Гильберт өзгөртүүсү гармоникалык анализ менен Фурье анализиндеги негизги сингулярдык интегралдык операторлордун бири болуп саналат. Үзгүлтүксүз версиясынан тышкары, эксперименттик жана инженердик маалыматтар көп учурда үзгүлтүксүз функция түрүндө эмес, белгилүү убакыт же мейкиндик чекиттеринде үлгүлөнгөн тизмектер түрүндө алынгандыктан, дискреттик Гильберт өзгөртүүсү да математикалык жактан маанилүү.

Бул изилдөөдө Rashid A. Aliev жана Amil F. Jabiyev дискреттик Гильберт өзгөртүүсүн классикалык l^p тизмек мейкиндигинен локалдык түзүлүшү кеңири болгон дискреттик салмакталган Моррей мейкиндиктерине кеңейтишет. Моррей мейкиндиктери функциянын же тизмектин глобалдык өлчөмүн гана эмес, ар башка борборлордо жана масштабдардагы локалдык өлчөмүн да көзөмөлдөйт. Салмакталган версияда тизмектин ар башка индекстерине ар башка маанилүүлүк берген оң салмактар эсепке алынат.

Бир \\(b=\{b_m\}_{m\in\mathbb Z}\) тизмеги үчүн изилдөөдө колдонулган дискреттик Гильберт өзгөртүүсү:

\\[ (Hb)_n=\sum_{\substack{m\in\mathbb Z\\m\neq n}} \frac{b_m}{n-m} \]

түрүндө берилет. Математикалык кыйынчылык — бул чексиз сумма берилген мейкиндикте чындап мааниге ээби жана өзгөртүү киришти ошол мейкиндиктен сыртка чыгарабы деген суроо.

Макаланын биринчи негизги жыйынтыгы \\(1<p<\infty\) болгондо жана ылайыктуу дискреттик Muckenhoupt классына кирген салмак тизмеги шартында дискреттик Гильберт өзгөртүүсү ар бир ылайыктуу кириш тизмеги үчүн жакшы аныкталарын көрсөтөт.

Экинчи жана башкы жыйынтык болсо өзгөртүүнүн дискреттик салмакталган Моррей мейкиндигинде чектелген экенин билдирет. Булактагы түрү боюнча ылайыктуу \\(p\), \\(\lambda\) жана \\(w\) салмагы үчүн:

\\[ H(b)\in m_{\lambda,p,w} \]

жана ушундай \\(C_{\lambda,p,w}>0\) туруктуусу бар:

\\[ \|H(b)\|_{m_{\lambda,p,w}} \leq C_{\lambda,p,w} \|b\|_{m_{\lambda,p,w}}. \]

Бул теңсиздик изилдөөнүн борбордук жыйынтыгы болуп саналат. Анын мааниси — дискреттик Гильберт өзгөртүүсү ылайыктуу салмак шартындагы тизмекти көзөмөлсүз чоңойтпойт жана өзгөртүүнүн натыйжасы кайра эле ошол эле функционалдык мейкиндик классынын ичинде калат.

Далил дискреттик чөйрөнүн ичинде гана жүргүзүлбөйт. Изилдөөчүлөр дискреттик тизмекти жана дискреттик салмактарды ылайыктуу жол менен реал сандар түзүндөгү функцияларга айландырып, үзгүлтүксүз салмакталган Моррей мейкиндиктеринде белгилүү болгон Гильберт өзгөртүүсүнүн жана Hardy–Littlewood максималдык операторунун жыйынтыктарын колдонуп кайра дискреттик маселеге өтүшөт. Ошентип үзгүлтүксүз гармоникалык анализде калыптанган чектелүүлүк теориясы менен дискреттик маселенин ортосунда математикалык көпүрө түзүлөт.

Изилдөөнүн санариптик сигналдарды иштетүү жагынан мотивациясы болгону менен, макалада реалдуу үн, сүрөт, байланыш же сенсордук маалымат топтому боюнча эксперимент жүргүзүлгөн эмес. Натыйжа — теориялык функционалдык анализ теоремасы. Ошондуктан изилдөөнү түздөн-түз “сигнал иштетүү алгоритминин аткаруусун жакшыртты” деп чечмелөөгө болбойт.

Түркия үчүн бул эмнени билдирет?

Изилдөөдө Түркияга тиешелүү маалымат топтому, колдонмо системасы же талаа эксперименти жок. Ошого карабастан, натыйжалар гармоникалык анализ, үлгүлөнгөн сигналдар, дискреттик операторлор жана салмакталган функция мейкиндиктери боюнча иштеген Түркиядагы математика жана теориялык инженерия изилдөөлөрү үчүн колдонууга боло турган негизги математикалык жыйынтык болуп саналат.

Айрыкча дискреттик сигнал же маалымат тизмектеринин ар башка бөлүктөрүн ар башка салмактар менен кароо талап кылынган теориялык моделдерде мындай чектелүүлүк натыйжалары колдонулуучу оператор математикалык жактан туруктуу мейкиндиктик чагылдыруу жасайбы же жокпу деген суроону түшүнүүгө жардам берет. Бирок азыркы изилдөө белгилүү бир түрк инженердик колдонмосун текшерген эмес.

Гильберт өзгөртүүсү деген эмне?

Гильберт өзгөртүүсү Фурье анализинин өнүгүшүндө борбордук роль ойногон сингулярдык интегралдык операторлордун бири. Үзгүлтүксүз учурда \\(f\) функциясынын Гильберт өзгөртүүсү изилдөөдө төмөнкүдөй эске салынат:

\\[ (Hf)(t) = \frac{1}{\pi}\, \operatorname{v.p.} \int_{\mathbb R} \frac{f(\tau)}{t-\tau}\,d\tau. \]

Бул жердеги v.p. белгиси Cauchy башкы маанисин билдирет; анткени ядро \\(\tau=t\) чекитинде сингулярдуу.

Дискреттик учурда интегралдын ордуна бүтүн сан индекстери боюнча сумма колдонулат:

\\[ (Hb)_n= \sum_{m\neq n}\frac{b_m}{n-m}. \]

Бул жерде \\(n-m\) бөлүүчүсү үзгүлтүксүз Гильберт өзгөртүүсүндөгү \\(t-\tau\) ядросунун дискреттик аналогу болуп саналат.

Алгач классикалык \\(l^p\) жыйынтыгы

Изилдөөнүн кириш бөлүгүндө \\(p\geq1\) үчүн \\(l^p\) тизмек мейкиндиги:

\\[ \|b\|_{l^p} = \left( \sum_{n\in\mathbb Z}|b_n|^p \right)^{1/p} <\infty \]

деп аныкталат.

Макала M. Rieszтин \\(p>1\) үчүн классикалык чектелүүлүк жыйынтыгын баштапкы чекит катары колдонот:

\\[ \|H(b)\|_{l^p} \leq C_p\|b\|_{l^p}. \]

Демек, дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнүн стандарттуу \\(l^p\) мейкиндиктеринде чектелүүлүгү мурда эле белгилүү болгон. Жаңы изилдөөнүн максаты ушул касиетти кыйла татаал, локалдык масштабдарды жана салмактарды да эске алган дискреттик салмакталган Моррей мейкиндиктерине өткөрүү.

Эмне үчүн Моррей мейкиндиктери керек?

Классикалык \\(L^p\) же \\(l^p\) нормасы бүт мейкиндик боюнча жалпы өлчөмдү көзөмөлдөйт. Моррей мейкиндиктери болсо функциянын же тизмектин ар кандай борборлордун айланасындагы локалдык жүрүм-турумун да эсепке алат.

Үзгүлтүксүз классикалык Моррей мейкиндиги үчүн изилдөө төмөнкү норманы колдонот:

\\[ \|f\|_{M_{\lambda,p}} = \sup_x\sup_{r>0} \left[ r^{-\lambda} \|f\|_{L^p(B(x;r))} \right]. \]

\\(\lambda\) параметри локалдык масштаб чоңойгон сайын норма кандайча нормалдашарын аныктайт. Булакка ылайык \\(\lambda=0\) болгондо классикалык \\(L^p\) мейкиндигине, ал эми \\(\lambda=1/p\) учурда \\(L^\infty\) жүрүм-турумуна өтүлөт.

Дискреттик Моррей мейкиндиги кандай түзүлөт?

Алгач бүтүн сандардын үстүндө борбору \\(m\), радиусу \\(n\) болгон дискреттик коңшулук аныкталат:

\\[ S_{m,n} = \{k\in\mathbb Z:|k-m|\leq n\}. \]

Бул көптүктүн элементтеринин саны:

\\[ |S_{m,n}|=2n+1. \]

Ал эми дискреттик Моррей нормасы:

\\[ \|b\|_{m_{\lambda,p}} = \sup_{m\in\mathbb Z} \sup_{n\in\mathbb N\cup\{0\}} \left[ |S_{m,n}|^{-\lambda} \left( \sum_{k\in S_{m,n}}|b_k|^p \right)^{1/p} \right]. \]

Ошентип, бүт тизмектин жалпы жүрүм-туруму гана эмес, бүтүн сандардагы ар бир борбор жана ар бир масштаб үчүн локалдык өлчөм да көзөмөлдөнөт.

Салмак кошулганда эмне өзгөрөт?

Изилдөөнүн негизги мейкиндиги — ар бир индекске оң \\(w_k\) салмагын ыйгарган дискреттик салмакталган Моррей мейкиндиги. Норма:

\\[ \|b\|_{m_{\lambda,p,w}} = \sup_{m\in\mathbb Z} \sup_{n\in\mathbb N\cup\{0\}} \frac{ \left( \sum_{k\in S_{m,n}} |b_k|^p w_k \right)^{1/p} }{ \left( \sum_{k\in S_{m,n}} w_k \right)^\lambda }. \]

Салмактар \\(w_k>0\) шартын канааттандырат. Бардык салмактар \\(w_k=1\) болгондо бул аныктама салмаксыз дискреттик Моррей мейкиндигине кыскарат.

Бул салмактар толугу менен каалагандайбы?

Жок. Негизги теорема иштеши үчүн салмак тизмеги дискреттик Muckenhoupt шартын канааттандырышы керек. Макалада бул класс \\(\widetilde A_p\) менен белгиленет.

Булакта берилген шарт:

\\[ [w]_{\widetilde A_p} := \sup \frac{ \left(\sum_{k=m}^{n}w_k\right) \left( \sum_{k=m}^{n}w_k^{-1/(p-1)} \right)^{p-1} }{ (n-m+1)^p } <\infty. \]

Бул шарт салмактардын бир аймакта өтө топтолуп, башка аймакта өтө кичине болуп кетишин белгилүү мааниде көзөмөлдөйт. Ошентип, салмакталган нормалар менен сингулярдык интегралдык операторлордун ортосунда керектүү тең салмак түзүлөт.

Doubling шарты деген эмне?

Далилдеги маанилүү кадамдардын бири — аймак чоңойгондо салмак канчалык өзгөрө аларын көзөмөлдөө.

Үзгүлтүксүз салмак үчүн изилдөө:

\\[ w(2B)\leq D\,w(B) \]

шартын doubling касиети деп аныктайт.

Дискреттик чөйрөдө ага туура келген \\(\widetilde\Delta_2\) шарты:

\\[ \sum_{k\in[m-2\delta,m+2\delta]}w_k \leq D \sum_{k\in[m-\delta,m+\delta]}w_k. \]

түрүндө берилет.

Макаладагы Lemma 4 ылайыктуу \\(\widetilde A_p\) салмактары ушул дискреттик doubling касиетине ээ экенин көрсөтөт.

Lemma 3 эмне үчүн керек?

Doubling салмактын жогору карай өсүшүн гана көзөмөлдөбөстөн, чоңураак интервалдарда жетиштүү салмак массасы бар экенин көрсөтүү үчүн да колдонулат.

Lemma 3 боюнча \\(\{w_k\}\in\widetilde\Delta_2\) болсо, бир \\(D_1>1\) туруктуусу бар жана:

\\[ \sum_{k=m-(2n+1)}^{m+(2n+1)}w_k \geq D_1 \sum_{k=m-n}^{m+n}w_k. \]

Бул жыйынтык кийин диадалык масштабдар боюнча салмак суммалары жетиштүү өсөрүн көрсөтүп, Гильберт өзгөртүүсүн аныктаган чексиз катарды көзөмөлдөөгө колдонулат.

Дискреттик салмактан үзгүлтүксүз салмакка өтүү

Макаладагы көңүл бурдурган ыкмалардын бири — дискреттик салмак тизмегин реал сандар түзүндөгү салмак функциясына айландыруу.

Леммалардын далилдеринде изилдөөчүлөр, мисалы:

\\[ w(x)=w_k, \qquad x\in[k-1/2,k+1/2) \]

түрүндөгү бөлүк-бөлүк туруктуу функцияны аныкташат.

Ошентип:

\\[ w_k = \int_{k-1/2}^{k+1/2}w(x)\,dx \]

байланышы түзүлөт.

Бул көпүрө аркылуу дискреттик \\(\widetilde A_p\) шартынын үзгүлтүксүз \\(A_p\) салмак теориясы менен байланышын изилдөөгө болот.

Биринчи негизги теорема: өзгөртүү чындап аныкталганбы?

Теорема 1 — изилдөөнүн биринчи негизги кепилдөөчү жыйынтыгы. Булакта:

\\[ 1<p<\infty,\qquad 0\leq\lambda\leq1/p, \qquad \{w_k\}\in\widetilde A_p \]

шарттарында ар бир:

\\[ b\in m_{\lambda,p,w} \]

үчүн \\(H(b)\) тизмеги жакшы аныкталганы айтылат.

Мунун мааниси:

\\[ \sum_{m\neq n}\frac{b_m}{n-m} \]

туюнтмасы жөн гана формалдуу сумма бойдон калбастан, ар бир туруктуу \\(n\) үчүн математикалык жактан көзөмөлдөнө турган мааниге ээ болушу.

Теорема 1дин далилдөө идеясы

Изилдөөчүлөр сумманы аралык боюнча диадалык шакектерге бөлүшөт:

\\[ 2^{i-1} \leq |n-m| < 2^i. \]

Ошентип, алыстагы индекстердеги мүчөлөрдү топ-тобу менен кароого болот. Ар бир шакекте бөлгүчтөгү \\(|n-m|\) өлчөмү болжол менен \\(2^i\) масштабы аркылуу көзөмөлдөнөт.

Андан кийин Hölder теңсиздиги менен салмакталган \\(p\)-норманы жана салмактын тескери даражасын камтыган мүчөлөр ажыратылат. \\(\widetilde A_p\) шарты экинчи бөлүктү көзөмөлдөсө, дискреттик Моррей нормасы биринчи бөлүктү чектейт.

Акыркы этапта Lemma 3 жана Corollary 1 колдонулуп, диадалык аймактардагы салмак суммалары жетиштүү ылдам өсөрү көрсөтүлөт. Натыйжада пайда болгон чексиз катар жыйналуучу бойдон калып, \\(|(Hb)_n|<\infty\) жыйынтыгына жетилет.

Булактагы параметр чеги боюнча бир жагдай

Теорема 1дин билдирүүсү \\(0\leq\lambda\leq1/p\) аралыгын камтыса да, далил тексти ачык түрдө:

\\[ 0<\lambda<1/p \]

божомолу менен башталат. Булак чектик учурларды ушул эле бөлүмдө өзүнчө деталдуу чечмелебейт. Ошондуктан бул жерде далилдин ички аралыктагы кадамдары түшүндүрүлүп, \\(\lambda=0\) жана \\(\lambda=1/p\) учурлары Verianla тарабынан кошумча далил менен толукталган эмес.

Экинчи негизги теорема: негизги чектелүүлүк жыйынтыгы

Теорема 2 макаланын негизги жыйынтыгын берет. Ошол эле параметр жана салмак шарттарында:

\\[ b\in m_{\lambda,p,w} \quad\Longrightarrow\quad H(b)\in m_{\lambda,p,w} \]

жана:

\\[ \|H(b)\|_{m_{\lambda,p,w}} \leq C_{\lambda,p,w} \|b\|_{m_{\lambda,p,w}} \]

теңсиздиги аткарылат.

Бул жердеги \\(C_{\lambda,p,w}\) киришке көз каранды эмес, мейкиндиктин параметрлери жана салмак түзүлүшү менен байланышкан туруктуу.

“Чектелүүлүк” физикалык жогорку чек дегенди билдиреби?

Жок. Бул жерде boundedness өзгөртүү жыйынтыгындагы ар бир сан белгилүү физикалык чектен кичине болот дегенди билдирбейт.

Функционалдык анализде чектелген оператор деген түшүнүк оператор нормасы көзөмөлдөнө аларын билдирет. Башкача айтканда, кириш тизмегинин тиешелүү Моррей нормасы кичине же чектүү болсо, өзгөртүүнүн Моррей нормасы да ага пропорционалдуу түрдө көзөмөлдө калат.

Теорема 2де дискреттик маселе үзгүлтүксүз маселеге кантип өткөрүлөт?

Изилдөөчүлөр дискреттик \\(b_k\) тизмегинен реал сандар түзүндө бөлүк-бөлүк \\(f\) функциясын түзүшөт:

\\[ f(x)=b_k \quad \text{eğer } x\in[k-1/4,k+1/4], \]

ал эми бул интервалдардын сыртында \\(f(x)=0\) деп алынат.

Дискреттик \\(w_k\) салмагы да окшош түрдө үзгүлтүксүз салмак функциясына айландырылат. Ошентип \\(\widetilde A_p\) шартынан үзгүлтүксүз \\(A_p\) салмак классына өтүлөт.

Андан соң изилдөөчүлөр түзүлгөн \\(f\) функциясы үзгүлтүксүз салмакталган Моррей мейкиндиги \\(M_{\lambda,p,w}\) ичинде экенин көрсөтүшөт.

Максималдык кесилген дискреттик өзгөртүү

Далилде жардамчы катары:

\\[ (Tb)_n = \sup_{k>0} \left| \sum_{|n-m|\geq k} \frac{b_m}{n-m} \right| \]

түрүндөгү максималдык кесилген дискреттик оператор колдонулат.

Бул түзүлүш сингулярдуулук айланасынан белгилүү бир аймак чыгарылганда алынган Гильберт суммаларынын эң чоң өлчөмүн көзөмөлдөйт.

Үзгүлтүксүз жардамчы операторлор

Далил эки белгилүү үзгүлтүксүз операторду колдонот.

Биринчиси Hardy–Littlewood максималдык оператору:

\\[ (Mf)(x) = \sup_{y\neq x} \frac{1}{|y-x|} \int_x^y|f(t)|\,dt. \]

Экинчиси кесилген Гильберт тибиндеги сингулярдык интегралдын максималдык версиясы:

\\[ S(f)(x) = \sup_{\varepsilon>0} \left| \int_{|x-y|>\varepsilon} \frac{f(y)}{x-y}\,dy \right|. \]

Макаладагы маанилүү салыштыруулардын бири:

\\[ (Tb)_j \leq 2S(f)(x)+4M(f)(x), \]

теңсиздиги; бул теңсиздик ылайыктуу \\(x\in[j-1/4,j+1/4]\) үчүн колдонулат.

Бул кадам дискреттик операторду үзгүлтүксүз гармоникалык анализде чектелүүлүгү белгилүү операторлор аркылуу көзөмөлдөөгө мүмкүндүк берет.

Үзгүлтүксүз мейкиндиктеги чектелүүлүк кантип колдонулат?

Изилдөөчүлөр \\(w\in A_p\) болгондо Hardy–Littlewood максималдык оператору салмакталган Моррей мейкиндигинде чектелген деген белгилүү жыйынтыкты колдонушат.

Ошол сыяктуу \\(S\) операторунун да \\(M_{\lambda,p,w}\) үстүндө чектелгенин көрсөтүшөт. Бул далилде \\(f\) функциясы локалдык жана алыскы бөлүктөргө бөлүнөт:

\\[ f=f_1+f_2, \qquad f_1=f\chi_{2B}. \]

Жакын бөлүк үчүн белгилүү салмакталган \\(L^p\) чектелүүлүгү колдонулат. Алыскы бөлүк болсо чоңоюп жаткан \\(2^jB\) аймактарына бөлүнүп, салмактын doubling касиети аркылуу көзөмөлдөнөт.

Акыркы байланыш кантип түзүлөт?

Макала алгач максималдык кесилген дискреттик оператор үчүн:

\\[ T(b)\in m_{\lambda,p,w} \]

жыйынтыгына келет.

Андан кийин:

\\[ |(Hb)_n| \leq |(Tb)_n| \]

байланышы колдонулуп, ошол эле чектелүүлүк дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнө өткөрүлөт.

Бул жыйынтык мурунку иштердин кайсы жеринде турат?

Булак дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнүн стандарттуу \\(l^p\) мейкиндиктериндеги классикалык чектелүүлүгүнөн баштап, мурда өнүктүрүлгөн дискреттик Моррей мейкиндиги боюнча иштерге таянат.

Макаланын адабияттарында авторлордун 2021-жылы дискреттик Моррей мейкиндиктеринде Гильберт өзгөртүүсүнүн чектелүүлүгү тууралуу иши жана 2024-жылы жарыяланган дискреттик салмакталган Моррей мейкиндиктериндеги Hardy–Littlewood максималдык оператору боюнча иши жаңы жыйынтыкка алып келген негиздин бөлүктөрү катары өзгөчө маанилүү.

Бул макаланын оригиналдуу салымы — дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнүн чектелүүлүгүн салмакталган дискреттик Моррей мейкиндиктерине кеңейткен теорема жана далилди берүү.

Санариптик сигнал иштетүү менен байланышы канчалык түз?

Авторлор дискреттик Гильберт өзгөртүүсү санариптик сигнал иштетүүдө маанилүү экенин жана физика менен инженерияда маалыматтар көп учурда дискреттик убакыт чекиттеринде чогултуларын мотивация катары белгилешет.

Бирок изилдөөдө:

• реалдуу санариптик сигнал,
• үлгүлөө жыштыгы,
• фильтр дизайны,
• фаза жылдыруу эксперименти,
• ызы-чуу өлчөөсү,
• эсептөө убактысы,
• алгоритмдик ката салыштыруусу

жок.

Демек инженердик байланыш математикалык мотивация деңгээлинде; натыйжалардын белгилүү DSP алгоритминдеги аткаруу пайдасы бул изилдөөдө өлчөнгөн эмес.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• Дискреттик салмакталган Моррей мейкиндиктери үчүн так норма жана ылайыктуу дискреттик салмак классы колдонулган.
• \\(\widetilde A_p\) салмактары менен дискреттик doubling касиеттеринин ортосунда байланыш түзүлгөн.
• Ылайыктуу салмак шарты астында дискреттик Гильберт өзгөртүүсү жакшы аныкталары көрсөтүлгөн.
• Дискреттик маселе бөлүк-бөлүк функциялар аркылуу үзгүлтүксүз салмакталган Моррей мейкиндиктерине байланыштырылган.
• Максималдык кесилген дискреттик Гильберт өзгөртүүсү үзгүлтүксүз сингулярдык интеграл жана Hardy–Littlewood максималдык оператору аркылуу көзөмөлдөнгөн.
• Негизги жыйынтык катары дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнүн \\(m_{\lambda,p,w}\) үстүндө чектелүүлүгү алынган.

Изилдөө далилдебеген жыйынтыктар

• Ар бир оң салмак тизмеги үчүн чектелүүлүк көрсөтүлгөн эмес; \\(\widetilde A_p\) тибиндеги шарт колдонулат.
• \\(p=1\) үчүн ушундай эле күчтүү чектелүүлүк теоремасы берилген эмес.
• Реалдуу санариптик сигналда аткаруу эксперименти жүргүзүлгөн эмес.
• Чектелүүлүк туруктуусу \\(C_{\lambda,p,w}\) үчүн колдонмого багытталган сандык оптималдуу маани эсептелген эмес.
• Ар бир дискреттик сингулярдык интегралдык оператор үчүн ошол эле жыйынтык автоматтык түрдө жарактуу экени көрсөтүлгөн эмес.
• Теоремалардагы \\(\lambda=0\) жана \\(\lambda=1/p\) чектик учурларынын өзүнчө деталдуу далили берилген текстте ачык өнүктүрүлгөн эмес.
• Изилдөө эсептөө татаалдыгын же реалдуу убакыттагы алгоритмдик колдонмо анализин жүргүзбөйт.

Метод жана Жыйынтыктар

Изилдөөнүн түрү

Бул иш эксперименттик же сандык симуляцияга негизделген эмес, теориялык математика / функционалдык анализ жана гармоникалык анализ изилдөөсү. Метод аныктамалардан, мурунку оператордук чектелүүлүк жыйынтыктарынан, салмак класстарынан, леммалардын чынжырынан жана түз математикалык далилдерден турат.

Негизги математикалык түзүлүштөр

Макаладагы жардамчы жыйынтыктар

Теорема 1

Булактагы билдирүүнүн өзөгү:

\\[ 1<p<\infty,\qquad 0\leq\lambda\leq1/p, \qquad \{w_k\}\in\widetilde A_p \]

жана:

\\[ b\in m_{\lambda,p,w} \]

болсо, \\(H(b)\) жакшы аныкталган.

Далилдин борборунда Гильберт суммасын диадалык аралык катмарларга бөлүү, Hölder теңсиздиги, \\(\widetilde A_p\) салмак шарты жана Corollary 1ден алынган геометриялык өсүү баалоосу турат.

Теорема 2

Макаланын негизги жыйынтыгы:

\\[ H: m_{\lambda,p,w} \longrightarrow m_{\lambda,p,w} \]

чектелген өзгөртүү жана:

\\[ \boxed{ \|H(b)\|_{m_{\lambda,p,w}} \leq C_{\lambda,p,w} \|b\|_{m_{\lambda,p,w}} } \]

теңсиздиги алынат.

Бул теңсиздик изилдөөнүн башкы илимий натыйжасы болуп саналат.

Теорема 2нин далилдөө куралдары

• Дискреттик \\(b_k\) тизмегин реал сандар түзүндөгү бөлүк-бөлүк \\(f(x)\) функциясына киргизүү.
• Дискреттик салмакты үзгүлтүксүз \\(A_p\) салмагына айландыруу.
• \\(f\in M_{\lambda,p,w}\) экенин көрсөтүү.
• Максималдык кесилген дискреттик Гильберт оператору \\(T\)ни аныктоо.
• Үзгүлтүксүз максималдык Гильберт тибиндеги \\(S\) операторун колдонуу.
• Hardy–Littlewood максималдык \\(M\) операторун колдонуу.
• \\((Tb)_j\leq2S(f)(x)+4M(f)(x)\) салыштыруусу.
• \\(S\) жана \\(M\) операторлорунун үзгүлтүксүз салмакталган Моррей мейкиндигиндеги чектелүүлүгүн дискреттик маселеге өткөрүү.
• \\(|(Hb)_n|\leq|(Tb)_n|\) аркылуу жыйынтыкты Гильберт өзгөртүүсүнө өткөрүү.

Жаңы эксперимент же маалымат барбы?

Жок. Изилдөөдө эксперимент тобу, маалымат топтому, тандалма, симуляция, сенсордук өлчөө же статистикалык тест жок. Жыйынтыктар толугу менен математикалык теорема жана далил түрүндө.

Статистикалык маанилүүлүк колдонулушу мүмкүнбү?

Жок. Бул изилдөөдө p-маани, ишеним аралыгы, стандарттык четтөө, тандалманын көлөмү же статистикалык гипотеза тести жок. Бул жердеги \\(p\) статистикалык маанилүүлүк көрсөткүчү эмес, \\(l^p\) жана Моррей мейкиндиктеринин интегралдануу/тизмек нормасынын параметри.

Жыйынтыктын математикалык чеги

Булак Теорема 2де параметрлерди:

\\[ 1<p<\infty, \qquad 0\leq\lambda\leq1/p \]

деп берет жана салмак үчүн:

\\[ \{w_k\}\in\widetilde A_p \]

шартын талап кылат.

Бирок далилдин ачык эсептөөлөрүндө \\(0<\lambda<1/p\) шарты колдонулат. Булак чектик учурларды өзүнчө техникалык бөлүмдө карабагандыктан, Verianla түшүндүрмөсү бул боштукту жаңы далил менен толтурбайт.

Изилдөөнүн оригиналдуу салымын кыскача жыйынтыктоо

Макаланын математикалык салымы — мурда дискреттик Моррей мейкиндиктери үчүн белгилүү болгон дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнүн чектелүүлүк теориясын салмакталган дискреттик Моррей алкагына кеңейтүү жана бул натыйжага жетүү үчүн дискреттик салмак теориясы менен үзгүлтүксүз салмакталган Моррей оператор теориясынын ортосунда ачык далил көпүрөсүн түзүү.

Булак жана Метод Эскертмеси

Толук түпнуска изилдөө аталышы: Boundedness of the Discrete Hilbert Transform on Discrete Weighted Morrey Spaces

Авторлор: Rashid A. Aliev; Amil F. Jabiyev.

Rashid A. Alievтин мекемелери:

• Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan.
• Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan.
• Center for Mathematics and its Applications, Khazar University, Baku, Azerbaijan.

Amil F. Jabiyevтин мекемеси: Baku State University, Baku, Azerbaijan.

Журнал: Ural Mathematical Journal.

Том / сан: 12(1), 2026.

Барактар: 16–25.

ISSN: 2414-3952.

DOI:10.15826/umj.2026.1.002

Расмий макала барагы:Ural Mathematical Journal расмий макала жазуусу

Жарыялоочу мекемелер: N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences жана Ural Federal University кызматташтыгында жарыяланат.

Булак түрү: Теориялык математика / гармоникалык анализ жана функционалдык анализ боюнча илимий макала.

Рецензиялоо абалы: Журналдын расмий сүрөттөмөсүндө тапшырылган иштер адистер тарабынан рецензияланары айтылат. Макаланын ыраазычылык бөлүмүндө авторлор анонимдүү рецензенттерге конструктивдүү пикирлери жана сунуштары үчүн да ыраазычылык билдиришет.

Алдын ала жарыялоо эскертмеси: Ушул эле аталыш жана авторлор менен arXiv:2601.05618 номерлүү алдын ала версия 9 Январь 2026 күнү arXivде жарыяланган. Verianlaда негиз катары алынган библиографиялык жазуу — Ural Mathematical Journal 12(1), 16–25 ичинде жарыяланган акыркы журналдык версия. Алдын ала жарыяда мекеме маалыматтары акыркы журналдык версияга караганда чектүүрөөк берилгени көрүнөт.

Лицензия эскертмеси: Журналдын башкы барагында мазмун үчүн “Creative Commons Attribution License” деп жазылган, бирок ошол эле барактагы лицензия шилтемеси Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) барагына алып барат. Демек, сайттагы лицензия белгиси менен шилтеме багытталган лицензиянын ортосунда дал келбестик бар. Кайра колдонууда лицензияны басып чыгаруучудан так ырастоо эң коопсуз ыкма болот.

Каржылоо: Каралган изилдөөдө өзүнчө каржылоо билдирүүсү жок.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Каралган изилдөөдө өзүнчө кызыкчылыктардын кагылышы тууралуу билдирүү жок.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Изилдөө теориялык математика иши жана жаңы эксперименттик маалымат топтомун колдонбойт. Өзүнчө маалымат жеткиликтүүлүгү билдирүүсү жок.

Авторлордун салымы: Булакта CRediT же деталдуу жеке автордук салым тууралуу билдирүү жок.

Ыраазычылык: Авторлор иштин баяндалышын жакшырткан конструктивдүү пикирлери жана сунуштары үчүн анонимдүү рецензенттерге ыраазычылык билдиришет.

Булакка берилгендик жана техникалык эскертмелер

• Теорема 1 жана Теорема 2нин булакта берилген параметр аралыгы \\(0\leq\lambda\leq1/p\) түрүндө.
• Көрсөтүлгөн далилдин айрым негизги эсептөөлөрү ачык түрдө \\(0<\lambda<1/p\) божомолу менен жүргүзүлөт; чектик учурлар Verianla тарабынан сырттан кошумча далил менен толукталган эмес.
• Изилдөөнүн санариптик сигнал иштетүү менен байланышы авторлордун мотивациясы; реалдуу DSP эксперименти же маалымат топтому жок.
• \\(C_{\lambda,p,w}\) туруктуусунун колдонмого тиешелүү сандык мааниси эсептелген эмес.
• Verianla Live визуалдаштыруусу сандык эксперимент жыйынтыгы эмес, булакта берилген лемма–теорема далил чынжырын түшүндүрүүчү көрсөтүү.

Илимий чечмелөө чеги

Бул изилдөө дискреттик Гильберт өзгөртүүсү белгилүү салмак шарттары астында дискреттик салмакталган Моррей мейкиндиктеринде математикалык жактан туруктуу/чектелген оператор экенин көрсөткөн теориялык жыйынтык. Бул жерде “туруктуу” деген сөз инженердик системанын физикалык туруктуулугун же реалдуу сандык алгоритмдин ызы-чуудагы аткаруусун эмес, функционалдык анализдеги норма боюнча чектелүүлүктү билдирет.

Макала дискреттик маалыматтар физика жана инженерияда кеңири колдонуларын белгилеп, дискреттик Гильберт өзгөртүүсүнүн колдонмолук маанисин баса белгилейт; бирок теореманын белгилүү бир өнөр жай системасына сандык таасирин текшербейт.

Булакка берилгендик эскертмеси: Бул Verianla түшүндүрмөсүндөгү аныктамалар, теңдемелер, леммалардын байланышы, эки негизги теорема жана далил стратегиялары толугу менен каралган изилдөөгө таянат. Булакта жок сандык аткаруу жыйынтыгы, сигнал иштетүү эксперименти же жаңы математикалык теорема кошулган эмес.