Bu tədqiqat klassik daşıma probleminin MATLAB mühitindəki xətti və kvadratik proqramlaşdırma alətləri ilə həllini və eyni riyazi quruluşun elektrik enerjisinin mənbələr ilə istehlakçılar arasında minimum itki meyarı ilə paylanması probleminə uyğunlaşdırılmasını araşdırır. Daşıma problemi, bir neçə mənbədəki məhdud miqdardakı bir resursun bir neçə istehlakçıya tələb məhdudiyyətləri altında paylandığı və ümumi daşıma, xərc və ya itki meyarının minimuma endirilməsinə çalışıldığı əməliyyat tədqiqatı modelidir. Mənbə tədqiqatda xətti problemlər MATLAB-ın linprog, kvadratik məqsəd funksiyaları ehtiva edən problemlər isə quadprog funksiyası ilə həll olunur.

Müəlliflərin əsas alqoritmik yanaşması, daşıma problemində təklif və tələb münasibətlərini təmsil edən A və Aeq matrislərinin yalnız 0 və 1 dəyərlərindən ibarət nizamlı quruluşda qurula bilməsidir. Model topologiyası dəyişmədikdə optimallaşdırma problemini yeni iş şəraitinə uyğunlaşdırmaq böyük ölçüdə üç vektorun dəyişdirilməsi ilə həyata keçirilə bilər: xərc və ya itki əmsallarını ehtiva edən f, mənbə sərhədlərini ehtiva edən B və istehlakçı tələblərini ehtiva edən Beq.

Elektrik enerjisinin paylanmasına dair əsas nümunədə üç mənbə müvafiq olaraq 630, 1.000 və 400 kW gücə malikdir; dörd istehlakçının tələbləri isə 800, 200, 600 və 300 kW-dır. MATLAB linprog həllində mənbə tərəfindən X = [30 0 600 0 500 200 0 300 270 0 0 0] paylanma planı və J = 621 minimum xətti itki meyarı göstərilmişdir. Bu plan bütün istehlakçı tələblərini qarşılayarkən ümumi 2.030 kW mənbə gücünün 1.900 kW-ını istifadə edir və üçüncü mənbədə 130 kW güc saxlayır.

Məqalə eyni problemi kvadratik proqramlaşdırmaya da genişləndirir. Bu yanaşmada xətti xərc terminə H matrisi üzərindən ikinci dərəcəli cərimə/xərc komponenti əlavə olunur. Lakin elektrik paylanmasına aid kvadratik nümunədə mənbə H = 0,001I ilə kvadratik komponenti 40,6900 kimi göstərir; dərc olunmuş X vektoru ilə bu rəqəmlər aritmetik cəhətdən uyğun gəlmir. Buna görə kvadratik nümunənin bu hissəsi mənbədaxili sayısal uyğunsuzluq ehtiva edir və nəticələri yenidən istehsal edərkən orijinal MATLAB faylının yoxlanılması tələb olunur.

Daşıma Problemi MATLAB-da Necə Bir Optimallaşdırma Probleminə Çevrilir?

Daşıma problemində qərar dəyişəni \(x_{ij}\), \(i\) nömrəli mənbədən \(j\) nömrəli istehlakçıya göndəriləcək məhsul, enerji və ya başqa bir resurs miqdarını təmsil edir. Məqsəd hər bağlantının vahid xərcini və ya itki əmsalını daşınan miqdarla birlikdə nəzərə alaraq ümumi meyarı minimuma endirməkdir.

Mənbə məqalə xətti modeli aşağıdakı matris quruluşu ilə verir:

Burada \(x\) qərar dəyişənləri vektoru, \(f\) hər axının xərc və ya itki əmsallarını, \(A\) mənbə sərhədlərini, \(B\) mənbələrin mövcud miqdarlarını, \(A_{eq}\) istehlakçılarla bağlı bərabərlik quruluşunu və \(B_{eq}\) isə tələb miqdarlarını ifadə edir.

MATLAB linprog sintaksisi

Mənbədə istifadə olunan əsas MATLAB çağırışı belədir:

[x, J] = linprog(f, A, B, Aeq, Beq, lb, ub)

x optimal qərar vektorunu, J isə tapılan minimum məqsəd funksiyası dəyərini təmsil edir.

Daşıma problemində \(x\) funksiyanın giriş parametrləri arasında görünmür; optimallaşdırma zamanı MATLAB tərəfindən həll edilən daxili dəyişəndir. Vektorun ölçüsü f və dəyişən sərhədləri vasitəsilə müəyyən edilir.

Niyə Yalnız f, B və Beq Vektorlarını Dəyişdirmək Kifayət Edə Bilir?

Mənbənin təklif etdiyi alqoritmin əsas üstünlüyü, eyni sayda mənbə və istehlakçıdan ibarət daşıma problemlərində bağlantı quruluşunu təmsil edən A və Aeq matrislərinin sabit 0–1 şablonu kimi qurula bilməsidir. Beləliklə, xərclər, mənbə miqdarları və ya istehlakçı tələbləri dəyişdikdə matris topologiyasını yenidən əl ilə qurmaq əvəzinə yalnız f, B və Beq verilənləri yenilənə bilər.

Üç mənbə və dörd istehlakçı üçün A matrisi

Üç mənbə və dörd hədəfdən ibarət sistemdə hər mənbə dörd qərar dəyişəni ilə əlaqəlidir. Buna görə mənbə məhdudiyyət matrisi blok şəklində qurula bilər:

Birinci sətir birinci mənbədən bütün istehlakçılara göndərilən ümumi miqdarı, ikinci sətir ikinci mənbəni, üçüncü sətir isə üçüncü mənbəni məhdudlaşdırır.

Aeq matrisinin vəzifəsi

Aeq eyni istehlakçıya müxtəlif mənbələrdən çatan miqdarları toplayır. Beləliklə, məsələn P1 üçün:

kimi bir tələb bərabərliyi qurula bilər.

Mənbə məqalənin ümumi tənlik göstərimlərindən birində istehlakçı cəmi üçün ≤ işarəsi görünsə də, MATLAB modeli və dərc olunmuş Aeq x = Beq quruluşu istehlakçı tələbini bərabərlik formasında tətbiq edir. Bu, mənbə daxilindəki göstərim uyğunsuzluqlarından biridir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

İlk 12 dəyişənli linprog nümunəsi

Mənbədə ilk ətraflı nümunədə:

f = [8 11 1 4 5 2 7 3 10 4 3 5]
B = [120 97 69]'
Beq = [54 32 25 15]'

verilənlərindən istifadə olunur.

MATLAB nəticəsi:

X = [0 0 25 4 54 32 0 11 0 0 0 0]

və:

kimi verilmişdir.

Balanslaşdırılmış 3×3 daşıma problemi

Mənbənin birinci ayrıca nümunəsində üç mənbənin ümumi təklifi istehlakçıların ümumi tələbinə bərabərdir.

Optimal plan:

X = [5 25 0 0 10 10 40 0 0]

və minimum meyar:

kimi göstərilmişdir.

Balanslaşdırılmamış 3×3 daşıma problemi

İkinci nümunədə ümumi təklif ümumi tələbdən böyükdür.

Mənbə nəticəsi:

X = [50 30 0 0 50 0 0 0 50]

Daşıma Problemi Elektrik Enerjisinin Paylanmasına Necə Uyğunlaşdırılır?

Tədqiqatın mühəndislik baxımından ən mühüm addımı “məhsul daşınması” anlayışını elektrik gücünün paylanmasına çevirməsidir. Bu yozumda mənbələr gəmi və ya quru əsaslı transformator mərkəzləri və ya dizel generator qrupları, hədəflər isə elektrik istehlakçılarıdır. Daşınan miqdar fiziki məhsul əvəzinə gücdür; daşıma xərci isə enerjinin ötürülməsindəki nisbi itki xərcidir.

Mənbə gücləri

İstehlakçı tələbləri

Vahid itki meyarları

Bu dəyərlər MATLAB məqsəd vektorunda:

f = [0.3 0.9 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0 0.1 0.6 0.8 0.6 0.4]

şəklində sıralanır.

linprog ilə optimal güc paylanması

Mənbə tərəfindən tapılan həll:

X = [30 0 600 0 500 200 0 300 270 0 0 0]

şəklindədir.

İstehlakçı sütunlarının cəmləri müvafiq olaraq 800, 200, 600 və 300 kW-dır. Beləliklə, bütün tələb qarşılanır.

Üçüncü mənbədə:

istifadə olunmamış güc qalır.

Xətti məqsəd funksiyasının minimum dəyəri:

kimi göstərilmişdir.

Kvadratik Proqramlaşdırma Xətti Modelə Nə Əlavə Edir?

Xətti proqramlaşdırmada məqsəd funksiyası yalnız \(f^Tx\) şəklindədir. Kvadratik proqramlaşdırmada buna qərar dəyişənlərinin ikinci dərəcəli təsirlərini təmsil edən bir termin əlavə olunur:

məhdudiyyətlər isə:

kimi qorunur.

MATLAB quadprog sintaksisi

x = quadprog(H, f, A, B, Aeq, Beq, lb, ub)

H məqsəd funksiyasının ikinci dərəcəli komponentini təmsil edir.

Mənbənin ilk kvadratik nümunəsi

Mənbə:

v = 0.01*ones(12,1)
H = diag(v)

şəklində diaqonal bir H matrisi müəyyənləşdirir.

Xətti həll ilə eyni:

x = [0 0 25 4 54 32 0 11 0 0 0 0]

vektoru üçün:

verilir. Bu üç rəqəm aritmetik baxımdan bir-biri ilə uyumludur.

Elektrik Paylanması üçün Verilən Kvadratik Nəticədə Sayısal Uyğunsuzluq varmı?

Bəli. Mənbə elektrik paylanması nümunəsində v = 0,001ones(12,1) və H = diag(v) yazmasına baxmayaraq dərc edilmiş X üçün kvadratik komponenti 40,6900 kimi verir. Eyni vektor və \(H=0,001I\) birlikdə istifadə edildikdə bu termin 406,9 olur; mənbədə verilən 40,69 dəyəri isə \(H=0,0001I\) miqyası ilə uyumludur. Buna görə dərc edilmiş kvadratik elektrik paylanması nümunəsi onluq əmsal baxımından müstəqil təsdiq tələb edir.

Mənbənin göstərdiyi kvadratik elektrik paylanması nəticəsi

X = [30 0 600 0 500 200 0 300 270 0 0 0]

Mənbə:

dəyərlərini göstərir.

Verianla bu dəyərləri mənbədə dərc edilmiş nəticələr kimi ötürür; lakin v=0,001 ifadəsi ilə aritmetik uyğunsuzluğu ayrıca görünən saxlayır.

Xətti və kvadratik J dəyərləri birbaşa eyni performans metrikası deyil

Xətti problemdə:

olduğu halda kvadratik problemdə:

istifadə olunur. Buna görə kvadratik modeldə J-nin daha yüksək çıxması təkbaşına həllin daha pis olduğu anlamına gəlmir; iki məqsəd funksiyası eyni riyazi meyar deyil.

Modelin avtomatik izləmə yanaşması

Mənbə müəllifləri, yaradılmış MATLAB fayllarında maddi və ya enerji axınlarının avtomatik izlənə biləcəyini bildirirlər. Tələb cəminin mövcud təklifi aşması kimi tətbiq oluna bilməyən iş şəraitlərində prosesin dayandırıla biləcəyi ifadə olunur.

Bundan əlavə, f vektorundakı dəyərlərin zamanla dəyişdirilə bilməsi, məsələn gün ərzində elektrik vahid xərcinin dəyişməsi kimi halların eyni model şablonu ilə yenidən optimallaşdırıla bilməsini mümkün edir.

Tədqiqatın birbaşa dəstəklədiyi nəticələr

• Daşıma problemi MATLAB linprog istifadə olunaraq xətti proqramlaşdırma formasında həll edilə bilər.
• Eyni problem quadprog ilə ikinci dərəcəli məqsəd komponenti ehtiva edəcək şəkildə genişləndirilə bilər.
• Daşıma problemindəki məhdudiyyət matrisləri nizamlı 0–1 quruluşları kimi avtomatik yaradıla bilər.
• Model quruluşu sabit qalarkən f, B və Beq dəyişiklikləri ilə fərqli istismar vəziyyətləri həll edilə bilər.
• Üç mənbə-dörd istehlakçı nümunəsində ümumi 2.030 kW güclə 1.900 kW tələb qarşılanmışdır.
• Mənbə linprog həllində minimum xətti meyarı J=621 kimi göstərir.
• Elektrik gücünün paylanması klassik daşıma probleminin mənbə-istehlakçı quruluşuna uyğunlaşdırıla bilir.

Tədqiqatın təkbaşına dəstəkləmədiyi nəticələr

• Real bir gəmi və ya liman elektrik şəbəkəsində ölçülmüş enerji qənaəti göstərilməmişdir.
• J=621 dəyərinin müəyyən bir kWh və ya pul vahidinə birbaşa uyğun gəldiyi açıqlanmamışdır.
• Real vaxtlı sahə tətbiqindəki hesablama gecikmələri ölçülməmişdir.
• Gərginlik, reaktiv güc, xətt cərəyanı və güc axını kimi AC şəbəkənin fiziki məhdudiyyətləri tam elektrik güc axını modeli formasında nəzərə alınmamışdır.
• Kvadratik elektrik paylanması nümunəsinin dərc edilmiş 0,001 əmsalı ilə sayısal olaraq tam uyğun olduğu göstərilə bilməz.

Tədqiqatın güclü tərəfləri

Tədqiqatın ən güclü tərəfi, klassik əməliyyat tədqiqatı modelini birbaşa MATLAB koduna çevirməsi və eyni alqoritmik şablonu həm logistik daşıma, həm də elektrik gücünün paylanması kimi fərqli problemlərə uyğunlaşdırmasıdır.

İkinci güclü tərəf, matrislərin 0–1 quruluşundan istifadə edərək model girişlərini üç əsas məlumat vektoruna endirməyi hədəfləməsidir. Bu, xüsusilə tələb və ya xərc dəyərlərinin tez-tez dəyişdiyi əməliyyat sistemlərində yenidən modelləşdirmə yükünü azalda bilər.

Üçüncü güclü tərəf, həm xətti, həm də kvadratik məqsəd funksiyalarını eyni məhdudiyyət quruluşunda nəzərdən keçirməsidir.

Əsas məhdudiyyətlər

Elektrik paylanması nümunəsi riyazi mənbə-istehlakçı paylanması modeli kimi qurulmuşdur; ətraflı AC güc axını və ya fiziki şəbəkə modeli deyil.

Mənbə kodların bütün proqram paketinin məqalə ilə birlikdə müstəqil endirilə bilən məlumat anbarı kimi təqdim olunduğunu göstərmir.

Kvadratik elektrik paylanması nümunəsində v=0,001 ilə dərc edilmiş kvadratik xərc arasında onqat aritmetik miqyas problemi vardır.

Doqquz və on iki vəziyyət dəyişənli modellərin izahları bəzi bölmələrdə bir-birinə qarışır.

İstehsal cədvəlində bəzi \(x_{ij}\) indekslərinin yazılışı da 3×4 matris quruluşu ilə uyğun görünmür.

Mənbə və Metod Qeydi

• Özgün başlıq: Оптимизация технологических процессов на базе транспортной задачи в инструментах MATLAB
• İngiliscə başlıq: Optimization of technological processes based on the transport task in MATLAB tools
• Müəllif 1: Sergey O. Baryshnikov
• Müəllif 2: Vladimir V. Saharov
• Müəllif 3: Alexandr A. Chertkov
• Məsul müəllif: Alexandr A. Chertkov
• Qurum: Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, Saint Petersburg, Russia
• Jurnal: Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Marine Engineering and Technologies
• Sayı: 1
• İl: 2026
• Səhifələr: 85–92
• DOI: 10.24143/2073-1574-2026-1-85-92
• EDN: OTVRVX
• ISSN: 2073-1574 (Print)
• ISSN Online: 2225-0352
• Göndərilmə tarixi: 06.11.2025
• Rəyçi qiymətləndirməsindən sonra təsdiq: 29.12.2025
• Nəşrə qəbul: 22.01.2026
• Mənbə növü: Əməliyyat tədqiqatı, riyazi proqramlaşdırma və MATLAB alqoritm inkişaf etdirmə tədqiqatı

Mənbədaxili bütövlük qeydləri

• Elektrik paylanması kvadratik nümunəsində v=0,001 ilə 1/2 X'HX=40,6900 rəqəmləri bir-biri ilə uyğun deyil.
• Mənbə doqquz dəyişənli model ifadəsindən istifadə etməsinə baxmayaraq 12 dəyişənli 3×4 nümunələr də verir.
• Tələb məhdudiyyəti bir yerdə ≤, MATLAB modelində isə Aeq x = Beq şəklindədir.
• İstehsal matrisinin St3 sətirindəki bəzi x indeksləri matris mövqeləri ilə uyğunsuz görünür.
• rank(W) kodu düzgün yazılmasına baxmayaraq izah mətnində bir yerdə funksiya adı fərqli yazılmışdır.

Elmi şərh sərhədi

Tədqiqat, daşıma problemi və MATLAB optimallaşdırma alətlərinin elektrik gücünün paylanması kimi texnoloji proseslərə necə tətbiq oluna biləcəyini sayısal nümunələrlə göstərir. Lakin nəticələr ətraflı fiziki elektrik şəbəkəsi modeli və ya real sahə enerji itkisi ölçmələri deyil. Buna görə tapılan paylanma planı və J dəyərləri mənbədə müəyyənləşdirilmiş riyazi məqsəd funksiyası və məhdudiyyətlərlə məhdudlaşır.