
• Нишон дода нашудааст, ки мушкилоти filling-fraction дар функсияҳои бисёртағйирёбандаи баландандоза ҳал шудааст.
• Омодасозии таҷрибавии ҳолатҳои Gaussian ё Kaiser дар processor-и воқеии муайяни квантӣ гузориш нашудааст.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Тарҳи таҳқиқот

Ин таҳқиқот кори назариявии алгоритмҳои квантӣ ва таҳлили захираҳо мебошад. Дар дастгоҳи физикӣ таҷрибаи нав анҷом дода нашудааст. Усул ба block-encoding, QSVT, наздикшавии полиномӣ, таҳлили хатои trace-distance, exact amplitude amplification, назарияи наздикшавии функсия ва баҳодиҳии захираи fault-tolerant асос ёфтааст.

Ҷараёни алгоритмӣ

1. Наздикшавии полиномии нормализатсияшудаи функсияи ҳадафи \(f(\bar x)\) ба таври классикӣ ҳисоб карда мешавад.
2. Кунҷҳои фазаи QSVT бо precomputation-и классикӣ муайян мешаванд.
3. Схемаи \(U_{\sin}\) функсияи синусро бо хароҷоти кам block-encode мекунад.
4. QSVT block-encoding-и \(U_{\sin}\)-ро ба функсияи \(\tilde f\) табдил медиҳад.
5. Схема ба superposition-и яксони ибтидоӣ татбиқ мешавад.
6. Компоненти муваффақият дар subspace-и ancilla-и дилхоҳ бо amplitude amplification ба 1 расонда мешавад.
7. Trace distance-и ҳолати нормализатсияшудаи натиҷа аз ҳолати ҳадафи \(|\Psi_f\rangle\) бо хатои наздикшавии полиномӣ маҳдуд мешавад.

Меъёри хато

Манбаъ дақиқии ҳолатро бо trace distance чен мекунад:

\[ D \left( |\Psi_{\tilde f}\rangle, |\Psi_f\rangle \right) = \sqrt{ 1- |\langle\Psi_f|\Psi_{\tilde f}\rangle|^2 }. \]

Lemma 6 дар Appendix C исбот мекунад, ки агар хатои max-norm-и наздикшавии функсия бо filling-fraction дуруст scale шавад, trace distance-и ҳолат аз \(\epsilon\) зиёд намешавад.

Таҳлили сахттари хато

Муаллифон мегӯянд, ки ҳудуди максималии хатои \(L_\infty\) дар бисёр наздикшавиҳои амалии полиномӣ пессимистӣ аст.

Агар inner product-и воқеии

\[ \frac{ \sum_x f(\bar x)\tilde f(\bar x) }{ \mathcal N_f\mathcal N_{\tilde f} } \]

мустақим ҳисоб карда шавад, trace distance-и сахттар ба даст меояд.

Ҳангоми хеле калон будани grid ҷамъҳо метавонанд бо интегралҳои мувофиқи Riemann тақрибан баҳогузорӣ шаванд.

Хатои discretization

Дар Appendix B натиҷаҳои стандартии Riemann sum истифода мешаванд. Барои функсияҳои continuously differentiable хатои grid approximation \(O(1/N)\) аст; бо ҷойгиркунии монанд ба midpoint ва фарзияи second derivative он метавонад то \(O(1/N^2)\) кам шавад.

Ин дастгирӣ мекунад, ки барои \(n\)-и хеле калон filling-fraction-и пайваста қимати дискретиро тақрибан ифода мекунад.

Дараҷаи полиноми Gaussian/Kaiser

Appendix F тавассути ҷамъҳои абсолютии коэффициентҳои Taylor series теоремаи умумии truncation месозад.

Барои ҳам Gaussian ва ҳам Kaiser нишон дода мешавад, ки полиноми дараҷаи

\[ d= O\left( \beta+\ln(1/\delta) \right) \]

ва дар \([-1,1]\) маҳдуд метавонад дақиқии наздикшавии лозимро таъмин кунад.

Параметрҳои мисоли мушаххаси Gaussian

Баҳодиҳиҳои захираи amplitude-oracle чӣ гуна сохта шудаанд?

Appendix I хароҷоти усулҳои рақибро бо схемаҳои мақолаҳои манбаъ ва subroutine-ҳои муайяни арифметикӣ аз нав ҳисоб мекунад.

Барои piecewise-polynomial amplitude oracle манбаъ тақрибан 20.504 Toffoli / oracle call ва 162 oracle ancilla истифода мекунад; бо усули пурраи state-preparation шумораи умумии ancilla дар Table II ба 168 мерасад.

Дар равиши linear interpolation бо QROM барои тақрибан 1900 interval gradient ва intercept бор карда мешаванд. Дар қадамҳои мобайнӣ multiplication, squaring ва controlled bit-shift истифода мешавад; тақрибан 4069 Toffoli барои як amplitude oracle ба даст меояд.

Қиматҳои bespoke Gaussian oracle аз баҳодиҳиҳои як кори пешина гирифта шудаанд ва муаллифон махсус таъкид мекунанд, ки онҳо ҳудуди поёнии оптимистӣ мебошанд.

Паёми асосии илмии баҳодиҳиҳои захира

Дар мисоли мушаххас бартарии gate-и QSVT ҳамчун бартарии қатъӣ ва универсалӣ намоён нест; аммо фарқи ancilla хеле равшан аст.

QSVT:

\[ 3\text{ ancilla} \]

истифода мекунад, дар ҳоле ки қимати пасттарини рақиб:

\[ 141\text{ ancilla} \]

аст. Аз ин рӯ, дар мисоли интихобшуда талаботи qubit-и ёрирасони logical қариб ба ду order of magnitude кам мешавад.

Ин натиҷа махсусан барои тарҳҳои система дар марҳилаи аввали fault-tolerant, ки мехоҳанд изи умумии physical qubit-и алгоритмро кам кунанд, муҳим аст.

Ҷанбаҳои қавии таҳқиқот

• Пешниҳод кардани як template-и ягона ва reusable-и QSVT ба ҷои схемаҳои арифметикии когерентии махсуси функсия.
• Комилан бартараф кардани талаботи amplitude oracle.
• Додани таҳлили хато ва ҳудудҳои state trace-distance бо теоремаҳои равшан.
• Муфассал исбот кардани exact amplitude amplification.
• Дар баробари мураккабии асимптотикӣ додани баҳодиҳиҳои мушаххаси fault-tolerant.
• Таҳлили муфассали ду функсияи алгоритмии муҳим — Gaussian ва Kaiser.
• Нишон додани коҳиши хеле қавии хароҷоти ancilla qubit.
• Пешниҳоди роҳҳои васеъкунӣ барои priors, discontinuity ва Fourier approximation.

Маҳдудиятҳои таҳқиқот

• Бартарӣ ба мавҷудияти наздикшавии полиномии дараҷаи паст ё Fourier-и мувофиқ вобаста аст.
• Вақте filling-fraction хурд мешавад, мураккабӣ бадтар мешавад.
• Усулҳои муқоисашуда барои шумораи gate воҳидҳои гуногуни non-Clifford gate истифода мекунанд.
• Баҳодиҳиҳои захира тамоми архитектураи физикии error correction-ро модел намекунанд.
• Синтези fault-tolerant-и rotation-ҳои QSVT хароҷоти назарраси T-gate ба вуҷуд меорад.
• Коҳиши filling-fraction бо dimension барои функсияҳои бисёртағйирёбанда масъалаи ҳалнашуда аст.
• Баҳодиҳии ресурсии bespoke Gaussian, чунон ки муаллифон мегӯянд, ҳудуди поёнии оптимистӣ мебошад.
• Таҳқиқот implementation ё benchmark дар hardware-и воқеии квантӣ пешниҳод намекунад.

Ёддошти Манбаъ ва Усул

Номи пурраи аслии кор: Quantum state preparation without coherent arithmetic

Муаллифон: Sam McArdle; András Gilyén; Mario Berta.

Тартиби муаллифон: Тартиби дар манбаи боршуда додашуда айнан нигоҳ дошта шудааст.

Саҳми баробар/муаллифи аввали баробар: Дар манбаъ нишон дода нашудааст.

Муаллифи масъул: Дар PDF-и боршудаи arXiv v2 аломати ҷудогонаи corresponding-author мавҷуд нест.

Аффилиатсияҳои PDF-и боршуда: AWS Center for Quantum Computing, Pasadena, ИМА; Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Budapest, Маҷористон; Department of Computing, Imperial College London, London, Британияи Кабир; Institute for Quantum Information, RWTH Aachen University, Aachen, Олмон. Дар v2-и боршуда Mario Berta аффилиатсияҳои AWS, Imperial College London ва RWTH Aachen-ро дорад.

Соҳаи илмӣ: Алгоритмҳои квантӣ, омодасозии ҳолати квантӣ, quantum singular value transformation, quantum eigenvalue transformation ва таҳлили захираҳои fault-tolerant quantum.

Навъи манбаи боршуда: Версияи arXiv repository/preprint.

Версияи боршуда: arXiv:2210.14892v2 [quant-ph].

Ирсоли аввал ба arXiv: 26 Октябр 2022.

Ревизияи v2: 9 Июл 2025.

Санаи PDF: 10 Июл 2025.

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2210.14892

Пайванди расмии arXiv: https://arxiv.org/abs/2210.14892

Литсензияи preprint: arXiv non-exclusive distribution license. Ин литсензия Creative Commons-и кушода барои adaptation нест.

Ёддошти peer review ва версияи нашршуда: Файли v2-и баррасишуда версияи arXiv preprint/repository мебошад. Ҳамин кор баъдан аз peer review гузашта, дар Physical Review Letters нашр шудааст. Матни асосии илмии ин мақолаи Verianla аз v2-и боршуда омода шудааст; сабти баъдии журнал танҳо барои тасдиқи вазъи ҷории библиографӣ истифода шудааст.

Сарлавҳаи нашри peer-reviewed: Quantum State Preparation without Coherent Arithmetic

Нашри peer-reviewed: Physical Review Letters, Volume 136, Article 240603 (2026).

DOI-и журнал: 10.1103/ntvs-c48s

Пайванди расмии журнал: https://doi.org/10.1103/ntvs-c48s

Ношир / ташкилоти нашркунанда: American Physical Society.

Санаи ирсол ба журнал: 9 Июл 2025.

Санаи қабул: 6 Май 2026.

Санаи нашр: 18 Июн 2026.

Ёддошти аффилиатсияи версияи peer-reviewed: Дар версияи APS Sam McArdle бо AWS Center for Quantum Computing; András Gilyén бо HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics; Mario Berta бо RWTH Aachen University ва Imperial College London рӯйхат шудаанд. Аз ин рӯ, байни v2 ва версияи журнал барои аффилиатсияи AWS-и Mario Berta фарқи библиографӣ мавҷуд аст.

Ҳуқуқҳои версияи peer-reviewed: Саҳифаи сабти APS © 2026 American Physical Society-ро нишон медиҳад. Азбаски дар манбаъ Creative Commons нишон дода нашудааст, версияи peer-reviewed ҳамчун CC-лицензиядор қабул нашудааст.

Маблағгузорӣ: András Gilyén дастгирии AWS Center for Quantum Computing-ро ва Mario Berta дастгирии EPSRC EP/W032643/1-ро хабар медиҳад. Манбаъ инчунин ба Fernando Brandão барои муҳокимаҳо ва дастгирии лоиҳа ташаккур мегӯяд.

Дастрасии маълумот: Дар v2-и боршуда изҳороти ҷудогонаи data availability вуҷуд надорад. Таҳқиқот кори назариявии алгоритми квантӣ ва таҳлили захираҳост, ки ба dataset-и таҷрибавӣ такя намекунад.

Низои манфиатҳо: Дар v2-и боршуда изҳороти ҷудогонаи conflict of interest ёфт нашудааст; аз ин набудани низои манфиатҳо хулоса карда нашудааст.

Саҳми муаллифон: Дар v2-и боршуда бахши ҷудогонаи CRediT ё author contributions вуҷуд надорад.

Ёддошти параметризатсияи дохилии манбаъ: Дар қисми асосии татбиқ Gaussian ҳамчун \(f_\beta(x)=\exp(-\beta x^2/2)\) таъриф мешавад, дар ҳоле ки сарлавҳаи баҳодиҳии мушаххаси Table II \(\exp(-\beta x^2)\), \(\beta=10\)-ро истифода мекунад. Азбаски манбаъ ин ду таърифи \(\beta\)-ро ошкоро баробар намекунад, матни Verianla онҳоро ба як параметр муттаҳид накардааст.

Усули таҳқиқот: Block-encoding-и камхарҷи синус; QSVT/QET; наздикшавии классикии minimax ё Taylor; exact ва fixed-point amplitude amplification; таҳлили хатои trace-distance; ҳудудҳои Riemann-sum discretization; modified Bessel functions; ҳудудҳои filling-fraction ва баҳодиҳиҳои fault-tolerant non-Clifford resources.

Ҳудуди мазмуни илмӣ: Механизми алгоритмӣ, теоремаҳо, формулаҳо, натиҷаҳои Gaussian/Kaiser, ҷадвалҳои захираҳо, сохтори схема ва маҳдудиятҳои ин мақолаи Verianla ба файли боршудаи arXiv:2210.14892v2 асос ёфтаанд. Манбаъҳои беруна танҳо барои тасдиқи библиографии идентификатори arXiv ва вазъи нашри Physical Review Letters дар соли 2026 истифода шудаанд.

Ҳудуди асосии тафсир: Қиматҳои qubit ва gate, ки дар манбаъ ҳисоб шудаанд, баҳодиҳиҳои algorithmic/fault-tolerant resource мебошанд. Онҳо вақти воқеии иҷро, шумораи physical qubit ё сатҳи муваффақияти таҷрибавии як компютери муайяни квантӣ нестанд.